小學一年級數(shù)感不良兒童的篩查與動態(tài)干預*

張麗錦 畢 遠 梁 熠 劉敏紅

(1陜西師范大學心理學院,西安 710062) (2寧夏大學,銀川 750021)

1 引言

數(shù)學學習困難(math learning difficulty,MLD,簡稱數(shù)學困難,MD)表現(xiàn)為兒童的閱讀與拼寫能力正常,但算術能力顯著低于其智齡水平。作為一個會長期阻礙兒童從正常教學中獲益的問題,與之相關的篩查、干預和預防等領域長期受到教育學、心理學研究者和教育實踐工作者的普遍關注。目前國內(nèi)對數(shù)學困難的診斷和甄別大多使用的是能力—成績差異模型(ability-achievement discrepancy models)(見畢遠,張麗錦,2014),即基于學習困難是智力與學習成績不匹配的基本構念,通過控制閱讀能力來考查智力與數(shù)學成績的匹配情況。但是,由于小學低年級兒童的數(shù)學成績普遍較高,數(shù)學成績并不能很好地反映數(shù)學能力,若要可靠地鑒別數(shù)學困難兒童,至少要到小學四年級數(shù)學成績相對穩(wěn)定且出現(xiàn)顯著分化以后。實際上,在小學一、二年級甚至幼兒時期,有些兒童就已經(jīng)表現(xiàn)出數(shù)學學習上的困難和障礙,需要及時甄別并給予訓練和輔導。根據(jù)DSM-Ⅴ的診斷標準,學習困難出現(xiàn)在學齡期,當對兒童學業(yè)能力的要求超過他們有限的能力時(例如,限時測驗、在規(guī)定時間內(nèi)完成閱讀或撰寫一定長度和復雜度的文章,超負荷的學習負擔等),學習困難才會明顯表現(xiàn)出來(American Psychiatric Association,2013)。所以,對于學前兒童使用“數(shù)學學習困難”應當謹慎,對于小學低年級兒童,出于學習成績普遍偏高的考慮也要謹慎。國外研究者通常使用的概念是“數(shù)學困難風險兒童”(children at risk for mathematics difficulties),本研究用的是“數(shù)感不良兒童”,為的是準確使用概念和診斷標準。

數(shù)感(number sense)是關于數(shù)字間關聯(lián)的意識和直覺能力(Malofeeva,Day,Saco,Young,&Ciancio,2004),它從幼兒早期開始顯現(xiàn)并一直發(fā)展著,直到小學中年級成熟。對幼兒和小學低年級兒童來講,數(shù)感的核心成分包括對小數(shù)量(小于3或5——視不同任務而定)的快速直覺、數(shù)型識別、數(shù)量比較、數(shù)量估計、數(shù)數(shù)以及執(zhí)行簡單的數(shù)量轉換等(見Berch,2005;Case,1998)。這些基本數(shù)感能力是獨立于語言與空間知識和一般記憶能力的特定的認知功能(Gelman &Butterworth,2005;Landerl,Bevan,&Butterworth,2004)。數(shù)感的這種對數(shù)量和大小的直覺能力可能是先天的并且是早期數(shù)學學習的基礎(Geary,2006),同時它也與兒童早期數(shù)概念的教育和經(jīng)驗有關(Case &Griffin,1990),可以通過學習和訓練得到改善。也就是說,數(shù)感不僅涉及非語言數(shù)字系統(tǒng),也與受經(jīng)驗和學習影響的語言數(shù)字系統(tǒng)有關(Geary,1995;Levine,Jordan,&Huttenlocher,1992)。幼兒早期就表現(xiàn)出來的對小數(shù)量的識別、比較和操作上的不同敏感度和差異體現(xiàn)了不同的數(shù)感水平。如果兒童不能理解數(shù)量之間的關系組合,將不利于算術事實(arithmetic fact)的獲取和提取。

與受到的關注不相稱的是,對于數(shù)感,目前還沒有一個公認的定義。數(shù)感被認為是一個“好識別,難定義”(Case,1998)的概念。盡管研究者對數(shù)感的組成各持己見,比如,Berch (2005)曾匯總研究者對數(shù)感成分的劃分,發(fā)現(xiàn)多達 30余種;但如前所述,研究者們對數(shù)感核心成分的認識還是比較一致的(見 Berch,2005;Case,1998)。雖然與數(shù)感有關的概念和理論問題尚未解決,但能夠指導測量與干預的數(shù)感模型已經(jīng)構建而成。Jordan及其同事(Jordan,Kaplan,Oláh,&Locuniak,2006)基于以往研究和自己的發(fā)現(xiàn),提出了兒童數(shù)感的“五成分能力結構”理論模型。這五成分包括：數(shù)數(shù)(counting)、數(shù)知識(number knowledge)、數(shù)量轉換(number transformation)、數(shù)量估計(number estimation)和數(shù)型(number patterns)。五成分數(shù)感結構在發(fā)展上有先后順序,每一階段數(shù)感的發(fā)展以前一階段各成分能力的獲得為基礎。五成分的這種逐級支撐與依次獲得的關系反映出兒童數(shù)感發(fā)展的軌跡和階段,為數(shù)感的細化研究、測量評估和干預訓練提供了理論指導。盡管Jordan的數(shù)感五成分理論及其測驗未必詳盡涵蓋了被研究確認的和與小學數(shù)學課程有關的數(shù)學認知內(nèi)容,但對基本的數(shù)學能力都有涉及,而且可以排除是對基本認知能力(如,一般工作記憶)的考查。五成分模型強調(diào)數(shù)感是對兒童關于數(shù)、數(shù)量關系和數(shù)量操作的直覺,對兒童日后更高層級(higher-order)的數(shù)學思維(如數(shù)量操作與數(shù)量程序中的流暢性與靈活性)非常重要,所以數(shù)感對數(shù)學成績有顯著的預測作用。研究發(fā)現(xiàn),幼兒園和小學低年級兒童的數(shù)感水平可以預測其更高年級的數(shù)學成績(Chard et al.,2005;Dyson,Jordan,&Glutting,2013;Geary,2011;Jordan,Glutting,Dyson,Hassinger-Das,&Irwin,2012)。幼兒園時的數(shù)感表現(xiàn)可以解釋一年級數(shù)學成績66%的變異,而家庭背景、性別、年齡的解釋都明顯低于數(shù)感(Jordan,Hanich,&Kaplan,2003b);一年級上學期的數(shù)感成績,可以很好地預測一年級下學期和三年級的數(shù)學成績,且預測力不隨時間衰減(Jordan,Glutting,&Ramineni,2010)。需要特別說明的是,數(shù)感測驗和數(shù)學成績測驗在內(nèi)容和形式上是有所不同的,一般來講數(shù)感測驗在內(nèi)容上要比同一時期的數(shù)學測驗所涉及的數(shù)字范圍更廣,在題型設計上也要考慮對被試的相對新異性,盡量使兒童無法直接依靠已經(jīng)學到的算術知識或數(shù)字事實解決問題。

