基于哲學邏輯的集合論研究

李 娜

(南開大學哲學院,天津300350)

基于哲學邏輯的集合論研究

李 娜

(南開大學哲學院,天津300350)

20世紀60年代之后,涌現出了嘗試以非經典邏輯為基礎邏輯來拯救集合論的熱潮。在這一時期,誕生了模態集合論、弗協調集合論、直覺主義集合論等一些基于哲學邏輯的集合理論。模態邏輯是在經典邏輯的基礎上增加模態算子形成的一種二階邏輯,因此,它是一種比經典邏輯強的邏輯。模態集合論相對于公理化集合論是一種加強了基礎邏輯的公理化集合論。與ZF公理化集合論用公理限制集合的方法不同,弗協調集合論也是一種改變了集合論的基礎邏輯,選擇了可以容納或處理矛盾的弗協調邏輯,這樣即使集合論中出現矛盾也不會使整個理論陷入不足道的困境。由于在直覺主義邏輯中排中律不成立,所以直覺主義邏輯是一種比經典邏輯弱的邏輯。直覺主義集合論相對于ZF公理化集合論是一種減弱了基礎邏輯的公理化集合論。

哲學邏輯;集合論;模態集合論;弗協調集合論;直覺主義集合論

康托爾(Cantor)用概括原則和外延原則建立了樸素集合論,康托爾樸素集合論(以下簡稱集合論)的建立給數學帶來了新的生機,它產生了與經典數學完全不同的現代數學的兩個領域:元數學和結構數學,它們構成了現代數學研究的主要內容。遺憾的是,集合論存在矛盾,其中最著名的是20世紀初羅素(Russell)在集合論中發現的一個矛盾,這個矛盾被后人稱作羅素悖論。羅素悖論的出現引起了眾多數學家的震驚,并由此引發了第三次數學危機。當時,人們圍繞“集合到底是什么”進行了大量爭論。要拯救康托爾的樸素集合論,就要消除悖論,為此人們提出了許多方案和方法,其中較早也是最有效的方法是1908年策梅洛(Zermelo)采用希爾伯特(Hilbert)的公理化方法限制康托爾集合論中的概括原則來回避悖論。他把集合論變成一個完全抽象的公理化理論。在這樣的理論中,“集合”是一個不定義的概念,它的性質由公理來刻畫。該理論后經弗蘭克爾(Fraenkel)和斯科倫(Skolem)等人的改進,現在被人們稱為ZF公理化集合論。ZF公理化集合論是在帶等詞“＝”和屬于關系“∈”的經典邏輯基礎之上,加上關于集合基本性質的非邏輯公理形成的形式系統。它的非邏輯公理包括:外延公理、空集存在公理、無序對公理、并集公理、冪集公理、子集公理、無窮公理、替換公理、良基公理(又稱正則公理或基礎公理)。如果再加上選擇公理AC,就得到ZFC。因此,ZF公理化集合論可以簡單地看作是在經典邏輯的基礎上增加非邏輯公理的一種公理化集合論。

然而,哲學邏輯是各種非經典邏輯分支的統稱,它們一般是以經典邏輯為基礎,與傳統哲學中的概念、范疇和問題有直接或間接的聯系。它們大都在20世紀60年代以后逐漸成熟,其中,模態邏輯、直覺主義邏輯和弗協調邏輯等是非經典邏輯中研究歷史較長,相對來說也比較成熟的非經典邏輯分支。因此,20世紀60年代之后,許多學者提出:在非經典邏輯的框架中,集合論是否協調?非經典邏輯是否能夠拯救集合論?集合論中概括原則的不一致性還有哪些解決的方法和方案?于是,涌現出了嘗試以非經典邏輯為基礎邏輯來拯救集合論的熱潮。在這一時期,誕生了模態集合論、弗協調集合論、直覺主義集合論等一些基于哲學邏輯的集合理論。

在ZF集合論中,子集公理是對集合論中概括原則的一種限制,從而也排除了集合論中出現的羅素悖論。模態邏輯是在經典邏輯的基礎上增加模態算子“◇”(稱作菱形)形成的一種二階邏輯,因此,它是一種比經典邏輯強的邏輯。模態集合論相對于公理化集合論是一種加強了基礎邏輯的公理化集合論。與ZF公理化集合論用公理限制集合的方法不同,弗協調集合論也是一種改變了集合論的基礎邏輯,選擇了可以容納或處理矛盾的弗協調邏輯,這樣即使集合論中出現矛盾也不會使整個理論陷入不足道的困境。雖然公理化集合論消解了悖論,但改變了康托爾最初的假定,而弗協調集合論則保留了康托爾集合論中的兩個原則。由于在直覺主義邏輯中排中律不成立,所以直覺主義邏輯是一種比經典邏輯弱的邏輯。直覺主義集合論相對于ZF公理化集合論是一種減弱了基礎邏輯的公理化集合論。

