開放題：數學教育“輕騎兵”

作者簡介

楊傳岡，中小學高級教師，鹽城市數學學科帶頭人，在省級以上期刊發表文章50多篇，其中有2篇被人大復印資料全文轉載。主持一項全國教育規劃“十二五”教育部重點課題，主編的《小學數學開放題舉一反三》（1～6）由南京大學出版社出版，出版個人專著《觸摸數學》。

眾所周知，我國數學教育最大的優勢就在于重視嚴密的邏輯思維訓練，強調解題的深度、速度和效度。但客觀上造成了數學課堂嚴謹有余而活潑不足，學生感覺數學單調乏味，學習的積極性隨著年級的上升逐漸下降，從中高年級起數學學困生的數量一直居高不下。從數學教育改革來看，隨著“新數”運動的急劇衰落，人們在對歷史的反思中認識到數學教學模式應在綜合化的過程中達到優化。在這一過程中，開放題被認為是最富教育價值的一種數學題型。

隨著以互聯網全球化普及為標志的信息技術革命的快速發展，特別是互聯網+時代的到來，人類面臨的是一個日新月異、開放、多元的社會。傳統數學教育的弊端越發凸顯，桎梏了學生創新思維的培養。面對生存挑戰，數學教育亟須培養出具有創新能力的人才。從這個意義上說，開放題的出現是現代數學教學改革的呼喚。

一、傳統與前衛的碰撞：小學數學開放題的理性思考

1.數學開放題的價值定位

開放題雖然是一類比較特殊的數學問題，但它不僅具有一般的知識教育價值，而且具有培養學生發散思維和創新思維的價值（這是開放題的教育價值核心內容和主要體現）。如果素質教育的核心是培養創新精神和創新能力，那么，開放題的教學就是推進學校素質教育的一個突破口。

從結構形式方面看，數學開放題答案具有不唯一性；從解題過程和解題策略看，開放題具有發散性、探究性、層次性、發展性和創新性等特點。這些特點決定了開放題教學的開放性。在開放性教學環境中，學生是知識的發現者、探索者和研究者，在探究活動過程中，學生能體驗或者“再創造”數學家所經歷過的數學研究活動過程，把握數學知識本質，從而形成正確的數學觀念和意識，掌握基本的數學思想和方法，為今后的學習和解決問題奠定基礎。

從激發學生學習興趣方面看，開放題的學習有利于激發不同層次學生的學習興趣，有利于增強學生學習數學的自信心，有助于凸現學生的主體意識，促進學生形成獨立人格及克服困難、勇于探索的意志品質，強化團隊意識和合作精神，增強學生的競爭意識、探索意識和創新意識，形成正確的科學態度等。

2.數學開放題的概念定位

數學開放題的概念到目前為止，學術界還沒有一個統一的定義。有人從與封閉題對應的角度上定義：封閉題是指條件恰當（不多不少）、答案固定的習題；開放題是條件多余需選擇、條件不足需補充或答案不固定的習題。有人從答案的數量上來定義：答案是不唯一的問題稱為開放題。有人從解題途徑和答案的數量上來定義：有多種正確答案、結果是開放的問題類型，它們通常有幾個或很多個正確答案，有很多種正確解答的途徑與方法。有人從條件、解題途徑和答案的數量上定義：問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余。對數學問題指向只有原則性要求的一題多解式數學問題稱為開放性數學問題。還有人從解答結果與目的上來定義：開放題是“無終結標準答案、培養發散思維的數學問題”。

盡管各種定義方式不一，但答案不唯一是開放題的共性特征。目前普遍采用的定義來自數學開放題中國化研究的先驅者戴再平教授。戴教授采用了一個描述性的定義：“答案不唯一，并在設問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的數學問題?！?/p>

3.數學開放題的課程定位

作為一種新型的習題類型，數學開放題與結構嚴謹、體系嚴密的傳統數學習題相比，還只是“襁褓”中的“嬰兒”，其教學理論與實踐尚處于建構階段。廣泛的教學實踐表明：開放題對小學生思維發展有著極大的促進作用，特別是為學生提供公平學習機會、思維品質訓練、創新能力培養、活動經驗積累等方面所呈現出的獨特價值，已得到學術界的廣泛認同。

