《線性代數》基本概念教法研究

趙婷 李峰濤

摘要：《線性代數》是普通高等院校重要的公共基礎課，也是一種在自然科學和工程技術各領域應用廣泛的數學工具。基本概念的教學在線性代數課程占據重要的基礎位置。如何合理巧妙引入定義，生動形象的比喻以及方法思想的簡潔概括對教學環節顯得特別重要。

關鍵詞：線性代數；教學方法

中圖分類號：G72 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）01-0005-02

《線性代數》是許多自然科學和現代工程技術的基礎，它不僅是學習后續課程的不可缺少的工具，而且能夠培養學生的抽象思維能力、科學運算能力、綜合分析解決問題能力。由于《線性代數》課時的限制、概念定理的高度抽象，很多學生掌握不好，因此學習興趣不高。如何學好這門課程，關鍵是準確把握基本概念、定理、法則以及一些基本規律。因此，在教學過程中，教師如果能合理巧妙地引入重要概念定理，生動形象的比喻性質方法，就會淡化數學概念上的抽象性，讓學生一聽就懂，簡單明了。

1.合理巧妙引入

例1矩陣的初等變換是《線性代數》中的基本運算，整個《線性代數》學習過程中，常常用到把矩陣先化為行階梯形，再化為行最簡形，比如解線性方程組，求可逆矩陣，找向量組的最大線性無關組等。教師可以從學生熟知的消元法求解線性方程組來講解矩陣的線性變換，解線性方程組過程中改變的只是未知數的系數和常數項。教師可以通過簡單的線性方程組的消元過程，由于矩陣和線性方程組一一對應，一個方程對應矩陣的一行，來給出矩陣的行初等變換。

例如：求解線性方程組

對應的矩陣變換為：

方程組變換是可逆的，例如

故對應的矩陣變換也是可逆的，

此例既展現了消元法求解線性方程組的過程就是它所對應矩陣的變化過程，由此得到矩陣的三種初等變換，又清楚地看到三個初等變換是可逆的，且逆變換也是同類型的初等變換。我們將要學的知識和學生以前掌握的知識聯系起來進行講解，既能讓學生感到親切、熟悉，又能快速掌握新知識，提高學生學習興趣。

2.生動形象比喻

例2設A=1 1 0 02 3 1 00 0 1 0的行最簡形矩陣為F，求F，并求可逆矩陣P，使得PA=A。

解：

由此可得，

從而P3P2P1A=F，則P=P3P2P1，這種求法就像從起點跑步到終點，想知道跑了多少步，每一次初等行變換得到一個初等矩陣，就像一步一數，太麻煩。能不能有一個工具幫忙計數，你只管跑，這個工具幫你計步，當然可以了，這就是計步器了。同樣的，矩陣A只需要一心一意變換成行最簡形F，在A身上綁上"計步器"E，E可以記錄A每一步，當A變換成行最簡形F時，"計步器"E就變成所求的P。即：

例3 向量組線性相關性中有性質"有部分線性相關，則整體線性相關；整體無關，則任意部分均無關"。我們可以先利用定義進行證明，讓學生理解性質內容，然后再給出恰當比喻，方便學生記憶。

設向量組A：a1，a2，L，as，as+1，L，am，假設其中a1，a2，L，as線性相關，則存在一組不全為零的數k1，k2，L，ks，使得k1a1+k2a2+L+ksas=0，

從而這組數k1，k2，L，ks，0，L，0不全為零，能夠使得k1a1+k2a2+L+ksas+0as+1+L+0am=0。

故向量組 線性相關。因此，有部分線性相關，則整體線性相關；由它的逆否命題可得到"整體無關，則任意部分均無關"。我們可以舉出生活中的例子，比如衣服上袖子有一個洞，就可以得到衣服是有洞的；衣服上無洞，則衣服的任意部分均無洞。這樣講解學生既能清楚理解性質，而且感到有趣、好記憶。

3.簡潔精煉概括

例4 在行列式計算中我們常遇見這樣一類特殊類型的行列式：

它們的特點是矩陣 中主對角線上的元素相同，其他位置元素一樣；矩陣 中副對角線上的元素相同，其他位置元素一樣。我們給這種類型起一個名字為"林蔭小道型"，對角線為小道，其他元素稱為小樹。

像A這種類型行列式的計算，我們總結三步：先把其他行都加到第一行，再提出公因數，最后利用第一行的1消滅其他行的小樹。

像B這種類型行列式的計算，我們總結三步：先把其他行都加到最后一行，再提出公因數，最后利用最后一行的1消滅其他行的小樹。

4.結束語

《線性代數》在大學數學教學有這非常重要的基礎地位，以上對《線性代數》教學中如何合理巧妙地引入重要概念、定理，生動形象地比喻性質、方法，分別作了闡述，這些只是教學中的幾個例子。在教學過程中，教師應該深鉆細研，精心設計組織教學結構和內容，巧妙地引入重要定義概念，同時啟發學生思考、發現解決問題的方法。讓學生在整個教學過程中，積極主動學習，高效掌握新知識。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系.工程數學線性代數 [M].6版.北京：高等教育出版社，2014

[2] 王春玲，汪雄良.《線性代數》教學中重要概念的引入 [J].科技信息，2011（11），148，180