改進預測函數控制及其在四旋翼飛行器的應用

（遼寧石油化工大學 信息與控制工程學院，撫順 113001）

四旋翼飛行器的關鍵技術是姿態控制，它決定且影響著飛行器的飛行狀態。但干擾其飛行因素有很多，比如模型參數、氣流、風速、大氣壓、磁場等。隨著國內外計算機技術與MEMS技術的不斷發展，四旋翼飛行器控制方法也取得了相應進展，研究人員分別提出了 PD 控制[1]、PID 控制[2]、PID 神經網絡[3]、反步法[4]、滑模控制[5]等控制方式。這些算法基本上能夠實現對飛行器的姿態控制，但仍有很多缺點。PD控制魯棒性不強，在陣風干擾和模型參數擾動下控制效果不理想；PID控制、反步法以及滑模控制均對模型作了線性化處理，但忽略了模型非線性部分，導致精度不高，控制效果受到影響；PID神經網絡由于需要大量數據而不好實現，對于大的干擾很難達到理想控制效果。并且PID控制器不能進行在線整定控制參數，預測控制算法在線計算量很大，降低控制實時性。

預測函數控制（PFC）在 1986年由 Richalet和Kuntze等人共同提出[6-7]，其適用于跟蹤控制迅速、精度要求高的機器人。該控制方法主要強調控制量的結構性，特點是計算量小、魯棒性強、具有較好的跟蹤速度與精度。如今，許多學者已經提出了新型控制算法，它將PID與傳統預測控制相結合[8]，而本文將PID與增量型預測函數控制相結合，提出了一種基于增量型預測函數自整定PID的控制策略，并應用于控制四旋翼飛行器的飛行姿態。

1 狀態空間多變量增量式預測函數控制算法

1.1 基函數

預測函數控制是第三代模型預測算法，仍然屬于預測控制理論領域，因此具備傳統預測控制方法的特點：預測模型、滾動優化、反饋校正。

與傳統預測控制不同，控制輸入結構化是控制性能的關鍵，且預測函數引入了基函數，新的控制策略被表示為幾個已知基函數的線性組合。基函數的選取關鍵在于被控對象和設定值的特性，通常為階躍、斜坡和指數函數。

