在有效活動中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

盧清榮

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)課程要從學(xué)生已有生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將數(shù)學(xué)實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步與發(fā)展。因此，教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型時，要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷模型的形成過程。特級教師羅鳴亮為我們做了很好的示范和引領(lǐng)。讓我們一起走進羅老師的課堂，感悟他的課堂引領(lǐng)藝術(shù)。

【片段一】 在猜一猜中準(zhǔn)備模型

師：羅老師帶來一個信封，里面“躲”著圖形。猜對了，它就是給你的禮物！第一個圖形——它的面積是1平方分米，這個圖形是？

生1：正方形。

師（出示正方形）：猜對了，送給你！這個正方形的邊長是？

生2：1分米。

師：很棒！第二個圖形，它的面積是3平方分米，它是？

生3：它是長方形。

師：你是怎么想的？

生4：3平方分米組成3個正方形，可以拼成一個長方形。

師：我們一起來看看他猜對了沒有。（師出示下圖） 猜對了嗎？（沒有）

師：它的面積是3平方分米嗎？（是）

師：下面這個圖形的面積呢？

生5：4平方分米。1個正方形面積是1平方分米，4個正方形面積就是4平方分米。

師：那位同學(xué)猜對了沒有？（沒有）為什么他想到長方形呀？

生6：我們平常見到的一般都是長方形，忽略了不規(guī)則圖形。

【賞析】數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。教師要為學(xué)生提供數(shù)學(xué)活動的機會，引導(dǎo)他們在自主探索與合作交流的過程中，真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識、技能和思想方法，從而學(xué)習(xí)有價值的數(shù)學(xué)。事實上，只有數(shù)學(xué)活動與數(shù)學(xué)思考緊密結(jié)合時，有效的數(shù)學(xué)活動才會發(fā)生。圖形面積模型是無數(shù)個面積單位的疊加，羅老師引導(dǎo)學(xué)生“猜一猜”，從面積為1平方分米的小正方形開始猜測，引向由多個相同正方形組成的圖形猜測。猜測面積是3平方分米的圖形時，學(xué)生的正常思維是猜測長方形，驗證時發(fā)現(xiàn)是不規(guī)則圖形。這種認(rèn)知沖突，打破了學(xué)生的思維定式，激發(fā)了學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生發(fā)現(xiàn)多個小正方形可以拼成大圖形，并且所拼圖形的形狀可以是規(guī)則的，也可以是不規(guī)則的。在這樣的猜測活動過程中，學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)圖形面積的計量方法——“數(shù)”小正方形的個數(shù)。這樣，學(xué)生在猜圖活動中就為建構(gòu)長方形面積模型做好了充分準(zhǔn)備工作。