數學開放題的中國化實踐為“千年不變”的封閉習題體系注入了一池活水，為數學教育改革打開了另一扇窗。開放題的小學教學實踐并不排斥原有的課程體系，以不增加學生的課業負擔為原則，希冀在校本課程與國家課程之間尋找一個契合點，旨在通過科學的校本課程研發，打通兩者之間壁壘，實現課程的融合，增強數學課堂的親和度。

二、堅守與創生的交合：小學數學開放題的開發路徑

在30多年的開放題中國化實踐中，小學數學開放題的研究較為薄弱，積累的教學素材也較為凌亂，尚未自成體系，特別是可資借鑒的成功案例數量較少。推進開放題的小學教學實踐，當務之急就是要自主開發課程，為師生提供較為完整、系統的課程資源。從整體而言，開發小學數學開放題的思路有兩種：一是把現有的封閉性習題加以改造，使其成為開放題；二是創造開放題。

1.改變條件，變封閉為開放

任何習題的開發都應遵循學生的認知規律，貼近學生的生活經驗。為了讓新開發的數學開放題能更加貼切學生的學習實際，避免陷入“為開放而開放”的誤區，可以依托現有教材體系編制數學開放題，這是開放題編制最為常見的方法。通過對教材中一些例題、習題的條件或問題進行刪減、增補或改編，將原有封閉題的限制性條件適當減少或弱化處理，可以改變其中的一個或多個條件，也可以是補充條件，使其問題答案不再唯一，成為探索性和開放性較強的數學問題，給學生提供更多的自主探索、獨立思考的時空。

蘇教版義務教育教科書（以下簡稱蘇教版）《數學》四年級下冊第71頁有一道習題：一條環湖路全長3千米，小欣和小成同時從環湖路的某地出發，沿相反方向步行。小欣的速度是65米/分鐘，小成的速度是70米/分鐘。經過20分鐘兩人能相遇嗎？如果不能相遇，小欣和小成還相距多少米？這是一道關于行程問題的封閉題，如果將原題條件進行增減變化，改成“小欣和小成同時從相距3千米的甲、乙兩地出發。小欣的速度是65米/分鐘，小成的速度是70米/分鐘。經過20分鐘兩人可能相距多遠”，就變成了一道開放題。因為沒有說明兩人的行走方向，存在著“相向”“背向”“同向”三種可能，其中同向而行中又包括“小欣追小成”“小成追小欣”兩種情況，符合本題的問題答案會有4種不同的可能。

2.變換問題，話題開放

編制開放題也可以從原有封閉習題的問題入手，通過以下幾種路徑使其成為開放題：可以改變問題的設問方式，變問題的答案數量為滿足條件的各種可能；也可以弱化問題中限制條件，減少問題中的限制性因素，刪除“最多”“最小”“至少”“至多”“最長”“最短”等詞；還可以直接由學生根據條件信息自由補充問題作答，從條件去推斷結論成立的多種可能性。從本質上來看，這些路徑都是基于相同的邏輯起點——將原來封閉題由狹窄的單一變為寬泛的多元，從而確保問題答案不唯一，成為探索性和開放性較強的數學問題。這種改變有助于學生從更為廣闊的空間里剖析知識內在結構，把握知識本質，構建屬于自己的知識框架。

蘇教版五年級《數學》下冊第49頁有一道習題：把兩根分別長45厘米、30厘米的彩帶剪成同樣長的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長是多少厘米？這是一道關于最大公因數的典型習題，從問題“每根短彩帶最長是多少厘米”可以看出本題答案唯一。如果將原題中的問題改為“把兩根分別長45厘米、30厘米的彩帶剪成同樣長的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶可能是多少厘米”，刪除原題中的限制性詞語“最長”，原來求兩個數的最大公因數變成了求兩個數的公因數。符合要求的答案就是1厘米、3厘米、5厘米、15厘米中的任意一種可能。