控制輸入被表示為一系列基函數的線性組合，具體表達式為

式中：J為基函數個數；μj為基函數線性組合的系數；p為預測優化的步長。

四旋翼飛行器預測模型輸出ym（k）由模型自由響應yl和強迫響應yf兩部分組成，k+i時刻的模型輸出為

本文考慮四旋翼飛行器的MIMO非線性系統，采用離散狀態空間表達式：

式中：ΔXm（k+1）為 k+1 時刻狀態增量；ΔYm（k）為 k時刻模型輸出增量；Am，Bm，Cm為模型矩陣；ΔU（k）為在k時刻輸入增加的控制量。

根據式（3）可以推出在k+p時刻的模型狀態表示為

根據式（1）、式（3）和式（4）推出在 k+p 步后模型輸出表示為

式中：ΔYm（k+p）為在k+p時刻輸出增量值。

1.3 反饋校正

為了克服系統模型失配，引入誤差值，即當前時刻系統的輸出和模型輸出的差值來校正預測輸出：

式中：ypi（k）和 ymi（k）分別為當前時刻系統的輸出和模型的輸出。

為了提高其準確性，未來k+p時刻誤差的預測通常選用已知時刻數值基礎上的多項式擬合法進行預計。誤差預測公式為

式中：eb（k）為擬合多項式的系數；g為擬合多項式展開的階數。

根據式（6）、式（7）和式（8），校正后的預測輸出表達式：

1.4 滾動優化

取未來的參考軌跡為

式中：Ci（k+p）為未來時刻的設定值；Ci（k）為當前時刻的設定值為參考軌跡柔化因子；ypi（k）為k時刻系統的實際輸出。

未來時刻的設定值通常都被表示為多項式的形式，即：

將式（11）代入式（10）后得到：

通過最優點上的參考軌跡和預測未來過程輸出值的誤差平方進行最小優化，得其優化目標函數表達式：

式中：Ri=Cm（1-Amp）；Yp=｛ym1…ymi｝。

2 增量式預測函數自整定PID

2.1 PID控制算法

傳統PID控制算法在工業上發展較早，應用廣泛。該算法是由比例積分微分線性組合的控制量。

PID控制算法表達式為

式中：Kp為比例系數；Ti為積分時間常數；Td為微分時間常數；e（t）為系統偏差量，其值等于輸出值與給定值之差。

設u（k）是第k次采樣控制輸出值，其離散的PID表達式：

即PID增量型表達式為

為了簡化計算方便將式（18）轉換為如下形式：

2.2 增量式預測函數PID控制算法

將預測函數控制與PID算法的優點相結合，使新的優化目標函數具有比例、積分、微分的結構特點。

將增量式PID控制算法，即式（19）代入預測函數控制的最優化表達式（13）中，我們可以得到新的最優控制律表達式：

由式（20）可推導出：

然而，仔細觀察式（19），誤差 e（k）如果無限接近零，w（k）將是無限的這是不可能實現的。所以設定一個微小且有限的輸出誤差值σ，會導出如下的實際控制的公式：

3 四旋翼飛行器結構及非線性數學模型

3.1 結構介紹

四旋翼飛行器在空間中共有6個自由度，只要調節4個旋翼的轉速，即能夠改變其飛行姿態[13]，其模型如圖1所示。

圖1 四旋翼飛行器模型結構Fig.1 Four rotor aircraft model structure

它的構造由主控板和呈十字交織的4個電子調速器、電機、旋漿組成，而且布局簡單、靈活性強、負載能力大，可以實現俯仰、偏航、翻轉、垂直起降以及空中懸停等動作。電機是由電子調速器控制，主控板主要用于解算當前飛行姿態、控制電調等功能。四旋翼飛行器其強耦合、非線性、多變量欠驅動系統的特點，且快速實時控制及不穩定性均對控制算法提出了十分高的要求。

3.2 模型建立

依據文獻[14]將飛行器的運動過程分解為線運動和角運動。根據牛頓定律和歐拉方程，構建線運動與角運動的非線性動力學模型。考慮實際飛行條件，試飛時飛行器速率較低，可忽略空氣阻力，得到飛行器簡易非線性化模型，如式（23）所示：

式中：Δu（1），Δu（2），Δu（3），Δu（4）分別是總升力，橫滾、俯仰、偏航力矩的增量；Ix，Iy，Iz為對應軸的轉動慣量；l是飛行器質心到電機之間距離。

利用解耦控制算法將復雜非線性耦合模型分解為獨立控制通道。在控制飛行器航跡的過程中，角速度控制作為內環，角度控制作為外環，通過姿態解算（IMU）計算出歐拉角，并用于姿態控制反饋，及進行姿態閉環控制。針對傳統PID控制策略不能達到滿意姿態控制的效果，本文在傳統PID姿態控制方法基礎上進行改進，應用前面所論述的增量式預測函數自整定PID控制策略（IPFC-PID）。其姿態控制流程如圖2所示。

圖2 姿態IPFC-PID控制Fig.2 Posture IPFC-PID control block

3.3 實驗結果與分析

為了驗證預測函數在線實時自整定PID算法的有效性，利用Matlab仿真軟件搭建實驗環境，仿真時間為10 s；采樣時間Ts=1 s；俯仰角通道Tr=30，P=80；翻轉角通道 Tr=50，P=80；偏航角通道 Tr=60，P=80。

圖3 俯仰角的單位階躍響應Fig.3 Pitch angle of the unit of step response

圖3所示為運用PID控制和本文算法飛行器的俯仰角仿真效果圖，由圖中可以看出本文所提出的改進算法系統反應迅速，并且超調量較小，經過調整后在5s左右處可達到穩定平衡狀態，加上干擾后也可以迅速達到穩定效果。

圖4所示為運用PID控制和本文算法控制系統的翻轉角仿真效果圖，由圖可知本文算法系統反應迅速，無超調，在1 s左右使系統進入穩定控制，加上干擾后迅速達到穩定狀態。

圖4 翻轉角的單位階躍響應Fig.4 Roll angle of the unit of step response

圖5所示為運用PID控制和本文算法控制系統的偏航角仿真效果圖，PID控制超調量較大而本文提出算法無超調，并且3 s左右就能夠達到了穩定，加上干擾后迅速達到穩定效果。

圖5 偏航角的單位階躍響應Fig.5 Yaw angle of the unit of step response

姿態控制在單位階躍信號輸入的情況下，各姿態角的仿真結果對比表明，本文改進算法的階躍曲線超調量較小，穩態誤差幾乎為零，響應速度較快，很快進入了穩定的狀態，其控制效果優于傳統的PID控制。

3.3 飛行試驗

由于四旋翼飛行器的實際飛行和仿真存在一些區別，因為將飛行器定點懸停來驗證本文所提出控制策略的可行性。

設四旋翼飛行器的初始狀態為x=y=0，z=0.5，Φ=θ=φ=0。控制目標從起始位置飛至點處于懸停狀態。通過NRF24L01無線通訊模塊獲得飛行器的數據并連接上位機，觀察翻轉角、俯仰角、偏航角的變化，如圖6～圖8所示。

圖6 定點懸停的翻轉角Fig.6 Dot hovering roll attitude angle

圖7 定點懸停的俯仰角Fig.7 Dot hovering pitch attitude angle

圖8 定點懸停的偏航角Fig.8 Dot hovering yaw attitude angle

由圖可以觀察到飛行器在定點懸停時，姿態角在±1.5°左右范圍內波動，其波動非常小且快速準確地跟蹤給定姿態角信號，基本實現了本文所提出算法姿態控制的有效性。

4 結語

根據四旋翼飛行器姿態控制系統，在傳統PID控制算法的基礎上改進并提出了一種增量式預測函數自整定PID控制。經過Matlab仿真與飛行器懸停狀態的實際應用，本文提出算法均能夠有效地完成姿態控制，因此IPFC-PID控制策略具有良好的控制效果，使飛行姿態抗干擾能力強，反應迅速，并且增強了系統的魯棒性。

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