【片段二】在數(shù)一數(shù)中感知模型

師：由6個面積是1平方分米的正方形拼成的長方形是什么樣的呢？

生1：擺2行，每行3個，一共擺6個。

師：6個什么圖形？它的面積是多少？

生2：6個面積是1平方分米的正方形，面積是6平方分米。

生3：可以擺1行，每行6個，面積也是6平方分米。

師：為什么也是6平方分米？

生4：因為有6個面積是1平方分米的正方形。

師：誰能說說下面圖形的面積？

生5：12平方分米。

師：你會講道理嗎？

生6：有3行，每行4個，一共12個。

師：下面這幅圖呢？

生7：每行15個，有10行，一共150個。

師：你怎么知道每行15個？

生8：小正方形邊長是1分米，15分米里面有15個1分米，可以擺15個。

（教師課件演示驗證：一行擺15個。）

師：如果有30分米呢？每行可以擺幾個？（30個）這里為什么是10行？

生9：10分米里面有10個1分米，有10個小正方形，就是10行。

（教師課件演示驗證：一個一個地擺，第一列可以擺10個。）

師：這就說明一共可以擺幾個？面積是多少？

生10：可以擺150個，面積是150平方分米。

【賞析】好的數(shù)學(xué)活動是引導(dǎo)學(xué)生思維螺旋上升的過程。長方形面積模型包含長和寬兩個因素，面積計量的直接方法是數(shù)面積單位個數(shù)，厘清長和寬與面積單位個數(shù)的關(guān)系，有助于學(xué)生把面積的直接計量方法向間接計量方法轉(zhuǎn)變，也就是能促進學(xué)生建構(gòu)長方形面積模型。羅老師分三個層次，引導(dǎo)學(xué)生體驗面積直接計量向間接計量的轉(zhuǎn)變過程：首先提供由6個面積是1平方分米的正方形拼成的長方形，讓學(xué)生想象長方形的形狀，學(xué)生根據(jù)“有幾行？每行有幾個？總共有幾個”進行有序表述，面積計量方法從一個一個地數(shù)，轉(zhuǎn)向用行數(shù)和每行個數(shù)兩個量進行表達，突出長方形所包含的小正方形個數(shù)是由“每排的個數(shù)”與“排數(shù)”決定的。接著用面積是12平方分米的長方形及時鞏固和內(nèi)化長方形的面積與每排的個數(shù)和排數(shù)的關(guān)系，幫助學(xué)生形成表象，計量長15分米、寬10分米的長方形面積時，教師引導(dǎo)學(xué)生巧妙計數(shù)——根據(jù)長方形的長和寬進行計數(shù)：長15分米，每行可以擺15個；寬10分米，可以擺10行。這樣實現(xiàn)計量方法的簡化，有助于學(xué)生逐漸感知長方形的面積模型。

【片段三】在量一量中探究模型

師：如果你能算出這個信封里的長方形面積，它就是你的禮物了。

（出示一個長方形，沒有標(biāo)注長和寬，學(xué)生嘗試計算。）

生1：長方形的長是5厘米，寬是4厘米，面積就是5×4=20平方厘米。

師：為什么要去量長方形的長和寬？

生2：它的長是5厘米，用面積是1平方厘米的小正方形可以擺5個；它的寬是4厘米，用面積是1平方厘米的小正方形可以擺4個。5×4=20，一共可以擺20個小正方形。

師：20個什么樣的小正方形？

生3：20個面積為1平方厘米的小正方形，就是20平方厘米。

【賞析】每排擺幾個小正方形以及能擺幾排，分別由長方形的長和寬決定。羅老師提供一個長方形讓學(xué)生嘗試解決。學(xué)生自主測量長方形的長和寬，就是明確長和寬是確定長方形面積大小的決定因素——長5厘米，需要擺5個面積是1平方分米的小正方形；寬4厘米，需要擺4個同樣的小正方形。這就溝通了擺的個數(shù)與長度之間的對應(yīng)關(guān)系。從直接計量到間接計量，凸現(xiàn)了長方形面積模型的發(fā)生和發(fā)展過程。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷了“數(shù)面積單位個數(shù)—每行有幾個、有幾行—每行個數(shù)、行數(shù)與長度相對應(yīng)的關(guān)系”的探究過程，面積計量方法從直接計量變?yōu)殚g接計量，數(shù)學(xué)模型已經(jīng)呼之欲出。

【片段四】在想一想中形成模型

師：有個長方形，面積也是20平方厘米，但形狀和剛才的不一樣，想一想，長方形的長和寬分別是多少？

生1：長20厘米，寬1厘米。

師：你是怎么想的？

生2：長20厘米、寬1厘米的長方形，面積是20平方厘米。

師：你怎么知道面積是20平方厘米？

生3：擺一行，一行20個面積為1平方厘米的小正方形。

師：長方形的長可能比20厘米多嗎？

生4：寬改成0.5厘米，長就是40厘米。（師課件演示驗證。）

師：長可能比40厘米多嗎？

生5：有可能。如果寬是1毫米，長就比40厘米多。

生6：把寬分下去，長就可以很長很長。

師：學(xué)到這里，你有什么收獲？如果讓你講一句話，你會講什么？

生7：長方形的面積=長×寬。

【賞析】學(xué)生明確長方形面積與長和寬的數(shù)量有關(guān)系后，羅老師沒有出示結(jié)論，而是引導(dǎo)學(xué)生思考面積是20平方厘米的長方形的形狀，讓學(xué)生猜長方形的長和寬分別是多少。寬越來越小，長越來越大。學(xué)生從中體會長和寬的數(shù)量可以變化，但它們的乘積（長方形的面積）不變。這樣，學(xué)生不但能感悟到變與不變的數(shù)學(xué)思想，而且在不斷經(jīng)歷尋找數(shù)量—想象圖形—驗證結(jié)果的過程中，對長方形的面積模型越來越清晰。最終，長方形面積模型的建構(gòu)水到渠成。

總之，羅老師從知識本質(zhì)出發(fā)，開展有效數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型建構(gòu)過程，溝通學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與模型結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生不斷調(diào)整思維路徑，沿著模型形成的軌跡，深入思考，順其自然地建構(gòu)了長方形面積的數(shù)學(xué)模型。

（作者單位：江蘇省睢寧縣實驗小學(xué)）

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