數(shù)感被認為是人的一種基本數(shù)學素養(yǎng),是建立明確的數(shù)概念和有效計算的基礎,是在數(shù)學與現(xiàn)實問題之間建立聯(lián)系的橋梁。與數(shù)學認知發(fā)展不同,數(shù)感能力強調(diào)兒童對數(shù)字的直覺或感覺,以及主動運用這種直覺“以靈活而有創(chuàng)造性的方式”(Sowder,1992)解決新的數(shù)學問題。大量研究證實,數(shù)感作為鑒別數(shù)學學習困難強有力的預測指標發(fā)揮著重要的作用,兒童早期的數(shù)感不良極有可能發(fā)展成為數(shù)學困難(Anghileri,2000/2007;Chard et al.,2005;Fuchs et al.,2013;Gersten,Jordan,&Flojo,2005;Jordan et al.,2010;Locuniak &Jordan,2008;Mazzocco&Thompson,2005;Seethaler &Fuchs,2010)。同時,數(shù)感也被認為是預防數(shù)學困難的有效干預內(nèi)容,這樣針對數(shù)感的干預就有可能降低兒童日后出現(xiàn)數(shù)學困難的程度和可能性。

盡管對年幼兒童的數(shù)學困難進行診斷需要謹慎,但篩查和評鑒潛在數(shù)學困難風險兒童,或者說甄別數(shù)感不良兒童卻是可行的。一是因為數(shù)感是早期發(fā)展的,對學前及小學低年級數(shù)學困難風險兒童的甄別不適合采用年級水平離差法時,數(shù)感測驗不失為一個合適的選擇;二是因為數(shù)感測量涉及到了多種數(shù)學加工成分,可以相對廣泛地說明數(shù)學困難的多種表現(xiàn)。從教學實踐角度來說,數(shù)感鑒別是以及早補充教學、降低風險為目的,意圖對存在潛在數(shù)學困難風險的兒童進行篩查以便干預,而非提前對低年級兒童作“數(shù)學學習困難”的診斷,這既避免了錯誤鑒別的風險和標簽效應,又滿足了早期預防干預教學的需要。

檢驗一個數(shù)感測驗反映個體數(shù)學能力的程度,可以看它與數(shù)學成績的關聯(lián)程度,也可以看它對數(shù)學困難的預測程度。此外,對于小學低年級來講,還有一個非?？煽康闹笜?即計算流暢性。計算流暢性(calculation fluency或computational fluency)是指快速、準確、輕松地進行基本運算并靈活應用的能力(Kilpatrick,Swafford,&Findell,2001),是解決數(shù)學問題的重要能力。計算流暢性是低年級數(shù)學學習的特點,且與核心計算原理的基礎知識相互促進,對數(shù)學學習的很多方面(從解決簡單的整數(shù)問題到計算分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù),再到代數(shù)方程、甚至基本的幾何問題)都有促進作用(Jordan,Glutting,&Ramineni,2008)。有研究發(fā)現(xiàn),數(shù)學能力和計算流暢性之間的關系非常穩(wěn)定,且較少受其他能力的影響(Locuniak &Jordan,2008)。

數(shù)感不良能夠導致兒童在算術事實提取上的困難;而良好的數(shù)感則可以加強兒童對基本算術事實的表征(Geary &Hoard,2005;Jordan,Levine,&Huttenlocher,1994)。而算術事實是指已經(jīng)轉化為陳述性知識的數(shù)量轉換關系(如,4 + 3=7),其特點是在解決數(shù)學問題時能夠快速、輕松、準確地進行提取(Hasselbring,Goin,&Bransford,1988),即不用計算直接從記憶中獲取準確答案(但并非是僅靠死記硬背積累算術事實),這顯然和計算流暢性密切相關。研究發(fā)現(xiàn),有邏輯意義的而非死記硬背的練習對實現(xiàn)流暢性非常重要(Geary et al.,2008)?？梢?數(shù)感和計算流暢性之間的關系相當密切,計算流暢性也如數(shù)感一樣對數(shù)學成績和數(shù)學困難傾向有良好的預測作用。提高兒童的計算流暢性有助于他們在更高等級的數(shù)學問題上獲得成功(McNeil,Fyfe,&Dunwiddie,2015)。研究主張,計算流暢性的前提性基礎能力包括數(shù)感、記憶廣度、閱讀/語言能力和空間能力(Locuniak &Jordan,2008),作為一個外顯的可操作的測量指標,計算流暢性得以發(fā)展依賴于有直覺特性的數(shù)感的發(fā)展和那些基本能力的發(fā)展。數(shù)感既然作為計算流暢性的基本要素,它的不良發(fā)展必然會導致兒童在計算方面的缺陷,并容易導致數(shù)學困難(Gersten et al.,2005;Mazzocco &Thompson,2005)。多項研究證實,數(shù)學困難兒童在解決數(shù)學問題中的一個顯著表現(xiàn)是計算流暢性不足(Bryant,2005;Locuniak &Jordan,2008)。無論數(shù)學困難兒童的閱讀能力如何,在解決一位數(shù)加法問題時,其速度和準確性方面都有缺陷,而速度和準確性對數(shù)學能力至關重要(Barnes et al.,2006;Carr &Alexeev,2011)。他們在限時計算任務上的成績都明顯不及數(shù)學正常兒童(Hanich,Jordan,Kaplan,&Dick,2001;Jordan &Hanich,2003;Jordan,Hanich,&Kaplan,2003a;Jordan &Montani,1997),從記憶中提取算術事實也表現(xiàn)出明顯的困難(e.g.,Geary,Hoard,Nugent,&Baliey,2012)。盡管他們中的大部分在計數(shù)程序的技能使用上能趕上正常同伴,但提取算術事實的困難卻一直存在(Geary et al.,2012;Jordan et al.,2003b)。