3.溝通知識，變單為串

在日常教學中，我們還可以根據知識間的內在聯系創造性地開發數學開放題。數學是一門體系嚴謹的學科，知識點環環相扣，螺旋上升。有些知識從局部來看只是一個點，但從小學六年的整體知識來看，可以把更多相似點串成一條線，形成問題體系。這些問題單從個體的視角觀察，都有屬于自己的不同答案范圍，呈現出各自不同的規律。如果從整體視角而言，看似獨立的規律之間又能找到某種內在的契合點，遵循著共同的規律，有些問題甚至能用一個通式加以表達。這種開放題能給學生提供尋找知識內在關聯的機會，探索其共同的數學規律，從更一般的視角洞悉數學的內在邏輯關系，內化知識，建構自己的知識網絡。

在學習 “用字母表示數”時，學生了解到兩個自然數的和等于這兩個數的乘積，符合條件的數有2，0。在學習小數乘法后，學生在計算中也能見到“一個整數和一個小數的乘積與它們的和相等”的特例。學習分數乘法時，也會遇到一個整數與一個分數的和與積相等的實例。從問題答案的數量看，這三個問題都屬于答案不唯一的開放題；從知識背景看，又分別涵括了小學生重點學習的三大數域；從知識網絡看，在三個不同問題的答案背后又隱藏著共同的規律。為此可以把它們整合成一次“和積相等”的開放探索活動。

活動從最基礎的2個整數的和積相等到3個自然數的和積相等，到4個自然數的和積相等……初步找到規律后，延展至整數和分數的和積相等。通過提供一組實例，在經歷嘗試計算、觀察思考、探索交流的過程后嘗試建立數學模型，即A+■=A×■（B=A-1，B≠0）。接著將數域延展至整數和小數的和積相等，嘗試建立數學模型，即A+B=A×B。在此基礎上通過辨析，理解整數小數間的和積相等與整數分數間的和積相等規律在數學本質上是相同的，可實現統一，但也存在差異。教師進一步提示學生隨著數域的進一步擴展，還會存在更多這樣的和積相等實例，鼓勵學生在今后的學習中進一步進行探究。

三、理想與現實的交融：小學數學開放題課程實踐

“課程”一詞源于拉丁語，原意指“跑道” （Race-course）。夸美紐斯認為，課程就是教材。關于課程，目前較為認同的定義是：有組織的學習經驗。從這個角度看，人們往往把課程簡單地理解為學校為學生設定的學習路徑，甚至更寬泛地把范圍擴展到學生在這些路徑上的學習過程及所獲得的學習結果。課程改革的一項重要內容就是要重新挑選課程內容、編寫教材的活動，或是籌劃實施新課程的活動。我們以承擔全國、江蘇省教育科學“十二五”重點課題為契機，開展了扎實有效的開放題校本研發、實踐和評價。

1.課程融合，踐行課改的一種可能

（1）從模糊到清晰。剛接觸數學開放題時，只覺得這種新穎題型很有意思，有助于激發學生的學習興趣。囿于時間限制和認識局限，最初只是搜集開放習題作為數學課外興趣小組活動的學習內容；教學時空后來擴展到每周兩次的大課間活動，進而融入到常態數學課堂之中。隨著對“課程”概念的把握，我們認識到：學習要系統地規劃內容，要有具體可行的方案，要關注過程，建立評價，才能組成完整的教育教學活動，才是真正意義上的“過程”。

（2）從零散到系統。數學校本課程作為三級課程的重要環節，其本真意義絕非另起爐灶，增加學生的課業負擔。從更廣泛的意義上說，校本課程的研發應著力于學情、校情和區情，以更廣博的胸懷著眼于學生的數學素養提升，關注細節，注重思維發展。也就是說校本課程與國家課程、地方課程不是并列關系，也不是從屬關系，需要相互打通，實現融合，兼容并蓄。

基于這樣的認知，我們在認真研讀教材的基礎上，分析知識結構及呈現體系，與文本對話，尋找開放元素，激活開放因子。在對話交流的基礎上，進行深度思考和聯想，約請相關專業人士對開發習題的科學性、層次性進行測評，從而設計出適合課時教學的開放習題。在服務課時教學目標的基礎上，注重系統表達，利用三年時間自主研發了一套與教材配套的校本課程《數學開放題舉一反三》，全套6冊，每冊40個主題，對應每學期20個教學周，每周一個話題。

