考慮內部激勵隨機性的兩級分流式人字齒輪傳動動力學特性

考慮內部激勵隨機性的兩級分流式人字齒輪傳動動力學特性

廖映華1,2，秦大同1，劉長釗1

(1. 重慶大學機械傳動國家重點實驗室,重慶400044； 2. 四川理工學院機械工程學院,四川自貢643000)

摘要：根據某特種裝備用兩級分流式人字齒輪傳動系統的構型特點，考慮軸承變形、嚙合剛度、嚙合誤差和齒側間隙等因素，建立了兩級分流式人字齒輪傳動系統的軸承-齒輪耦合非線性動力學模型。采用Runge-Kutta逐步積分法求解系統的非線性動力學微分方程，從而獲得隨機嚙合剛度和嚙合誤差激勵作用下兩級分流式人字齒輪傳動系統的動態嚙合力和動態支承力及其頻譜，采用Monte Carlo仿真獲得動態嚙合力和動態支承力的統計特征，研究了嚙合剛度和嚙合誤差隨機性對動態嚙合力和動態支承力的影響規律，為兩級分流式人字齒輪傳動系統動力學優化以及動態可靠性優化奠定基礎。

關鍵詞：隨機內部激勵；人字齒輪傳動；動力學特性；統計特征

中圖分類號:TH132.4文獻標志碼：A

Dynamic characteristics of two-stage split herringbone gear trains considering the randomness of internal excitations

LIAOYing-hua1,2,QINDa-tong1,LIUChang-zhao1(1. State key laboratory of mechanical transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China；2. School of Mechanical Engineering, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong 643000, China)

Abstract:According to the configurational characteristics, a bearing-gear coupled non-linear dynamics model of two-stage split herringbone gear trains used in special equipment was presented. In the model, bearing stiffness, mesh stiffness，mesh errors and gear backlash were all included. Then the Runge-Kutta step-by-step integration method was used to solve the non-linear differential equations of motion, the time history curves and frequency spectrums of the dynamic meshing force and dynamic bearing force were obtained considering the random mesh stiffness and mesh error excitations, and further, their statistical characteristics were determined by Monte Carlo simulation to analyze the influences of the randomness of mesh stiffness and mesh errors on the dynamic mesh force and dynamic bearing force. The research results lay a foundation for the dynamic optimization and dynamic reliability optimization of two-stage split herringbone gear trains.

Key words:random internal excitation; herringbone gear trains; dynamic characteristic; statistical characteristic

人字齒輪由左右完全對稱的斜齒輪構成，人字齒輪傳動無軸向力，承載能力高，廣泛用于起重機械、艦船、礦山機械和工程機械等重載設備。由于制造安裝誤差、時變嚙合剛度和齒側間隙等因素的影響，人字齒輪傳動系統工作時各傳動件承受著復雜的動態載荷，對系統振動噪聲、疲勞壽命和可靠性有重要影響，因此人字齒輪傳動系統動力學特性分析是低噪聲和高可靠性設計的基礎。

已有大量文獻對人字齒輪傳動系統的動力學特性進行了研究。吳新躍等[1]在考慮齒輪軸的軸向變形，忽略齒輪摩擦的基礎上，建立了單級人字齒輪副嚙合耦合振動模型。王成等[2-3]建立了單級人字齒輪傳動的彎-扭-軸耦合動力學模型，討論了系統的內部激勵和輪齒修形對人字齒輪傳動動態特性的影響，并通過輪齒接觸分析(TCA)和承載接觸分析(LTCA)計算內部激勵。Sondkar[4]建立了單級人字齒輪行星齒輪動力學分析模型，并分析了系統的固有特性及動態響應。郭家舜等[5]將齒廓修形作為一種時變齒側間隙，建立了單級人字齒輪傳動的彎-扭-軸耦合動力學模型，分析了修形參數對動態系數幅值的影響。卜忠紅等[6]建立了人字行星齒輪傳動系統的扭轉-橫向振動模型，得到了系統的五種固有振動模式，分析了科氏慣性力、離心慣性力以及轉速對系統固有頻率的影響。朱增寶等[7-8]建立了考慮支撐彈性變形、時變嚙合剛度、誤差激勵等因素的差動人字齒輪傳動系統動力學模型，分析了安裝誤差、偏心和齒輪誤差對系統均載特性的影響。上述研究將各種激勵視為確定性激勵，但實際上由于制造、安裝誤差存在的隨機性導致齒輪系統內部激勵的不確定性，其對齒輪系統動力學特性的影響不應忽視[9-13]。因此，為了研究制造誤差隨機性對兩級分流式人字齒輪傳動系統動力學特性的影響規律，本文以某特種裝備用兩級分流式人字齒輪傳動系統為對象，考慮軸承變形、嚙合剛度、嚙合誤差和齒側間隙等因素，建立了人字齒輪傳動系統的齒輪-軸承耦合非線性動力學模型，分析了由隨機制造誤差引起的嚙合剛度和嚙合誤差等內部激勵的隨機性對人字齒輪傳動系統動力學特性的影響規律。

