指數型產品多階段可靠性增長的Bayes模型

于春雨　蘇子美　孫永全　苑加和　?！I

哈爾濱理工大學,哈爾濱,150080

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指數型產品多階段可靠性增長的Bayes模型

于春雨蘇子美孫永全苑加和牛濱

哈爾濱理工大學,哈爾濱,150080

摘要：基于D-S證據理論融合驗前信息,建立了一種適用于小子樣復雜系統多階段可靠性增長分析的Bayes模型。選擇Gamma分布作為失效率的先驗分布,通過多源可靠性信息融合,將專家經驗轉換成概率分布,利用D-S證據理論融合多個專家信息,確定了先驗分布參數,結合產品研制階段試驗數據,根據Bayes統計推斷理論,給出了失效率、平均故障間隔時間(MTBF)和可靠度的Bayes點估計和置信下限。以兆瓦級直驅式風力發電機研制試驗驗證了該模型的有效性。

關鍵詞：D-S證據理論;可靠性增長；Bayes模型;直驅式風力發電機

0引言

隨著科學技術的發展與進步，大型復雜裝備逐漸趨向于多功能化、集成化和復雜化，可靠性增長試驗受時間和經費的限制，每一階段試驗量較少,這給可靠性增長定量分析帶來困難。兆瓦級直驅式風力發電機屬于繼承性較強的產品，新型產品的研制往往是對已有產品或技術的改進，存在大量歷史信息,同時,產品研制部門擁有許多經驗豐富的專家，他們對新品研制具有一定認識,因此,要盡可能地利用這些資源和信息，高效、科學、合理地評估和預測產品可靠性水平。

對于小子樣異總體統計問題的處理常采用Bayes可靠性增長模型[1]。在可靠性增長試驗中,每一階段試驗結束后,排除產品故障,然后再進入下一階段試驗，總體的分布參數發生變化,上一階段的驗后分布不能直接作為下一階段的驗前分布。根據Barlow 等[2]提出的順序約束模型,Smith[3]首先提出Bayes可靠性增長模型,假設先驗信息是均勻分布,但應用Bayes 方法處理二項式可靠性增長的問題，評估產品在研制時期的可靠性時會出現計算錯誤。文獻[4]采用折合因子法將上一階段試驗信息折合為下一階段的驗前信息，但折合因子的選擇缺乏客觀。Mazzuchi等[5]提出了先驗分布為Dirichlet分布的可靠性增長Bayes模型,該模型利用了Dirichlet分布的邊緣分布和聯合分布特性,結合了專家的意見、經驗和同類產品的試驗信息,但該模型不僅先驗分布參數的選取缺乏客觀性,而且后驗分布參數的計算困難，不方便工程應用。文獻[6]將D-S證據理論用于可靠性分析,解決了可靠性分析中處理不確定信息的難題。文獻[7]針對實際現實中信息的多源性和不確定性,給出了一種基于D-S證據理論的Babyes統計推斷多源總體驗前分布的融合方法。

本文利用D-S證據理論處理主管判斷問題的優勢,融合多個專家意見，確定驗前分布參數，以研制過程中的兆瓦級直驅式風力發電機為研究對象，結合研制試驗數據，根據Bayes統計推斷計算驗后分布，客觀評價產品當前可靠性指標。

1可靠性增長模型

1.1假設條件

(1)產品可靠性增長分為n個階段,第k(k=1,2,…,n)個階段內對故障采取延緩糾正措施，階段內產品可靠性水平不發生變化,且假設壽命服從參數為λk的指數分布:

f(t|λk)=λke-λkt

(1)

(2)第k個階段內的試驗結果為(zk,τk),zk表示第k個階段內的累積故障次數,τk表示第k個階段內的累積試驗時間。

(3)各階段試驗相互獨立,且糾正措施有效，新試驗階段產品可靠性比前一階段產品可靠性有提高,即

λ1>λ2>…>λn

(4)指數分布參數λk的先驗分布取Gamma分布：

(2)

式中,αk、βk為Gamma分布的分布參數。

1.2驗后分布

第k個階段內的似然函數為

(3)

由式(2)、式(3),根據Bayse定理得λk的驗后分布為

(4)

后驗分布是參數為(αk+zk,βk+τk)的Gamma分布,具有均值和方差，表達式分別為

(5)

(6)

平方損失下最后階段的失效率λn的點估計為

(7)

λn的置信度為γ的置信上限λn,U為

(8)

因為平均故障間隔時間(MTBF)為失效率的倒數,即

Mn=1/λn

(9)