從測量的角度來看,數(shù)感是早期發(fā)展的,所以建立個體早期的評估系統(tǒng)既可行又有意義。對于計算流暢性來講,即使是小學低年級兒童,考查和甄別他們在計算方面是否快速準確也是容易操作的。需要說明的是,計算流暢性可以評估小學低年級兒童的數(shù)學能力,但它并不能作為診斷和篩查量表來使用。我們前面提到,數(shù)學困難的表現(xiàn)有多種,而計算流暢性只是其中相對更核心的一個特征,就像心理數(shù)線與兒童的數(shù)學能力、數(shù)學成績有很強的相關,且可以預測數(shù)學成績一樣(Booth &Siegler,2008) (心理數(shù)線與計算流暢性之間也有很強的相關)。這樣,與數(shù)學能力有很高相關的數(shù)感成分當然不止流暢性和數(shù)線,它們只是良好的預測指標之一,并不能廣泛地代表數(shù)學認知的能力范疇。而依據(jù)五成分理論編制的數(shù)感測驗,包含了數(shù)感的多種成分,會比任何單一成分的數(shù)學能力測驗更適合。

盡管國外已有比較成熟的數(shù)感測驗工具,但是受家庭和學校教育因素,以及亞洲語言和英語語言數(shù)詞不同的影響,東西方兒童早期的數(shù)感發(fā)展水平存在較大差異(Chan,2014;Geary,Bow-Thomas,Liu,&Siegler,1996;Rodic et al.,2015),在精確數(shù)字估計方面更是如此(周廣東,莫雷,溫紅博,2009)。就國內(nèi)情況來看,直接測量數(shù)感和與數(shù)感相關成分的測驗多半是針對幼兒的。由于數(shù)感五成分的難度階梯和逐級發(fā)展的關系,對幼兒期的數(shù)感評估會涉及不到數(shù)感的高級成分,比如,周欣及其同事開發(fā)的“3～6歲兒童學習和發(fā)展指南(草案)：認知領域發(fā)展水平測查工具(R)”(周欣,黃瑾,趙振國,楊宗華,2009),涉及的是數(shù)數(shù)策略、數(shù)量守恒和估算等數(shù)感的中、低級成分(當然,該研究使用的不是“數(shù)感”的概念)。趙振國對幼兒數(shù)感的研究使用的是改編國外測驗項目的測查工具,涉及數(shù)數(shù)、數(shù)知識、數(shù)量轉換3個成分(趙振國,2008)。研究發(fā)現(xiàn),待明確鑒別某兒童有數(shù)學困難后再施以補救教學和特殊教育,其效果并不理想(Chard et al.,2005)。因此,若要構建涵蓋五成分的且具有有效預測性的數(shù)感測驗,以實現(xiàn)對有潛在數(shù)學困難風險兒童的及早鑒別并進行針對性干預,小學一年級兒童是比較理想的研究對象。而且考慮到我國非標準化的幼兒園教育(數(shù)感不良的高發(fā)群體——低社會經(jīng)濟地位家庭兒童早期的數(shù)學教育參差不齊),小學一年級作為義務教育的起點,也是一個合適的測量與干預點。

本研究的目的首先是編制一套能夠對小學低年級兒童的數(shù)感水平進行評估的測驗,以了解兒童數(shù)感發(fā)展的水平并篩選出數(shù)感不良兒童;其次,將探查經(jīng)過對數(shù)感重要成分——數(shù)量轉換和數(shù)量估計的干預后,數(shù)感不良兒童數(shù)感水平的提升情況,且這一進步是否也體現(xiàn)在計算流暢性上。也就是說,本研究除了在考查數(shù)感和計算流暢性密切關系的基礎上,進一步探究二者中的哪一方對另一方具有預測作用之外,還將探查對具有核心意義的數(shù)量轉換(包括數(shù)字組合)和數(shù)量估計的學習對小學低年級數(shù)感不良兒童的數(shù)感和計算流暢性的促進作用。Locuniak和Jordan (2008)曾對198名幼兒園兒童的數(shù)感和計算流暢性進行回歸分析,發(fā)現(xiàn)數(shù)感中的數(shù)知識和數(shù)量組合(number combination)對幼兒園兒童計算流暢性的貢獻最大,數(shù)知識每提高 1分,計算流暢性增加0.86;數(shù)量組合每提高1分,計算流暢性增加0.76。建立有效的評估方法可以發(fā)現(xiàn)低年級兒童的數(shù)感不足,以便于及時采取補救措施;考查何種內(nèi)容的干預有助于促進兒童數(shù)感的發(fā)展,是對有效干預的考量。對于小學一年級兒童來講,數(shù)知識已是較容易的數(shù)感成分,而有一定難度且較為核心的數(shù)量轉換和數(shù)量估計可能更有助于數(shù)感不良兒童數(shù)學能力的發(fā)展與促進。

2 研究 1 “兒童數(shù)感發(fā)展測驗(一年級用)”的編制

擬編制符合心理測量學標準的“兒童數(shù)感發(fā)展測驗(一年級用)”,以實現(xiàn)識別和篩查數(shù)感不良兒童的目的。

2.1 被試

以銀川市3所普通小學(西夏區(qū)九小、西夏區(qū)十小和逸夫小學)一年級兒童202人(女生95人)為被試,年齡范圍在 6.12～8.61 歲,

M

±

SD

=6.43±0.65。

2.2 工具

自編“兒童數(shù)感發(fā)展測驗(一年級用)”。

2.3 程序

項目構成

數(shù)感測驗初始項目的形成一方面借鑒國外相關測驗(Griffin,Case,&Siegler,1994;Jordan et al.,2008;Malofeeva et al.,2004)的框架和測題內(nèi)容及形式;另一方面考慮到我國小學數(shù)學課程標準和教學內(nèi)容,并結合小學一年級學生的認知特點,形成了56個初始項目,涵蓋了數(shù)感的5個成分：①

