對《用中學物理方法巧解一道大學物理習題》的再思考

王鶴新

（江陰市第一中學 江蘇 無錫 214400）

1 問題的由來

文獻［1］中有一篇題為《用中學物理方法巧解一道大學物理習題》的文章，以下簡稱原文，引發了筆者的一些思考．

原文題目：有一密度為ρ的均勻細棒，長度為l，其上端用細線懸著，下端緊貼著密度為ρ0的液體表面．現將懸線剪斷，求細棒在恰好全部沒入液體中時的沉降速度．設液體沒有粘性．

2 原文的解答

思路一：大學物理解答如下：在下落過程中，細棒只受到兩個力：向下的重力mg和向上的浮力F浮．其中浮力是個變力，當棒的浸沒長度為x時，F浮＝ρ0xg S（S為細棒截面積），取豎直向下為x軸的正方向，如圖1所示．

圖1

根據牛頓第二定律

兩邊分別乘以d x可變成

兩邊積分這是原題給出的結果．

思路二：引入浮力勢能：考慮到細棒下落過程中所受浮力F浮＝－ρ0xgS與彈力F＝－κx的大小和方向相似，類似彈性勢能引入浮力勢能的概念，以方便問題的處理．本題可以理解為隨著細棒的下落．浮力做負功，浮力勢能將增加．下落過程的能量關系是重力勢能轉化為浮力勢能與動能，而浮力勢能的數學表達式是，當細棒在恰好全部沒入液

體中時，代入x＝l，根據能量守恒得

其中

最后求得

3 引發的思考

3． 1 動能定理求解

原文出現在“問題討論”這一欄目，重在用中學物理方法巧解．既然用中學物理方法，那么該種物理方法一定符合中學生的知識結構與認知規律；同時也應該具有普遍性的特點．換個角度思考：如果該題作為考試試題的話，中學生中一定會有不少的同學解答出來．而且相信解答出來的學生大部分解法如下．

思路三：處理物理問題的三種基本思路：力、能量、動量．三種基本思路中力是最基本的．細棒在下沉的過程中重力無需研究．所以只需研究浮力的特點．然后會發現它是個變力，究竟怎么變，才能決定采取具體的處理方法．設細棒沉浸液體中任意長度x時，細棒所受浮力F浮＝ρ0gSx，不難發現任意時刻F浮與細棒發生的位移x之間成線性關系，因為浮力做的功可以用平均力來計算．

對細棒整個運動過程應用動能定理，有

當然對整個過程運用動能定理也是水到渠成的事情．浮力F浮的性質比較特殊，F浮與細棒發生的位移x之間成線性關系．像符合這種特點的力的花樣題目相信在各個學校應該接觸的比較多，例如：彈簧的彈力作功問題．所以學生必定具備解答的能力．

3． 2 定積分求解

在思路三中，從最基本的力的角度可以發現浮力是變力，題目中也是求速度v，學生也容易把思維定位到研究過程中運動的具體性質，研究加速度a的變化情況，發現a變化，也就容易聯系到微積分．其實原文題目已經出現在高中競賽題中，另外各省市的數學高考要求不同，有的省市早已把大學內容定積分列入高中數學高考必考部分，所以部分中學生已經具有較高的應用數學方法處理物理問題的能力．即使有的省市不列入高考必考范圍內，但是對于一些中高檔次的學校也是作為競賽中、或者普通的方法介紹給學生．現在高考命題對于學生應用數學方法處理物理問題的能力要求越來越高，不管情況如何，個人還是建議教師可以把定積分的思想方法介紹給學生，再者在模擬題中已經不時的在滲透著微積分思想．

【例1】如圖2所示，兩根相距為d足夠長的光滑平行金屬導軌位于水平的x Oy平面內，導軌與x軸平行，左端接有阻值為R的電阻．在x＞0的一側存在垂直紙面向里的磁場，金屬棒質量為m，電阻為r，與金屬導軌垂直放置，且接觸良好．開始時，金屬棒位于x＝0處，現給金屬棒一大小為v0、方向沿x軸正方向的初速度，金屬棒沿導軌滑動，金屬導軌電阻可忽略不計．若導軌間的磁場是非勻強磁場，磁感應強度B沿x軸正方向增加，且大小滿足B2＝kx，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x．

圖2

解析：

在解答出來該題的學生中，運用積分處理問題的同學還是占有一定比例的．上面積分和動能定理兩種思路應該詳細、重點地介紹給學生．

3． 3 問題分析

原文中用類比方法通過浮力與彈力的類比，引入浮力勢能的概念，是一種很巧妙的思維方法，同時也拓展了學生的思路．但是該種思維方法具有特殊性，思維方法越特殊，那么對于中學生的能力要求也就越高．也就說該種題目作為試題的話，在解答出的學生中是占的比例也不高．原文解答中機械能守恒的研究對象也沒有講清楚．浮力勢能概念本身并不重要，但是類比的思想和創新精神值得學習．

3． 4 高考展望

高考命題以能力立意為主，所以現在有些大學物理與高考物理之間的界限越來越模糊．大學物理建立在高等數學的基礎上追求定量計算；高中階段由于數學能力的限制，追求的是定性分析．命題專家就以中學物理知識為儲備、大學物理為背景研究出了一些新穎題目．

圖3

【例2】如圖3，一不可伸長的輕質細繩跨過滑輪后，兩端分別懸掛質量為m1和m2的物體A和B．若滑輪有一定大小，質量為m且分布均勻，滑輪轉動時與繩之間無相對滑動，不計滑輪與軸之間的磨擦．設細繩對A和B的拉力大小分別為T1和T2，已知下列四個關于T1的表達式中有一個是正確的，請你根據所學的物理知識，通過一定的分析判斷正確的表達式是

解析：如果要定量計算的話，會牽涉到大學中的轉動慣量、轉動定律等概念．但是這不是命題專家們的立意．命題考查的是能力．怎么處理呢？

極限法：假設滑輪的質量m＝0；問題的還原：質量為m1的A與質量為m2的B構成的簡單的連接題：設m1＜m2

令A，B，C，D答案中的m＝0，只有選項C符合條件．故本題答案為選項C．

1 張曉森．用中學物理方法巧解一道大學物理習題．物理教師，2011（1）：32