圖1為某種特種裝備用兩級分流式人字齒輪傳動系統的運動簡圖，該傳動系統的中間軸軸向固定，高速軸和低速軸軸向自由。將齒輪的輪體視為剛體，輪齒、軸和軸承視為線彈性體， 考慮傳動軸扭轉變形和軸向

變形，忽略粘性阻尼、重力和輪齒間的摩擦力，考慮人字齒輪制造誤差引起的嚙合誤差、軸向位移激勵和齒側間隙，則可建立圖2所示的兩級人字齒輪傳動系統的動力學模型。圖2中，在齒輪i(i=1,…,6)的理論中心Oi建立固定坐標系OiYiZi，坐標軸Yi平行于系統靜態齒輪嚙合線，坐標軸Zi位于軸承孔的理想中心線上；齒輪i的質量為mi，轉動慣量為Ji；Td為驅動轉矩，TL為負載轉矩。

圖1　某特種裝備用兩級分流式 人字齒輪傳動系統的運動簡圖 Fig.1 Kinematic diagram of two-stage split herringbone gear trains used on special equipment

圖2　兩級分流式人字齒輪傳動系統的動力學模型 Fig.2 Dynamic model of two-stage split herringbone gear trains

1兩級分流式人字齒輪傳動系統的動力學模型

根據人字齒輪副的嚙合狀態以及位置關系，人字齒輪嚙合副k(k=I, Ⅱ, Ⅲ)的左(L)、右(R)側輪齒的嚙合變形δjk(j=L、R)為

(11)

式中:yi為齒輪i的質心在Yi方向上偏離其理論位置的線位移；θi為齒輪i的角位移；βbk為構成齒輪副k的齒輪的基圓柱螺旋角；ejk為齒輪副k的左、右側的嚙合誤差；rbi為齒輪i的基圓半徑。

考慮齒側間隙時，人字齒輪副k的左、右側的嚙合力Fjk為

(2)

式中:bk為齒輪副k的法向齒側間隙。kjk為齒輪副k的左、右側的綜合嚙合剛度。

人字齒輪副k在切向和軸向上的總嚙合力Fvyk、Fvzk分別為

(3)

取系統廣義坐標列陣為

q=

[y1,θ1,y2,θ2,y3,z3,θ3,y4,z4,θ4,y5,z5,θ5,y6,θ6](4)

根據牛頓第二定律，圖2所示的兩級分流式人字齒輪傳動系統的運動微分方程為

(5)

2人字齒輪傳動系統內部激勵分析

2.1隨機嚙合剛度引起的內部激勵

由于齒輪制造安裝誤差隨機性的影響，嚙合剛度既存在周期性分量，又存在隨機性分量，嚙合剛度激勵可表示為

(6)

式中:km為平均嚙合剛度；kai、φki分別為嚙合剛度周期性分量的幅值和相位；N為諧波次數；fm為嚙合頻率；kr(t)為嚙合剛度隨機性分量。

嚙合剛度隨機性分量kr(t)一般某一范圍內變化，工程上通常假設其服從截尾正態分布，其概率密度函數為

(7)

2.2隨機嚙合誤差引起的內部激勵

如圖3所示，影響齒輪系統傳動平穩性的誤差主要有齒輪的偏心誤差er、齒距偏差fpt、漸開線齒廓偏差ffα。圖2中，O為齒輪的理論中心，O′為齒輪的實際中心，坐標軸y與嚙合線平行。pt為端面齒距，δ為偏心誤差的位置角，fc為軸頻。由于制造、安裝過程中的不確定性，這些誤差均包含隨機成分，則嚙合誤差激勵表示為

e(t)=ersin(2πfct+δ)+

(8)

式中，eai、φei分別為齒距和齒廓偏差引起的周期性分量的幅值和初始相位角；er(t)為齒距和齒廓偏差引起的隨機分量，它服從截尾正態分布；fm為嚙頻，且fm=fcz，z為齒輪的齒數。