數(shù)數(shù)

考查兒童對數(shù)數(shù)原則、基數(shù)、序數(shù)的掌握,以及依靠所掌握的基數(shù)、序數(shù)原則來解決數(shù)數(shù)問題的高級數(shù)數(shù)能力,這樣可以避免明顯的天花板效應;②

數(shù)知識

考查兒童區(qū)分不同數(shù)量、識別相同數(shù)量、進行數(shù)量比較的能力;③

數(shù)量轉換

包含故事問題和言語計算問題,考查兒童通過加、減改變數(shù)量的計算能力;④

數(shù)量估計

考查兒童近似估計數(shù)量大小的能力;⑤

數(shù)型

考查兒童的模仿和擴充數(shù)型、識別數(shù)量間關系的能力。

正式測驗的形成

第一步,確定命題雙向細目表,形成數(shù)感初始測驗;第二步,對 202名被試進行初測,進行難度和區(qū)分度分析,保留 46個項目;第三步,將這些項目按照“數(shù)數(shù)?數(shù)知識?數(shù)量轉換?數(shù)量估計?數(shù)型”的從易到難的順序進行編排,形成正式測驗——“兒童數(shù)感發(fā)展測驗 1(一年級用)”;最后,參照該測驗試題的難易度和形式編制數(shù)感測驗的 3個復本測驗,分別命名為“兒童數(shù)感發(fā)展測驗 2/3/4”。

重測

對其中89名被試在1周后進行重測。

2.4 結果

2.4.1 以命題雙向細目表確定測驗的內(nèi)容效度

首先在數(shù)感五成分框架下構建包含 4級目標(識記、理解、應用、分析綜合)的雙向細目表,請10位一年級數(shù)學教師進行評定。結合編制的文字材料事先給教師講解數(shù)感五成分的含義及試題形式,要求教師對照項目的試題卷(試卷中每道題目旁邊均標明該題欲達到的上述4級目標之一),在5等級量表(1=“完全不匹配”,5=“完全匹配”)上逐項打分,評定所測內(nèi)容目標與欲測內(nèi)容目標的一致性。計算教師打分的平均數(shù),結果有 4個項目平均得分低于 3,即不能很好地反映欲測內(nèi)容,予以刪除,保留匹配良好(平均分在3.4～4.5之間)的52個項目(見表1)。

2.4.2 項目分析

首先計算各項目的難度值(見表2),然后對各項目的得分進行高低排序,取上、下兩端各27%的被試為高、低分組,進行差異性檢驗。結果發(fā)現(xiàn),有6個項目的高、低分組間差異不顯著,予以刪除。項目25盡管高、低分組差異不顯著,但該項目是對一張紙上的幾何圖形進行數(shù)量估計,其數(shù)量分別是有難度梯度的幾個、10幾個、20幾個、30幾個和40幾個,25題因數(shù)量少而估計得非常準確?？紤]到該項目對考查數(shù)感的意義和在數(shù)量估計題型難度梯度中的作用,所以予以保留。其余45個項目的

t

檢驗差異顯著,區(qū)分度良好。最后保留的46個項目中,數(shù)數(shù) 6 個(T1～T6),數(shù)知識 8 個(T7～T14),數(shù)量轉換 7個(T15～T17的 3個項目是故事問題,T18～T21的 4個項目是言語計算問題),數(shù)量估計16 個(T22～T29 和T39～T46),數(shù)型 9 個(T30～T38)。

表1 “兒童數(shù)感發(fā)展測驗(一年級用)”命題細目表項目評定篩選結果

表2 “兒童數(shù)感發(fā)展測驗(一年級用)”各項目難度和區(qū)分度(N=202)

表3 “兒童數(shù)感發(fā)展測驗”分維度信度和復本信度(n=87)

2.4.3 信度分析

本數(shù)感發(fā)展測驗各維度的 Cronbach α系數(shù)均在0.70以上(

p

s＜0.05),總測驗Cronbach α系數(shù)為0.90。87名被試(2人因遲到未進行重測)的重測信度為0.88。各平行測驗之間的復本信度均在0.9以上(

p

s＜0.01) (見表3)。

2.4.4 效標關聯(lián)效度分析

以期中和期末兩次數(shù)學成績的平均分作為效標考查測驗的效標關聯(lián)效度,發(fā)現(xiàn)數(shù)學成績與測驗各維度均呈顯著的正相關(見表4),表明該測驗效標關聯(lián)效度良好。

3 研究2 對數(shù)感不良兒童的動態(tài)干預

研究2旨在構建促進兒童數(shù)感和計算流暢性發(fā)展的易操作、可推廣的干預模式,以提高數(shù)感不良兒童的水平。研究過程為：對篩選出的數(shù)感不良兒童實施“前測?干預?后測”的動態(tài)測驗方案,考查干預前、后兒童數(shù)感和計算流暢性的進步,并進一步考查二者的作用關系。

表4 數(shù)學成績與“兒童數(shù)感發(fā)展測驗(一年級用)”的相關(N=202)

3.1 被試

基于數(shù)感水平與家庭社會經(jīng)濟地位的相關關系(Codding,Chan-Iannetta,George,Ferreira,&Volpe,2011;Jordan et al.,2006;Malofeeva et al.,2004;Ramani,Siegler,&Hitti,2012),為了得到足夠的數(shù)感不良兒童樣本,從銀川市城鄉(xiāng)結合部2所新移民小學(興涇鎮(zhèn)回民三小、鎮(zhèn)北堡奕龍希望小學)選取 268名一年級兒童為被試,年齡在 5.13～8.25 歲之間,

M

±

SD

=6.05±0.76。

3.2 材料

3.2.1 兒童數(shù)感發(fā)展測驗(一年級用)

