基于采樣數(shù)據(jù)衛(wèi)星姿態(tài)的FTB輸出反饋控制

薛曉娟　沈艷軍

(1. 三峽大學(xué) 理學(xué)院， 湖北 宜昌　443002； 2. 三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院， 湖北 宜昌　443002)

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基于采樣數(shù)據(jù)衛(wèi)星姿態(tài)的FTB輸出反饋控制

薛曉娟1沈艷軍2

(1. 三峽大學(xué) 理學(xué)院， 湖北 宜昌443002； 2. 三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院， 湖北 宜昌443002)

摘要：運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論和有限時(shí)間有界理論，討論了基于采樣數(shù)據(jù)衛(wèi)星姿態(tài)的有限時(shí)間有界(FTB)輸出反饋控制問題.首先給出了使閉環(huán)系統(tǒng)滿足FTB的充分條件，然后將輸出反饋控制器的存在問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式(LMI)的可行性問題.最后，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制器的有效性和可行性．

關(guān)鍵詞：衛(wèi)星姿態(tài)；線性系統(tǒng)；有限時(shí)間有界；輸出反饋控制

有限時(shí)間有界是目前控制屆的研究熱點(diǎn)之一．1961年P(guān)eter Dorato提出了“短時(shí)間穩(wěn)定(Short Time Stability)”的概念[1]，有限時(shí)間控制問題開始成為人們關(guān)注的研究熱點(diǎn)．在系統(tǒng)受外部擾動情況下，Amato[2]提出了有限時(shí)間有界(FTB)的概念．隨后，他們等[3]討論了一類帶有時(shí)變參數(shù)不確定性和定常外部擾動的線性系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問題，提出了系統(tǒng)是FTB的充分條件，然后設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器，將控制器的存在問題轉(zhuǎn)化為LMIs可行性問題．同時(shí)，輸出反饋FTB控制器也得到研究[4]，進(jìn)一步改進(jìn)結(jié)果見文獻(xiàn)[5-6]．文獻(xiàn)[7]討論了具有范數(shù)有界的外部干擾的線性變參數(shù)系統(tǒng)的有限時(shí)間控制問題，文獻(xiàn)[8-9]將有限時(shí)間控制問題拓展到奇異系統(tǒng)．Ichihara等人分別給出連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)[10]和離散時(shí)間系統(tǒng)[11]帶有輸入限制的有限時(shí)間控制問題，更多結(jié)果見文獻(xiàn)[12-14]．

從上述的研究成果可以看出，基于采樣數(shù)據(jù)有限時(shí)間控制問題的研究成果很少，因此，在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，本文將有限時(shí)間有界引入到基于采樣數(shù)據(jù)線性系統(tǒng)中，通過Lyapunov穩(wěn)定性理論和有限時(shí)間有界理論，討論了基于采樣數(shù)據(jù)衛(wèi)星姿態(tài)的FTB輸出反饋控制問題，將控制器的存在問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的可行性問題．最后，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制器的有有效性和可行性．

1基礎(chǔ)知識

考慮如下線性系統(tǒng)

其中，矩陣A∈Rn×n，G∈Rn×l，狀態(tài)向量x(t)∈Rn，外部擾動w(t)∈Rl滿足

首先給出以下定義和引理：

定義1(FTB)稱線性系統(tǒng)(1)在外部擾動w(t)滿足(2)的條件下，關(guān)于(c1，c2，T，R，h，d)(00)是FTB的，如果

其中h代表采樣周期．

引理1對任意的正定矩陣M∈Rn×n，變量γ>0以及向量函數(shù)ω：[0，γ]→Rn，那么下面的不等式成立：

2主要結(jié)果

考慮如下衛(wèi)星姿態(tài)控制問題[15]，圖1展示了某衛(wèi)星及其雙體模型的簡圖．在圖1(a)中，衛(wèi)星姿態(tài)θ1表示主衛(wèi)星關(guān)于行星的角度，θ2表示行星傳感器和儀表組織間的角度，圖1(b)中展示了衛(wèi)星等效機(jī)械系統(tǒng)圖，在該圖中，傳感器被安裝到與θ2有關(guān)的硬盤上．對衛(wèi)星來說，假定兩個(gè)主體通過在圖1中展示的帶有轉(zhuǎn)矩矩陣的彈簧k和粘滯阻尼常數(shù)b連接．

圖1　衛(wèi)星及其雙體模型簡圖

模型的方程式為：

其中，Tc是在主體上的控制轉(zhuǎn)矩，J1、J2為實(shí)常數(shù)．

令

則可得：

在衛(wèi)星系統(tǒng)中，不可避免地存在一些摩擦等外部因素，因此，在上述系統(tǒng)中，考慮外部擾動，得到

其中，B∈Rn×m，C∈Rp×n，x(t)，w(t)，A，G前面已給出，下面將在這個(gè)形式下討論該系統(tǒng)的有限時(shí)間有界問題．

假設(shè)1：假設(shè)輸出y(t)在tk是可測的，其中tk表示采樣時(shí)刻且滿足tk+1=tk+h．

本文目的是基于采樣數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)如下輸出反饋控制器

使得閉環(huán)系統(tǒng)是FTB的，由式(5)～(7)可得

考慮狀態(tài)轉(zhuǎn)換

得如下閉環(huán)系統(tǒng)