基于模態邏輯的模態集合論的產生,是以1967年Fitch在《符號邏輯雜志》(The Journal of Symbolic Logic)上發表的《一個完全的和一致的模態集合論》為標志,文中給出了一個完全并且一致的模態集合論。此后,還產生了模態策梅洛-弗蘭克爾集合論MZF等。模態集合論最初的研究方法是用模態詞直接限定集合論中的概括原則。目前,在模態集合論的研究中,既可以直接對集合論的概括原則做修改,也可以在成熟的公理化集合論上做模態化的工作。用模態化的方法研究集合論的成果較多,如1967年Fitch的工作,1980年Kit Fine的工作,1989年Jan Krajicek的工作。2010年以后采用了雙模態語言和多元邏輯來研究集合論。

基于弗協調邏輯C＝n(1≤n≤ω)的弗協調集合論的產生,是以1963年Da Costa在《系統的形式不協調(理論)》中構造出的弗協調集合論系統為標志。1982年,Arruda和Batens構造了帶羅素集R的弗協調集合論系統,并證明了∪R在所有帶羅素集(即{x∶x?x})的強弗協調集合論中是全集。1985年,Arruda以蒯因(Quine)的集合論NF為基礎,證明了∪∪R在任一帶羅素集R的弗協調集合論中都是全集,羅素集的存在與分離公理、替換公理模式是不相容的。1986年Da Costa構造弗協調集合論NFi(0≤i≤ω),并證明如果NF0是協調的并且所有的羅素關系(如{＜x1,x2＞∶＜x1,x2＞?x1}和{＜x1,x2＞∶＜x1,x2＞?x2})存在,那么得到的系統既是一致的,又是足道的。1997年,Caiero和Souza基于蒯因的ML系統和弗協調演算C＝1,構造了一個弗協調集合論系統ML1。他們認為,經典集合論不能證明全集的存在,但全集可以從ML1的公理中推導出來,并且整個理論不會陷入不足道。2013年,Weber重新刻畫了外延原則和集合存在原則,以此構造的弗協調集合論能夠容納羅素集和全集。

基于直覺主義邏輯的直覺主義集合論的產生,是以20世紀70年代Friedman研究的直覺主義的策梅洛-弗蘭克爾集合論IZF為標志。1973年,Friedman系統研究了各種直覺主義系統的形式性質,并將克林(Kleene)的可實現性解釋擴展到這些系統中。同一年,Friedman在ZF公理化集合論的基礎上,通過修正與直覺主義不相容的公理,給出了一個直覺主義的策梅洛-弗蘭克爾集合論版本IZF,并且在這篇文章中證明了IZF集合論與ZF公理化集合論有相同的證明論強度。同年,Myhill定義了一種可實現性解釋,并且證明了用替換公理代替收集公理的直覺主義策梅洛-弗蘭克爾集合論具有析取性質、數字存在性質等。近幾年來,Vladimirov系統研究了帶有收集模式的直覺主義集合論ZFI2C的各種有效性質。Ray Ming Chen和Michael Rathjen將Lifschitz構造的可實現性擴展到了完整的直覺主義策梅洛-弗蘭克爾集合論IZF中,并且利用這一解釋在直覺主義集合論中將帶有唯一性條件的丘奇(Church)論題和它的一般形式區分開來,同時還得到了一些有趣的推論。Khakhanyan利用擴展到集合論層面的克林的遞歸可實現性,系統研究了丘奇論題和一致性原則之間的關系。

基于哲學邏輯的集合論研究屬于較新的研究領域,而且國外最近幾年有許多學者投入到這一領域中,并在《符號邏輯雜志》等國際邏輯學刊物上發表了多篇論文,一些學者甚至還就相關問題產生了激辯和爭論。反觀國內,基于哲學邏輯的集合論研究這一領域還是一片空白。我們要學習和理解國外這些先進的研究成果,緊跟國際邏輯學、哲學和數學研究的前沿和潮流,吸收、梳理基于哲學邏輯的集合論研究成果,并將這些新的成果引進到國內。這對于開拓我們的視野,掌握國外先進的研究方法和思維方式,甚至進一步開展該領域新的研究,都具有十分重要的意義。

10.3785/j.issn.1008-942X.CN33-6000/C.2016.04.261

2016-04-26[本刊網址·在線雜志]http://www.journals.zju.edu.cn/soc

[在線優先出版日期]2016-07-31[網絡連續型出版物號]CN33-6000/C

李娜(http://orcid.org/0000-0003-4325-584X),女,南開大學哲學院教授,博士生導師,主要從事現代邏輯研究。