答對一題計1分,答錯或不答計0分,滿分46分。

3.2.2 一般言語與記憶能力測驗

采用陳國鵬等人修訂的麥卡錫幼兒智能量表(中國修訂版)的言語分量表和記憶分量表(陳國鵬,李丹,1994)衡量被試的一般語言能力和短時記憶能力。

3.2.3 數(shù)集測驗

以Geary等人(Geary,Bailey,&Hoard,2009)的數(shù)集測驗(Number Sets Test)測量兒童的計算流暢性,該測驗可以簡單方便地測查兒童識別數(shù)字組合的準確性和流暢性。Geary等人(Geary et al.,2009)報告的4種計分類型的Cronbach α系數(shù)分別為——擊中：0.88;誤報：0.90;漏報：0.70;正確拒絕：0.85。其中擊中率 + 漏報率=100%,誤報率 + 正確拒絕率=100%。目標數(shù)字分別為5和9,本研究任務是：要求被試在60s (目標數(shù)字為5)或90s (目標數(shù)字為 9)的時間內(nèi),盡可能又快又準地圈出兩/三個物體、兩/三個數(shù)字、或者數(shù)字與物體相加等于 5或9的項目。計分標準：若相加等于目標數(shù)字時,被試圈上,則“擊中”計 1分;若漏圈,則“漏報”計 1分。若相加不等于目標數(shù)字時,被試圈上,則“誤報”計1分;沒有圈上,則“正確拒絕”計1分。擊中和誤報的滿分均為72分。

3.3 程序

實驗程序分為3個階段：

(1)前測階段

對所有被試(268人)施測“兒童數(shù)感發(fā)展測驗(一年級用)”“計算流暢性測驗”和“麥卡錫幼兒智能量表”的言語和記憶分量表,篩選出數(shù)感測驗得分處于下30% (15分),且言語分量表和記憶分量表達到常模水平(麥卡錫言語分量表5歲3個月到8歲6個月兒童的常模分數(shù)是 54～76,記憶分量表是38～55。本研究5.13～8.25歲被試的言語分量表分數(shù)是52～72,記憶分量表分數(shù)為 35～53)的數(shù)感不良兒童56人(排除智力落后)確定為數(shù)感發(fā)展不良組,再隨機分為干預組29人(女13人)、控制組27人(女13人)。從余下的212名被試(排除智力落后,數(shù)感測驗在16分以上)中隨機抽取40名(女22人)作為正常對照組。根據(jù)以往研究,使用差異模型方法,數(shù)學能力測驗的第 25個百分位是適合用來甄別學習困難兒童的標準(Geary et al.,2012;Locuniak &Jordan,2008;Swanson &Beebe-Frankenberger,2004),本研究篩查的是數(shù)感不良兒童,而非程度更重的數(shù)學困難兒童,加之從城鄉(xiāng)結合部新移民學校篩選,所以取30%為分界點。

(2)干預階段

根據(jù)兒童數(shù)感能力發(fā)展的順序,遵循從具體到抽象的原則,先后進行數(shù)量轉換和數(shù)量估計的干預。本著強調(diào)情境性、互動性和趣味性的原則選擇數(shù)感干預材料并設計游戲性較強的干預步驟,強調(diào)兒童在實際情境中依據(jù)對數(shù)的直覺進行操作和解決直觀問題。干預游戲采用回合制方式進行,即一小組4～5名兒童輪流進行操作,方便主試記錄、了解每名兒童的情況,在自由游戲環(huán)節(jié)結束后逐一詢問計算過程以了解被試的策略使用和掌握情況,隨后給予針對性的反饋。干預在安靜的教室里進行,每次干預一個任務,被試掌握某一任務策略后,進入下一任務。每次干預時間約為30～40 min。每周干預2次,持續(xù)6周。對數(shù)感不良控制組與正常對照組兒童進行故事書閱讀,閱讀次數(shù)和時間與干預組相同。

(3)后測階段

干預結束一周后隨機抽取一套數(shù)感測驗的復本對3組兒童進行后測,同時施測數(shù)集測驗。

3.4 結果

3.4.1 不同數(shù)感水平兒童前、后測數(shù)感成績的比較

干預前對3組被試的數(shù)感水平進行檢驗,以保證數(shù)感不良干預組和控制組兒童的數(shù)感水平基本相同。結果顯示3組之間差異顯著,具體為干預組與控制組在數(shù)感各維度和總分上差異均不顯著(

p

s＞0.05),且兩組與正常組差異均十分顯著(

p

s＜0.01)(見表5)。

表5 三組不同數(shù)感水平被試在“兒童數(shù)感發(fā)展測驗”上的前、后測成績比較(M±SD)

考慮到言語、數(shù)字記憶和數(shù)感前測成績可能會對被試數(shù)感后測成績有影響,因此,將它們作為協(xié)變量對數(shù)感后測成績進行協(xié)方差分析以考查干預效果。結果顯示,干預組在除了數(shù)知識以外的數(shù)感其他維度和總分上均顯著高于控制組(

p

s＜0.01),且在各維度和總分上與正常組沒有差異(

p

s＞0.05)(見表5)。說明干預組經(jīng)數(shù)量轉換和數(shù)量估計的干預后,數(shù)感成績有了明顯提高。為進一步考查3組在前、后測中數(shù)感成績的變化,分別對各組數(shù)感前、后測進行相關樣本

t

檢驗,結果顯示干預組在數(shù)感各維度和總分上的后測成績與前測相比均有顯著提高。相比之下,控制組數(shù)感不良兒童雖在數(shù)知識、數(shù)量轉換和數(shù)量估計 3個維度中有一定進步(

p

s＜0.05),但卻明顯低于干預組的促進效果;并且在數(shù)數(shù)和數(shù)型這兩個比較難的維度上,沒有表現(xiàn)出顯著進步。為了考查數(shù)感不良干預組與控制組在數(shù)感前、后測間的水平增長是否有差異,對兩組被試在數(shù)感測驗各維度和總分上的前、后測增量分數(shù)(即表5中的后測分減去前測分)進行

t

檢驗。結果發(fā)現(xiàn),兩組除在數(shù)知識維度上沒有差異外,其他4個維度和總分上,干預組的增量分都顯著高于控制組(

t

=3.52,

p

＜0.001;

t

=4.46,

p

＜0.001;

t

=1.99,

p

＜0.05;

t

=2.84,

p

＜0.01;

t

=7.00,

p

＜0.01),表明干預組明顯優(yōu)于控制組的干預效果。

3.4.2 不同數(shù)感水平兒童前、后測計算流暢性的比較

根據(jù) MacMillan (2002),以

d

′作為衡量兒童計算流暢性的指標,

d

′=

Z

–

Z

,表示對目標數(shù)量的敏感度,

d

′值越高,計算流暢性就越好。結果發(fā)現(xiàn)(見表6),3組被試在計算流暢性前測上差異顯著(

F

(2,93)=7.43,

p

＜0.001,η=0.16),數(shù)感不良干預組和控制組差異不顯著,但二者均與正常組差異顯著(

p

＜0.05)。對3組被試計算流暢性后測進行檢驗發(fā)現(xiàn),組間主效應顯著(

F

(2,93)=8.62,

p

＜0.01,η=0.14),事后檢驗表明,干預組在計算流暢性后測上顯著好于控制組(

p

＜0.05),且與正常組差異不顯著(

p

＞0.05)。這與如前所述的前測中正常組好于兩個數(shù)感不良組的結果是不同的,而且這種變化主要體現(xiàn)在數(shù)感干預組上的明顯進步,表明通過數(shù)感任務的干預,干預組被試的計算流暢性水平顯著提升,基本達到了正常組的水平。