2.課程現場，課改實踐的一種嘗試

（1）從穩態到常態。在傳統數學課堂教學中植入開放題元素，將開放題學習引向常態課堂，實現校本課程與國家課程的有效融合，為課程改革尋找一條可能的道路。我們深知數學開放題的課堂融合是一個長期的、漸進的過程，不可能一蹴而就。傳統力量畢竟強大，改革只能循著小步，摸著石頭過河，在前行中不斷總結反思，及時調整方向。

有人說，課程改革是演變，不是革命。從這個意義上來說，作為課程領導者的教師在打破舊有課堂秩序常態的同時，下大力氣在傳統課堂與數學開放題的融合上積極探索，確保既定教學目標達成的前提下逐漸達成新的平衡，成為新的穩態。通過實驗厘清諸如開放題與傳統教學任務的時間分配問題、開放題的教學時機、開放題與傳統習題的匹配等問題，逐步形成小學數學課堂教學的新秩序，建立一種新常態。

（2）從數量到質量。和任何變革一樣，在開放題融入常態課堂初期，難免會出現兩種習題的比例分配失調問題，規定教學任務沒有完成，開放題教學又虎頭蛇尾，這種顧此失彼、首尾不能銜接的窘迫時常發生。破解這一尷尬處境最有效的方法就是切實轉變實驗者的觀點，將對開放題的量的追求轉到對質的關注上，從具體的課型出發，有的放矢地開發合適的開放性問題，做到心中有數，把握適時、適量和適度的原則。既不客隨主便，也不喧賓奪主，一切以服務學生的思維發展為落腳點和最終歸宿。

通過實驗，一節新授課中開放題的量以3～5分鐘為宜，練習課中以8～10分鐘為宜，復習課的量可以酌情再增加一些。實踐表明：精當的開放題隨堂練習，不僅不會增加學生過多的課業負擔，反而能調動學生數學學習的興趣，激發探究的興趣和熱情，增強學生對數學概念的理解，便于學生整體把握知識體系，強化數學技能的練習，有益于學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性、獨創性、批判性和敏捷性的培養。

3.課程評價，課改成效的一種檢驗

現代課程論認為：課程評價應該先于課程的設計而存在。這充分說明了評價在課程實施中的重要性。開放題課程的評價可以從定性描述階段和定量刻畫階段兩個層面展開。

（1）循序漸進，定性描摹。開放題校本實踐的評價中，相對容易操作的是過程性評價，也就是把過程性評價與總結性評價相結合，給予定性描摹。執教者和聽課者對不同學習小組進行分類定向觀測，及時記載開放題課堂教學觀測表。定性描摹常用的方法包括：對學生開放題有效學習從全面性、過程性、發展性等方面進行評價；開放題編制從關注知識點選擇的關鍵性、問題解決的方法、計算的準確性、表達的條理性和完整性等方面進行評價；開放題解決效度從學生求解方案的數量、求解過程中的行為表現及心理活動變化等方面進行評價；對學生求解開放題的狀態從參與度、自信度、合作度、獨立思考習慣、數學思考力、反思力、評估力等維度進行評價……

（2）由表及里，定量刻畫。“數學是思維的體操”，數學思考是數學課堂的“主角”。數學開放題在課堂教學中最重要的作用之一就是培養學生的思維品質。隨著開放題校本實踐的持續深入，人們已經不再滿足于從定性視角評價開放題教學的效度，研究者乃至一線教師最為關切的問題是數學開放題學習對小學生思維發展的具體影響所呈現出的特征。從這個視角看，對于數學開放題學習的評價需要實現從定性描述向定量刻畫轉變?？v觀國際開放題研究現狀，總體而言定性描摹居多，定量刻畫不足。

開放題對學生思維發展影響的評測研究是當前開放題研究的一個新的熱點。評測先期要確定好實驗班與對照班，擬定好問卷，制定好評測量表，再通過對實驗班與對照班的問卷調查，篩選好有效問卷后，通過SPSS統計軟件進行統計、分析，以翔實的數據透析開放題對小學生不同思維的具體影響。當然這種評測需要借力于專業機構及有心理學背景的評測專家。

總之，小學數學引入開放題，不僅能激發學生主動探究的欲望，滿足不同層次學生的學習需求，讓不同的人在數學上獲得不同的發展成為可能，還能推動數學課程改革的發展，促進國家課程與校本課程的融合，進而提升數學課程的親和度。