由式(4)得最后階段MTBF的后驗分布為

f(Mn|(zn,τn))=

(10)

后驗分布是參數為(αn+zn,βn+τn)的逆Gamma分布,即Mn~Γl(Mn|(αn+zn,βn+τn))，具有均值和方差,表達式分別為

(11)

(12)

Mn的置信度為γ的置信下限Mn,L可由下式確定：

I(βn+τn)/Mn,L(αn+zn)=

(13)

式中,L(βn+τn)/Mn,L(αn+zn)為不完全Gamma函數。

近似為

(14)

因為可靠度為

Rn=e-λnt

(15)

由式(4)得最后階段可靠度Rn的后驗分布為

f(Rn|(zn,τn))=

LΓ(Rn|αn+zn,(βn+τn)/t)

(16)

式中，LΓ()為對數Gamma分布。

則可靠度的的均值和方差分別為

(17)

(18)

Rn的置信度為γ的置信下限Rn,L可由下式確定:

(19)

近似為

(20)

如果知道第k個階段的先驗分布參數(αk，βk,那么可以方便地得到上述一系列結果，問題在于如何確定先驗分布參數。

1.3先驗分布參數的選取方法

在第1階段以前,產品通常未進行系統級試驗,此時失效率λ取無信息先驗較為合適,按照Jeffreys法則有[8]:

定時截尾表達式為

(α0,β0)=(0,0)

(21)

定數截尾表達式為

(α0,β0)=(1/2,0)

(22)

從第2階段開始,利用增長因子ηk描述階段間的延緩糾正措施的有效性,結合以前階段的試驗信息確定先驗分布參數。

λk+1先驗均值是λk后驗均值的(1-ηk)倍，即

(23)

經過延緩糾正后，會消弱或消除某些故障源，不僅后驗均值會變小，其后驗方差也會有所變小。設λk+1先驗方差是λk后驗方差的(1-ηk)倍[4],即

(24)

式(23)除以式(24)得

βk+1=βk+τk

(25)

我們通常關注最后階段的可靠性評估，因此，在β0=0時，由歸納法得

(26)

即

(27)

式(27)工程意義明顯，最后階段的綜合總試驗時間是所有階段試驗時間之和。

將式(25)代入式(23)得

αk+1=(1-ηk)(αk+zk)

(28)

由歸納法得最后階段先驗分布參數αn:

(29)

式(29)工程意義也十分明顯,若確定了增長因子ηk,就可以得到最后階段產品的可靠性測度,增長因子成為求解的關鍵。

2利用D-S證據理論確定增長因子

文獻[9]中應用作圖法求解增長因子,該方法比較實用,但是結果不夠精確,并且缺乏客觀性。文獻[4]直接利用專家經驗給出增長因子的估值,認為在多階段(n≥3)可靠性增長試驗中,增長因子ηk不宜大于0.6,該方法人為主觀性較強。

(30)

進而求得增長因子：

(31)

上述方法沒有充分利用專家經驗。而在可靠性增長試驗的各階段,可靠性工程師、系統設計人員及領域專家在工作中積累大量知識，他們的專家經驗能夠較好地反映產品的實際情況，因此專家經驗應該得到重視。為了充分利用試驗信息和專家經驗，本文利用證據理論融合多位專家的經驗判斷,以便得到可信性更高的結果。

2.1專家經驗向概率分布的轉化

增長因子η為隨機變量,設其服從正態分布。m個專家給出增長因子的區間估計,P(ηL<η<ηU)=γ(ηL、ηU分別為η的下限和上限)，如圖1所示。

圖1　轉化的概率密度分布

根據圖1，專家給出區間估計等價于認為增長因子服從N(μ,δ2)分布,概率密度函數為f(η),且η落在(ηL,ηU)之間的可能性為γ。通過此方法,將專家經驗的區間估計轉化為概率密度分布。

分布中有兩個未知參數μ、δ2。正態分布是對稱的,均值μ取估值區間的中點:

(32)

方差δ2可以根據區間估計通過積分計算得到:

(33)

2.2基于D-S理論的信息融合

圖2　專家一致度

專家信息的一致度為兩概率分布與橫軸圍成面積的交集與并集的比值:

(34)

M(fi(η),fj(η))簡記Mi j,可以表示一個專家對另一個專家的支持程度,值越大,兩個專家意見的一致程度越高,則對兩個專家信息的一致部分信任度也越高。

m個專家對增長因子進行評估，每個專家評估結果為Ei(i=1,2，…，m),Ei轉化成概率密度分布fi(η)。根據一致度定義,任意兩個專家信息Ei,Ej具有一致度,則所有專家信息兩兩組合,得到m×m的一致度矩陣:

(35)

將矩陣中每一行元素進行歸一化,得到一個新矩陣M′：

(36)

(37)

利用證據理論合成規則,經過m-1次合成可得

(38)

令wj=m(fj(η))(j=1,2, …,m),為融合后的各概率密度分布權重。

2.3融合后的增長因子

各概率密度分布是由專家經驗的增長因子區間估計轉化而來的,即概率密度分布的權重就是專家經驗的權重。則增長因子為

η=w1μ1+w2μ2+…+wmμm

(39)

3數值算例

對某型兆瓦級直驅式風力發電機進行三階段研制試驗，前兩階段得到的指數分布定數截尾信息為：(z1，τ1)=(6,636 h),(z2,τ2)=(3,572 h),第3階段得到的指數分布定時截尾信息為(z3,τ3)=(1,500 h)。

3名領域專家給出第1階段末增長因子的區間估計：

P1(0.2<η1<0.5)=0.9,P2(0.4<η1<0.6)=0.85

P3(0.4<η1<0.55)=0.8

第2階段末的增長因子的區間估計為

P1(0.3<η2<0.7)=0.9

P2(0.45<η2<0.75)=0.85

P3(0.5<η2<0.8)=0.8

若任務時間t=240h,求第3階段末發電機的失效率、MTBF和可靠度的Bayes估計和置信度為0.8時的置信下限。

由D-S證據理論，根據專家對增長因子的評估,得到融合后的增長因子估值:η1=0.4680,η2=0.5982。先驗分布參數為:(α3，β3)=(2.4879，1208)。

所以第3階段末發電機的失效率、MTBF和可靠度的Bayes估計為

失效率、MTBF和可靠度的置信下限為

R3,L=exp(-tλ3,U)=

4結論

(1)提出了基于D-S證據理論的驗前信息融合方法,結合Bayes統計推斷,有效解決了專家經驗、不同階段試驗數據的信息融合問題,給出了失效率、MTBF和可靠度的Bayes點估計、方差和置信下限。

(2)選取先驗Gamma分布作為失效率的先驗分布,使得計算結果簡單,方便工程應用。

(3)利用D-S證據理論融合多個專家的主觀判斷,使評價的客觀性有所改善,進一步將專家意見和客觀試驗數據融合,更有利于客觀地確定先驗分布參數。

參考文獻:

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ZhouYuanquan,LiuZhende,ChenBaoyan,etal.BayesFusionofReliabilityGrowthModelattheStageofExponentialLifeDistribution[J].QualityandReliability,2006,122(2):14-19.

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LiHaoliang,ShiYimin,ChenHua.FusionofInformationofBayesBasedonD-SEvidenceTheory[J].FuzzySystemsandMathematics,2009,23(1):46-51.

[8]周源泉,翁朝曦.可靠性評定[M].北京:科學出版社,1990.

[9]黨曉玲.柔性制造系統可靠性增長管理與分析技術研究[D].長沙:國防科技大學,1999.

(編輯袁興玲)

Bayes Model of Exponential Product Multi-stage Reliability Growth

Yu ChunyuSu ZimeiSun YongquanYuan JiaheNiu Bin

Harbin University of Science and Technology,Harbin,150080

Abstract:A multi-stage reliability growth Bayes model was built based on D-S evidence theory and prior information, that was adaptive to small-sample complicated systems.Gamma distribution was used as prior distribution of failure rate.Through integrated usage of multiple-source reliability informations,the expertise was converted into probability distribution.Using D-S evidence theory and multiple experts’ informations,the prior distribution parameters were known.With test data at product development and Bayes statistical inference theory,the failure rate,MTBF,point estimation and lower confidence were obtained.The validity of this approach was illustrated by the development and test of MW direct-drive wind turbine.

Key words:D-S evidence theory;reliability growth;Bayes model;direct-drive wind generator

基金項目：黑龍江省教育廳面上項目(12511093)

收稿日期：2014-10-29

中圖分類號：TB114.3DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.23.005

作者簡介：于春雨,女,1979年生。哈爾濱理工大學測控技術與通信工程學院副教授。主要研究方向為復雜機電系統可靠性與維修性。蘇子美,男,1961年生。哈爾濱理工大學測控技術與通信工程學院副教授。孫永全,男,1982年生。哈爾濱理工大學測控技術與通信工程學院副教授。苑加和,女,1991年生。哈爾濱理工大學測控技術與通信工程學院碩士研究生。牛濱,男,1955年生。哈爾濱理工大學測控技術與通信工程學院教授。