表6 三組不同數(shù)感水平被試在“計算流暢性測驗”前、后測的比較(M±SD)

3.4.3 數(shù)感和計算流暢性的交叉?滯后相關分析

從上述分析可以看出,3組被試的數(shù)感和計算流暢性在后測時都有顯著增長,為進一步考查二者之間的關系,明確數(shù)感和計算流暢性的相互作用方向,對數(shù)感和計算流暢性的發(fā)展做交叉?滯后分析(見圖1)。

圖1 數(shù)感和計算流暢性的交叉?滯后相關分析

數(shù)感和計算流暢性的前、后測之間的穩(wěn)定性分別為 β=0.527,

p

＜0.001;β=0.509,

p

＜0.01;β＞β,說明穩(wěn)定相關一致;數(shù)感和計算流暢性的前測、后測的同步性分別為β=0.325,

p

＜0.01;β=0.343,

p

＜0.01,說明同步相關也一致。同步相關和穩(wěn)定相關一致,符合交叉?滯后組設計的基本假設(Kantowitz,Roediger,&Elmes,1997/2001)。將數(shù)感和計算流暢性的前、后測成績配對,以數(shù)感和計算流暢性的前測為自變量,分層先后進入回歸方程,先以計算流暢性后測為因變量進行回歸分析,結果發(fā)現(xiàn)數(shù)感前測成績能夠非常顯著地預測計算流暢性后測(β=0.275,

p

＜0.01);然后再以數(shù)感后測為因變量進行回歸分析,發(fā)現(xiàn)計算流暢性前測不能預測數(shù)感后測(β=0.155,

p

＞0.05)。該結果在一定程度上預示數(shù)感可能是計算流暢性的基礎。

4 討論

4.1 信、效度良好的兒童數(shù)感發(fā)展測驗

數(shù)學困難是發(fā)生在學齡期兒童中的一種學習困難類型,持續(xù)時間長、表現(xiàn)明顯(American Psychiatric Association,2013)。一個有數(shù)學困難的兒童不得不面對與之相關的長期問題,對個體數(shù)學成績改善和升學都有很大的影響。如引言所述,數(shù)感是數(shù)學困難的強預測變量(Chard et al.,2005;Jordan et al.,2010;Locuniak &Jordan,2008;Seethaler &Fuchs,2010),那么,對兒童數(shù)感水平的考核、診斷、甄別和干預就顯得格外重要。國外已有的數(shù)感測驗(如Griffin et al.,1994;Jordan et al.,2008;Malofeeva et al.,2004)試圖從幼兒園和小學低年級階段開始來考查兒童的數(shù)感發(fā)展狀況,以期盡早準確篩查出數(shù)感表現(xiàn)不良的、潛在的數(shù)學困難風險兒童,并及時進行干預。與西方一些國家不同,中國兒童從幼兒期開始,家庭和幼兒園就十分強調(diào)對幼兒數(shù)數(shù)技能和計算能力的培養(yǎng),所以國外的數(shù)感測驗可能并不適合中國兒童。本研究試圖考查小學一年級兒童的數(shù)感發(fā)展水平并對數(shù)感發(fā)展不良兒童進行干預,這就有必要構建適合中國兒童的數(shù)感測驗以便識別和篩查數(shù)感發(fā)展不良兒童。數(shù)感測驗的內(nèi)容比同一時期的數(shù)學測驗所涉及的數(shù)字范圍要廣,在題型設計上要求有新異性,使被測者無法依靠已經(jīng)學到的算術知識或數(shù)字事實直接解決問題。這是采用數(shù)感測驗考查低齡兒童數(shù)學能力并篩查有潛在數(shù)學風險兒童的優(yōu)勢。本研究編制的“兒童數(shù)感發(fā)展測驗(一年級用)”主要基于 Jordan等人(Jordan et al.,2006)的五成分理論模型,涵蓋了數(shù)數(shù)、數(shù)知識、數(shù)量轉換、數(shù)量估計、數(shù)型5個成分,考查的內(nèi)容有心理數(shù)線、有精確計算和數(shù)量估計,還有針對算術事實的快速提取等,這比任何單一成分的數(shù)學能力測驗都具有更好的代表性和更廣泛的解釋性。

本研究所編制的數(shù)感測驗采用了雙向細目表法,還通過借鑒以往數(shù)感測驗、參考數(shù)學課程標準、專家教師評定等措施來保證內(nèi)容效度,其效標關聯(lián)效度驗證了數(shù)感測驗與數(shù)感成績的相關關系,得到了符合測量學標準的兩類效度指標。各類信度指標也顯示,測驗的內(nèi)部一致性信度、重測信度、復本信度均一致穩(wěn)定,符合測量學標準。因此,所編制的兒童數(shù)感發(fā)展測驗可以用來評定小學一年級兒童的數(shù)感發(fā)展水平,并可對數(shù)感發(fā)展不良兒童進行甄別篩查。