圖3　影響齒輪系統傳動平穩性的誤差 Fig.3 Errors affecting the drive stationarity of a gear system

3仿真與分析

某特種裝備用兩級分流式人字齒輪傳動系統的基本參數見表1，系統的輸入額定轉速nd=1 750 r/min，額定轉矩Td=2 225 N·m。以其為例分析嚙合剛度和嚙合誤差隨機性對兩級分流式人字齒輪傳動系統的動力學特性的影響。

3.1內部激勵隨機性對系統動力學特性的影響

考慮側隙非線性和隨機內部激勵時，兩級分流式人字齒輪傳動系統為多自由度非線性系統。本文采用Runge-Kutta數值逐步積分求解系統響應、動態嚙合和動態支承力，并通過傅里葉變換得到它們的頻譜。

表1　某特種裝備用兩級分流式人字齒輪傳動系統的基本參數

忽略齒側間隙和嚙合誤差的情況下，嚙合剛度隨機性對齒輪副Ⅰ、Ⅲ的動態嚙合力的影響如圖4所示，嚙合剛度隨機性對齒輪1的動態支承力(Fbyk=kykyk)的影響如圖5所示。由圖4可知，考慮嚙合剛度隨機性的動態嚙合力(圖4(b)、(d))的幅值明顯比不考慮嚙合剛度隨機性的動態嚙合力(圖4 (a)、(c))大；由于齒輪副Ⅰ的嚙頻高、傳遞的載荷小，嚙合剛度隨機性引起的動態嚙合力隨機波動較大，因此齒輪副I的動態嚙合力增幅比齒輪副Ⅲ的增幅更大。由圖4(c)、(d)和圖5(a)、(b)可知，由于軸承-齒輪的耦合作用，動態支承力的幅值隨動態嚙合力的增加而增加。由圖4(e)~(h)可知，考慮嚙合剛度隨機性時，動態嚙合力的各諧波成分的幅值明顯增加，且在圖4(f)所示的齒輪副Ⅰ的動態嚙合力頻譜中出現了2 668 Hz、2 943 Hz的新諧波成分，這是由于嚙合剛度隨機性引起了動態嚙合力隨機波動。

圖4　嚙合剛度隨機性對齒輪副Ⅰ、Ⅲ的動態嚙合力的影響(忽略嚙合誤差和齒側間隙) Fig.4 Influences of random mesh stiffness on dynamic meshing force of gear pair Ⅰ and Ⅲ (Regardless of the meshing error and backlash)

圖5　嚙合剛度隨機性對齒輪1的動態支承力的影響(忽略嚙合誤差和齒側間隙) Fig.5 Influences of random mesh stiffness on dynamic bearing force of gear 1 (Regardless of the meshing error and backlash)

圖6　嚙合剛度隨機性對齒輪副Ⅰ的動態嚙合力的影響 (齒側間隙b 1=b 2=15 μm，b 3=25 μm，不考慮嚙合誤差) Fig.6 Influences of random mesh stiffness on dynamic mesh force of gear pair Ⅰ (the backlashes b 1=b 2=15 μm，b 3=25 μm, Regardless of the meshing error)

圖7　嚙合誤差隨機性對齒輪副Ⅰ的動態嚙合力的影響(忽略嚙合剛度變化和齒側間隙) Fig.7 Influences of random mesh errors on dynamic mesh force of gear pair Ⅰ (Regardless of the variation of meshing error and backlashes)

圖8　嚙合誤差隨機性對齒輪副Ⅰ的動態嚙合力的影響 (齒側間隙b 1=b 2=15 μm，b 3=25 μm，不考慮嚙合剛度變化) Fig.8 Influences of random mesh errors on dynamic mesh force of gear pair Ⅰ (the backlashes b 1=b 2=15 μm，b 3=25 μm，Regardless of the variation of meshing error)

在考慮齒側間隙，忽略嚙合誤差的情況下，嚙合剛度隨機性對齒輪副Ⅰ的動態嚙合力的影響如圖6所示。對比圖6(a)、(b)所示的時域曲線可知，嚙合剛度隨機性使齒輪副Ⅰ的動態嚙合力的隨機波動更加明顯、變化幅值明顯增大，齒輪副不僅發生脫嚙，導致嚙合沖擊，還發生了非工作齒面接觸。對比圖6(c)、(d)所示的頻譜可知，考慮嚙合剛度隨機性時，動態嚙合力和動態支承力的頻率成分明顯增多，各頻率成分對應的幅值也發生了明顯變化，且在低頻段出現了連續的頻率成分，這是由于嚙合沖擊和系統內部激勵隨機性使動態嚙合力中隨機成分增加所致。

