費馬數的教學設計

馬元魁　張天平

摘要：本文給出針對費馬數的一種教學設計，以應用實例引入，通過對費馬數的研究歷程來進行講解，重點讓學生理解費馬數的性質及應用。整堂課按照引入—知識回顧—概念的表述—應用—小結的模式進行設計，全程既具有趣味性又具有啟發性。

關鍵詞：費馬數；尺規作圖；教學設計

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）04-0214-02

一、引言

近幾十年來，數論在代數編碼、密碼學、信號的數字處理、計算機科學、組合數學等領域內得到廣泛的應用，尤其值得一提的是許多較深刻的結果都得到了應用，并收到了意想不到的良好效果。注意到這些情形，教師在講授初等數論課程時，除了包含通常初等數論教科書所共同具有的最基本的內容外，應該適當拓展新的內容，以適應不斷發展的理論和應用方面的需要。在講解那些熟知的經典結果的同時，也要注意介紹新的證明方法和近代的進展，并盡可能地提到它們的應用，從而有效地激發學生的學習熱情，這就是我們設計這堂課的主要意圖。費馬數是初等數論在介紹素數性質時所給出的一個重要例子，本文以費馬數為例進行教學設計。

二、趣味引入

大家都知道，核導彈爆炸的威力無疑是驚人的，因而核導彈的安全問題就顯得至關重要了。各個國家的核導彈都由安全性能極高的密碼系統所控制，而數論已成為控制成千上萬顆核導彈密碼系統的理論基礎。實踐證明，最好的密碼之一是利用大素數制造的，極難破譯。那么，什么是素數呢？如何快捷有效地產生一些大素數以用于密碼設計呢？就讓我們首先做一下知識回顧。

三、知識回顧

1.素數及合數的定義[1]：一個大于1的整數，如果它的正因數只有1和它本身，就叫做素數，否則就叫做合數。常見的素數，如2、3、5、7、11、13、17、19、23、27、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97……

2.算術基本定理[1]：任意一個大于1的正整數都可以表示成一些素數的乘積，而且如果把這些素因子按從小到大的順序排列后，表示方法是唯一的，如6936=23×3×172。

從這個意義上講，如果研究清楚了素數的性質，自然數的性質從某種程度上講也就清楚了。

早在古希臘時期的歐幾里德首先證明了有無窮多個素數。但是令人遺憾的是他并沒有找到素數的模型或產生素數的有效工具。要是有一個公式能夠表示出所有的素數，那該多好啊！于是一場尋找素數公式的風潮席卷數學界數百年的研究歷史。

四、概念的表述

截至2015年4月，人們也僅僅發現了區區280個費馬合數以及322個費馬數的素因子。這在科學技術高度發達的21世紀，簡直是不可想象的！于是人們更傾向于認為“從第6項開始，費馬數全部是合數”以及“存在無窮多個費馬合數”等結論，但遺憾的是至今都沒有嚴格的證明。而這些結論倘若與費馬當初的猜想去比較的話，很容易會發現二者相去甚遠，這就不免讓人開始擔心這將會毀了費馬的一世英名。然而費馬素數后來鬼魅般的出現在了另一個古老而又著名的數學問題——尺規作圖。

五、應用

1.簡單介紹尺規作圖的發展歷程[3]：這里演示一下正5邊形的尺規作圖法。古希臘人對于用沒有刻度的直尺和圓規做正多邊形的方法十分感興趣：利用正3邊形，能做出具有3×2n個頂點的正多邊形；利用正4邊形，能做出具有4×2n個頂點的正多邊形；利用正5邊形，能做出具有5×2n個頂點的正多邊形；利用正15多邊形，能做出15×2n個頂點的正多邊形。因此我們很自然的會問，是否所有的正n邊形，都可以尺規作圖？如果不能，哪些正n邊形可以，哪些不可以？

2.費馬素數與尺規作圖：1796年，年僅19歲的高斯證明了做出正17邊形的可能性，從而首次在這一兩千年來懸而未決的問題上做出了重大突破！5年后的1801年，高斯又給出了一個正n邊形可尺規作圖的充分條件[1]：當奇數n是一個費馬素數，或是若干個不同的費馬素數的乘積時，正n邊形才能尺規作圖。對奇數n，這一條件后來被證明也是必要的。費馬數居然不可思議地出現在了用直尺和圓規做正多邊形這樣一個完全不同的問題當中。

從這個定理的結果可以看出：正3邊形和正5邊形可以做出，因為3和5都是費馬素數；但卻不能做出正7邊形，因為7不是費馬素數；也不能做出正9邊形，因為9=3×3是兩個相同的費馬素數的乘積；也不能做出正11邊形和正13邊形，因為11和13都不是費馬素數；但可以做出正15邊形，因為15=3×5是兩個不同的費馬素數的乘積；也可以做出正17邊形，因為17是費馬素數；然后能夠用直尺和圓規作圖的正多邊形依次是正51邊形、正85邊形、正255邊形、正257邊形等。

這里需要指出的是高斯本人實際上并未給出正17邊形的具體作圖法，第一個真正的正17邊形尺規作圖法直到1825年才由約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger）給出。

六、結論

素數公式是能夠表示出所有素數的公式，具有重要的理論意義和應用價值。費馬數猜想是費馬試圖給出素數公式的重要嘗試，歷史發展證明了這是偉大的費馬在這一問題上所犯的一次美麗的“錯誤”，但是，同樣偉大的高斯卻出人意料地把它用于尺規作圖，從而從某種意義上“救贖”了費馬的“錯誤”，所以在課程設計時要重點讓學生理解費馬數的性質及應用，通過對費馬數的研究歷程來進行講解，整堂課按照引入—知識回顧—概念的表述—應用—小結的模式進行設計，全程既具有趣味性又具有啟發性。“小問題，大智慧”，從而充分展現初等數論這一學科的無窮魅力。

參考文獻：

[1]柯召，孫琦.數論講義[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]維基百科[EB/OL].https：//en.wikipedia.org/wiki/Fermat_numbers

[3]維基百科[EB/OL].https：//en.wikipedia.org/wiki/Compass-and-straightedge_con-struction.

Abstract：An instructional design for Fermat Numbers is provided in this paper. Starting with an example，the Fermat numbers are explained through the history of study. The key point is to help the students understand their property，along with the applications. The process is consisted in introduction，knowledge review，concept presentation，applications，and summary. The whole process is both interesting and instructive.

Key words：Fermat Numbers；Compass-and-straightedge construction；Instructional Design