4.2 數(shù)量轉換和數(shù)量估計的動態(tài)訓練干預對兒童數(shù)感發(fā)展的促進

為考查經(jīng)數(shù)量轉換和數(shù)量估計的干預后,數(shù)感不良兒童的數(shù)感水平和計算流暢性是否提高,本研究將篩查出的數(shù)感不良兒童分為干預組和控制組,并與正常對照組進行比較。結果證實了所選干預內(nèi)容和干預方式的有效性,歷經(jīng) 6周的干預,數(shù)感不良干預組在數(shù)感5個成分的得分及總分上均有顯著提高。而沒有接受干預的控制組雖有提高,但在有一定難度的任務(數(shù)數(shù)和數(shù)型)上增長卻不顯著。我們認為這一增長可能與學校的常規(guī)數(shù)學教學有關,當然,也不排除自然成熟的影響。數(shù)型是數(shù)感五成分中的最高成分,考查的是兒童識別數(shù)量間關系、根據(jù)數(shù)量間關系進行推理運算的能力。對低年級兒童來說,這些是比較難的項目,從他們已有的課堂數(shù)學知識中實現(xiàn)遷移尚有難度。這時指向于數(shù)量轉換和數(shù)量估計的數(shù)感干預便發(fā)揮了獨特的作用,顯示出更明顯的效果。根據(jù)數(shù)感成分依次獲得的理論(Jordan et al.,2006,2010),數(shù)數(shù)維度原本是數(shù)感五成分中最基礎的維度,但我們在編制項目階段的預測驗中發(fā)現(xiàn),基礎性的數(shù)數(shù)項目對于一年級兒童難度過低,幾乎全部答對。因為我國一年級兒童大多于學前期在幼兒園大班或學前班就已接受數(shù)學課堂教學,基礎性的數(shù)數(shù)項目對他們還是過于簡單,因此便提高了難度。項目涉及到了數(shù)數(shù)的高級能力,包括依靠所掌握的基數(shù)、序數(shù)原則來解決數(shù)數(shù)問題,如,“從3往后數(shù)的第5個數(shù)是多少？”這無疑提高了對兒童數(shù)感能力的要求,他們從常規(guī)數(shù)學教學中也難以獲得直接知識支撐。而此時基于數(shù)感干預的訓練便顯示出了傳統(tǒng)數(shù)學教學不可替代的優(yōu)勢。再來看數(shù)感正常組兒童的成績,首先他們的數(shù)感前測成績就明顯高于數(shù)感不良組,盡管沒有接受干預訓練,但基于自身較高的數(shù)感水平,他們在數(shù)學教學中的理解、獲益和提升會遠優(yōu)于另外兩組;另外,“數(shù)感”作為一種對數(shù)量和數(shù)量間關聯(lián)的意識以及靈活地解決數(shù)量問題的能力(Anghileri,2000/2007;Malofeeva et al.,2004),在兒童身上一直不斷發(fā)展著。所以,除數(shù)知識維度外,數(shù)感正常組兒童在其他4個數(shù)感維度和總分上均有顯著增長。至于數(shù)知識維度,在前測時該組兒童的成績就比較高,可發(fā)展的空間有限,所以沒有表現(xiàn)出顯著增長。

本研究選擇數(shù)量轉換和數(shù)量估計這兩個數(shù)感的關鍵成分作為干預內(nèi)容,依據(jù)的是Jordan等人的主張(如 Locuniak &Jordan,2008;Jordan et al.,2006,2010),數(shù)量轉換和數(shù)量估計對兒童數(shù)感水平的預測性最大。同時,在對數(shù)學困難的干預方面,Pellegrino和Goldman (1987)也曾提出,對數(shù)學困難兒童的補救教學應該包括對算術事實的干預訓練。有研究證實,在小學階段有數(shù)學困難傾向的兒童不能自動提取一些算術事實,他們(7歲兒童)所提取的算術事實數(shù)量顯著低于同齡數(shù)學學習正常兒童;且這種差距隨年齡的增長而更加明顯,到了12歲,數(shù)學學習正常的兒童正確提取算術事實的數(shù)量是數(shù)學困難兒童的3倍(Hasselbring et al.,1988)。研究證實,對算術事實的自動提取對長期的數(shù)學成功非常重要(National Mathematics Advisory Panel,2008)。對算術事實不能快速提取嚴重阻礙了兒童計算流暢性的發(fā)展,許多數(shù)學困難兒童掌握了程序性知識,但是他們需要以某種方式存儲這種信息,才能保證其快速準確地提取。因此,數(shù)量轉換的動態(tài)干預正是幫助這些數(shù)感不良兒童將算術事實變?yōu)殛愂鲂灾R,進而提高計算流暢性水平。