其等價(jià)形式為

定理1存在觀測器增益L和形式如(7)的控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)(10)關(guān)于(c1，c2，T，h，R，d)是FTB的，如果存在矩陣P1∈Rn×n>0，P2∈Rl×l>0，以及非負(fù)α和3個(gè)正數(shù)λa，λb，λc滿足

證明：構(gòu)造如下Lyapunov泛函

其中，

沿著系統(tǒng)(11)的狀態(tài)對V(z(t))求導(dǎo)數(shù)，并由引理1，得

其中，

另一方面，由式(12)可以得到

由上式可以得到

在式(19)兩邊同時(shí)乘以e-αt，并在區(qū)間t∈[0，T]進(jìn)行積分，得

由于α≥0，可得到

從式(21)中可以得到

同時(shí)，從式(15)得到

從式(16)得到

故，V2(z(0))為

將式(23)和式(24)代入式(22)，得

且

由式(25)和式(26)，得到

對于所有的t∈[0，T]，由條件(13)得到，xT(t)Rx(t)

推論1存在觀測器增益L和形式(7)的控制器，使系統(tǒng)(13)關(guān)于(c1，c2，T，h，R，d)是FTB的，如果存在矩陣P1∈Rn×n>0，P2∈Rl×l>0，以及非負(fù)α和3個(gè)正數(shù)λa，λb，λc滿足：

證明：通過Schur補(bǔ)定理，由(12)可以得到

注1：LMI條件(28)、(29)、(30)、(31)的成立依賴于c2，滿足(28)、(29)、(30)、(31)的c2的最小上界可以通過求解下面關(guān)于P1，P2，c2，K，L的優(yōu)化問題求得．

3仿真實(shí)例

在本節(jié)中，使用下面的例子來證明通過輸出反饋提出的采樣控制器的正確性和有效性.

例1：在上述衛(wèi)星姿態(tài)控制問題的系統(tǒng)(5)中，選取k=0.091，b=0.0036以及J1=1，J2=0.1，則得

令c1=1，d=1，T=5，R=I，其中I為適當(dāng)階數(shù)的單位陣，初始條件設(shè)為[0.1；0.1；0.1；0.1]，并且選取外部擾動為w(t)=0.5sin5t．

接下來分兩步求解狀態(tài)反饋控制器K以及觀測器增益L．

由文獻(xiàn)[16]可知，在閉環(huán)系統(tǒng)的區(qū)域極點(diǎn)配置復(fù)平面有界區(qū)域D的范圍內(nèi)，存在一個(gè)狀態(tài)反饋控制器K當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)適合維數(shù)的矩陣S滿足

因此，假設(shè)

同時(shí)求解推論1和最小值問題(33)．

第1步：設(shè)計(jì)K

存在一個(gè)非負(fù)的常數(shù)α，一個(gè)正定矩陣P和一個(gè)矩陣N滿足式(35)～(37)：

在求解式(35)～(37)時(shí)，需要首先給出一個(gè)α的值來保證式(35)～(37)是一組線性矩陣不等式.在這種情況下，需要將閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置到上述定義的區(qū)域D的范圍內(nèi)，因此，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，同時(shí)，選取α=0，使用MatlabLMIToolbox[17]，求得

第2步：設(shè)計(jì)L

存在一個(gè)非負(fù)的常數(shù)α，3個(gè)正數(shù)λa，λb，λc，對稱矩陣P1，P2和一個(gè)矩陣M滿足式(39)～(43)：

再次使用MatlabLMIToolbox，得到

[-3.763 3 -5.791 6 -4.907 8 -1.105 7]T

同時(shí)得到c2=1.25．

圖2　例1中狀態(tài)向量在[0，T]上的軌跡

在圖2中，給出的是例1中狀態(tài)向量在[0，T]上的軌跡；由圖3可以看到例1中xT(t)Rx(t)在[0，T]上的軌跡，且其軌跡一直在c2的下方，說明在[0，T]上，在控制器的作用下，xT(t)Rx(t)

圖3　例1中xT(t)Rx(t)在[0，T]上的軌跡

4結(jié)語

本文運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論和有限時(shí)間有界理論，討論了基于采樣數(shù)據(jù)衛(wèi)星姿態(tài)的有限時(shí)間有界(FTB)輸出反饋控制問題.首先給出了使閉環(huán)系統(tǒng)滿足FTB的充分條件，然后將輸出反饋控制器的存在問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式(LMI)的可行性問題.最后，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制器的有效性和可行性．

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[責(zé)任編輯張莉]

Output Feedback FTB Control for Satellite Attitude

Based on Sampled-data Measurement

Xue Xiaojuan1Shen Yanjun2

(1. College of Science, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China； 2. College of Electrical Engineering & Renewable Energy, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China)

AbstractBy using the Lyapunov theory and finite time boundedness (FTB) theory, an output feedback controller was designed for satellite attitude based on sampled-data measurement. Sufficient conditions are presented to ensure that the closed-loop system is FTB. Then, the existence of the controller can be transformed into the feasibility problem of the linear matrix inequalities(LMIs). Finally, an example is given to illustrate the validity and effectiveness of the methodology.

Keywordssatellite attitude；linear system；finite time boundedness；output feedback control

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275273)

收稿日期：2015-06-07

中圖分類號：P134.3

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1672-948X(2015)06-0085-06

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2015.06.018

通信作者：沈艷軍(1970-)，男，教授，博士，主要從事魯棒控制、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、智能控制等的研究．E-mail：shenyj@ctgu.edu.cn