忽略嚙合剛度變化和齒側間隙的情況下，嚙合誤差隨機性對齒輪副Ⅰ的動態嚙合力的影響如圖7所示。由圖7(a)、(b)可知，考慮嚙合誤差隨機性的動態嚙合力的幅值明顯比不考慮嚙合剛度隨機性的動態嚙合力大。由圖7(c)、(d)可知，考慮嚙合誤差隨機性時，齒輪Ⅰ的動態嚙合力出現了2 958 Hz和4 394 Hz的新頻率成分。對比圖7(a)、(b)和圖4(a)、(b)可知，嚙合誤差隨機性對動態嚙合力幅值的影響比嚙合剛度隨機性更顯著。

在考慮齒側間隙，忽略嚙合剛度變化的情況下，嚙合誤差隨機性對齒輪副Ⅰ的動態嚙合力的影響如圖8所示。由圖8(a)、(b)可知，嚙合剛度隨機性使動態嚙合力的幅值顯著增大，且出現了明顯的脫嚙和反向嚙合。對比圖8(c)、(d)可知，低頻部分的頻率基本不變，高頻部分頻率成分更加豐富。對比圖8(c)、(d)和圖6(c)、(d)可知，嚙合誤差隨機性對動態嚙合力高頻部分影響較大，而嚙合剛度隨機性對動態嚙合力的低頻部分和高頻部分均有顯著的影響。

3.2內部激勵隨機性對系統動態力的統計特征的影響

多自由度非線性系統的隨機響應的統計特征常采用隨機等效線性化[14]與MCS[15-16](Monte Carlo仿真)獲得，本文采用MCS獲得隨機嚙合剛度和隨機嚙合誤差作用下系統動態嚙合力和動態支承力的統計特征。

圖9　系統動態力的統計特征與齒輪副Ⅲ的隨機嚙合 誤差的標準差的關系 (齒側間隙b 1=b 2=15 μm，b 3=25 μm) Fig.9 Relations between the statistical characteristic of dynamic force and the standard deviation of random mesh error on gear pair Ⅲ (The gear backlashes b 1=b 2=15 μm，b 3=25 μm)

圖9為系統的動態力的統計特征與齒輪副Ⅲ的隨機嚙合誤差的標準差的關系。由圖9可知，隨機嚙合誤差的標準差較小時，隨機嚙合誤差的標準差對動態嚙合力和動態支承力的均值和變異系數(=標準差/均值)的影響較小；當隨機嚙合誤差的標準差較大時，系統振動增大，齒輪副頻繁出現脫嚙和非工作齒面接觸，使得動態支承力的均值、動態嚙合力和動態支承力的變異系數隨隨機嚙合誤差的標準差的增大而顯著增大。

隨機嚙合剛度的標準差對系統動態力的統計特征的影響規律與隨機嚙合誤差的標準差相似。在不考慮外部載荷變化的情況下，增大隨機嚙合剛度和隨機嚙合誤差的標準差，系統的動態嚙合力的均值基本不變。

4結論

(1)建立了考慮軸承變形，嚙合剛度、嚙合誤差和齒側間隙的兩級分流式人字齒輪傳動系統的軸承-齒輪耦合動力學模型。

(2)采用Runge-Kutta數值逐步積分法求得隨機嚙合剛度或嚙合誤差激勵作用下系統的動態嚙合力和動態支承力，結果表明：嚙合剛度或嚙合誤差的隨機性使得系統的動態嚙合力和動態支承力發生隨機波動，諧波成分增多，甚至出現連續頻率成分；嚙合剛度或嚙合誤差的隨機性使動態嚙合力和動態支承力明顯增大，當轉速高、載荷輕時，嚙合剛度或嚙合誤差的隨機性對動態嚙合力和動態支承力影響更明顯；考慮嚙合剛度或嚙合誤差的隨機性時，齒側間隙對系統動力學特性的影響更加顯著。

(3)采用Monte Carlo仿真獲得隨機嚙合剛度或嚙合誤差激勵作用下系統的動態嚙合力和動態支承力的統計特征，并分析了其對動態嚙合力和動態支承力的統計特征的影響。結果表明：隨機嚙合剛度或嚙合誤差的標準差增大，動態嚙合力和動態支承力的標準差以及動態支承力的均值也增大，但動態嚙合力的均值基本不變；當隨機嚙合剛度或嚙合誤差的標準差增大至某一值時，嚙合副將發生脫嚙和非工作齒面接觸，引起嚙合沖擊，使動態嚙合力和動態支承力的波動幅值急劇增大。

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