4.3 數(shù)感是計算流暢性的基礎,是評估年幼兒童數(shù)學能力的有效測驗內(nèi)容

研究發(fā)現(xiàn),數(shù)感不良能夠導致計數(shù)加工不足、算術事實提取緩慢、精確計算不足等幾乎所有數(shù)學困難的特征(Geary,Hamson,&Hoard,2000;Jordan et al.,2003a,2003b)。如前所述,研究已證實數(shù)學困難兒童在解決一位數(shù)加法問題時的速度和準確性方面都存有缺陷,且與閱讀能力無關(Barnes et al.,2006);那些在數(shù)學上表現(xiàn)不良的兒童從記憶中檢索一位數(shù)問題答案的準確度也較低(Carr &Alexeev,2011);同時,計算流暢性不足又是數(shù)學學習困難兒童的明顯特點(Bryant,2005;Cowan &Powell,2014;Fuchs et al.,2013;Locuniak &Jordan,2008;Reigosa-Crespo et al.,2012)。這些研究都證實了數(shù)感和計算流暢性對數(shù)學能力、數(shù)學困難傾向的預測與影響作用。如前所述,對數(shù)學困難的診斷鑒別多年來一直是能力–成績差異模型占主導,但差異模型因和數(shù)學成績相關對小學低年級兒童并不適用,因此需要更適切敏感的測量指標考查低年級兒童的數(shù)學能力。而且,即使在小學低年級,考查和甄別兒童在計算方面是否快速準確也是很容易操作的。那么,計算流暢性是否可以直接用來甄別和診斷年幼兒童的數(shù)學困難傾向,篩查潛在數(shù)學困難風險兒童？數(shù)感測驗因涵蓋多種數(shù)學能力,可以較好地預測年幼兒童的數(shù)學能力,是甄別低齡兒童數(shù)學困難傾向的良好指標。在這一點上,計算流暢性是否也可以起到類似的作用？為探明此問題,本研究基于動態(tài)干預研究對數(shù)感和計算流暢性進行了交叉—滯后相關分析,發(fā)現(xiàn)了數(shù)感對計算流暢性的基礎性意義,數(shù)感成分中的數(shù)量轉換和數(shù)量估計對計算流暢性有顯著的促進作用,支持了前人的研究(如Cowan &Powell,2014;Locuniak &Jordan,2008)。實際上,從另一方面也可以說明計算流暢性不是數(shù)感的前提性基礎,而是反過來,那些體現(xiàn)數(shù)感基本特性的基本數(shù)學能力,如列舉點數(shù)、數(shù)值大小比較等對計算流暢性有著較強的影響(Reigosa-Crespo et al.,2012)。厘清這一問題對于診斷和甄別潛在數(shù)學困難風險兒童非常重要。數(shù)學困難除了有單純的數(shù)學困難和伴閱讀困難的兩大類別,就單純的數(shù)學困難本身來講,其表現(xiàn)也存在跨領域的不均衡性(Ginsburg,1997),因為數(shù)學的不同方面包括不同的認知能力(Geary et al.,2000),而非只是籠而統(tǒng)之的數(shù)學能力(mathematical competence)。比如,有些數(shù)學困難兒童表現(xiàn)出算術事實提取的不足,但對數(shù)數(shù)原則和數(shù)學概念把握良好;有些數(shù)學困難兒童有良好的計算技能但卻不能很好地理解數(shù)概念(Jordan &Hanich,2000;Jordan &Montani,1997;Russell &Ginsburg,1984)。所以DSM-Ⅴ提出：診斷數(shù)學困難,要列出受損的所有領域和子領域。如果受損領域超過一個,應該根據(jù)具體分類——數(shù)感、算術事實記憶(memorization of arithmetic facts)、精確或流暢的計算(accurate or fluent calculation)、精確數(shù)學推理(accurate math reasoning)——具體指明究竟是哪些領域受損(American Psychiatric Association,2013)。從這里可以看出,數(shù)感和計算流暢性雖同為預測低齡兒童數(shù)學能力的敏感指標,但屬于不同的領域。

這又回到了我們在前言中提到的數(shù)感概念的問題——“好識別、難定義”(Case,1998)。不難看出,DSM-Ⅴ中提到的數(shù)感與Jordan五成分模型的數(shù)感內(nèi)容是不一樣的,后者的成分范圍更廣,基本涵蓋了年幼兒童最基本的數(shù)學能力,涉及到數(shù)數(shù)、數(shù)知識、數(shù)量轉換、數(shù)量估計和數(shù)型多種數(shù)學加工成分。基于五成分模型構建的數(shù)感測驗,可以相對廣泛地說明數(shù)學困難的多種表現(xiàn),且指標明確,所以,以此甄別潛在數(shù)學困難風險兒童是可靠和可行的。而計算流暢性是年幼兒童數(shù)學能力的外在表現(xiàn)之一,從診斷和篩查角度來講,計算流暢性,如心理數(shù)線(Booth &Siegler,2008)一樣,只是良好的預測指標之一,還不能廣泛地代表數(shù)學認知的能力范疇,而更為基礎和范疇廣泛的數(shù)感評估則更為適合。我們通過研究證實了數(shù)感是計算流暢性的基礎,為數(shù)感在評估測量中的可靠意義提供了前提性依據(jù)。依據(jù)五成分理論模型編制的數(shù)感測驗,包含數(shù)感的多種成分,有心理數(shù)線、有精確計算和數(shù)量估計、有數(shù)數(shù)技能等,以此評估潛在數(shù)學困難風險兒童,比任何單一成分的數(shù)學能力測驗都具有更好的代表性和更廣泛的解釋性。而且數(shù)感測驗的各個成分已被證明和數(shù)學能力關系密切——如,早期的

數(shù)數(shù)

困難可以預測日后的算術運算困難(Geary,Hoard,&Hamson,1999);

數(shù)知識

是一年級算術成績的強預測變量(零階相關系數(shù)達0.73) (Baker et al.,2002);與語言相關的

數(shù)量轉換

涉及到了經(jīng)驗和學習對數(shù)學能力的意義,與非言語計算有關的

數(shù)量轉換

則考查了與工作記憶有關的數(shù)量表征能力;

數(shù)估計

與要求精確數(shù)知識的算術運算技能有顯著相關(Dowker,1997);

數(shù)型

的掌握可以使數(shù)字組合變得更加流暢(Gray &Tall,1994;Jordan et al.,1994)——也強有力地支持了數(shù)感測驗作為評估和篩查工具的有效價值。

最后,需要特別強調(diào)的是,在深入小學數(shù)學教學實踐的過程中,我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學教師對數(shù)感促進數(shù)學能力的顯著意義還沒有充分的認識,對兒童數(shù)感的培養(yǎng)和訓練還處在無意識教學階段。事實上,培養(yǎng)和訓練兒童的數(shù)感不但有利于他們將已有數(shù)學知識進行良好的遷移,而且有利于他們在科技高度發(fā)達的社會中為今后的生活和工作打好基礎、做好準備(Anghileri,2000/2007)。因此,全美數(shù)學教師協(xié)會(NCTM) National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).(1994)..Reston,VA:Author.1994年就提出了從學齡前到高中階段的數(shù)感教學建議,我國也于 2001年將數(shù)感教學寫入了全日制義務教育數(shù)學課程標準 中華人民共和國教育部.(2001)..北京:北京師范大學出版社.,將數(shù)感的形成作為學校數(shù)學課程改革的主要目標之一。因此,在數(shù)學教學中大力強調(diào)估算和數(shù)感的訓練勢在必行,本研究在數(shù)感干預內(nèi)容和干預手段上的研究正是服務于數(shù)感教學的有益探索。

5 結論

(1)所編制的涉及數(shù)感多種成分的“兒童數(shù)感發(fā)展測驗(一年級用)”信、效度良好,可以有效評估兒童的數(shù)感發(fā)展狀況,并區(qū)分出不同數(shù)感發(fā)展水平的兒童;

(2)通過對數(shù)感不良兒童進行指向于數(shù)量轉換和數(shù)量估計的動態(tài)干預,其數(shù)感水平得到顯著提高,并且計算流暢性水平也得到提高;

(3)數(shù)感是計算流暢性的基礎和預測變量。

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