功率譜密度指導超光滑鏡面加工

楊　晉,　尹　祿,　姚雪峰

(1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所， 吉林 長春　130033；

2.中國科學院大學， 北京　100049)

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功率譜密度指導超光滑鏡面加工

楊晉1,2,尹祿1,2,姚雪峰1

(1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所， 吉林 長春130033；

2.中國科學院大學， 北京100049)

摘要：根據雙向反射分布函數反演功率譜密度，利用得到的功率譜密度函數指導鏡面加工，理論推導結果合理,已經用于實際鏡面加工。

關鍵詞：功率譜密度； 雙向反射分布函數； 鏡面加工

0引言

光學反射鏡在很多領域都起著至關重要的作用，其表面的光滑程度則決定了反射光的質量[1-2]。在很多光學精密儀器中，光學反射鏡的光滑度決定著整個儀器雜散光的水平[3]。在設計對雜散光水平要求較高的儀器設備時往往需要對每一個反射鏡的雜光水平提出指標要求。目前，一般使用雙向反射分布函數(BRDF)來描述一個鏡面的雜散光水平，但是國內反射鏡研磨機構并沒有直接針對BRDF參數進行反射鏡加工的情況，這給反射鏡設計者與加工者的參數對接提出了難題。鑒于此，文中對雙向反射分布函數與反射鏡面形評價作了研究，提出了根據BRDF指標反演功率譜密度(PSD)再利用功率譜密度函數指導鏡面加工的方法。參考國外先進水平的BRDF指標進行實驗仿真建模,計算其功率譜密度函數，計算結果可指導超光滑鏡面加工。

1基本理論

1.1　光學元件的面形誤差與功率譜密度[4]

反射鏡等光學元件的面形誤差可以根據其對入射光線不同的作用效果分為3個頻段。周期小于0.12 mm是高頻段，該頻段屬于表面粗糙度。由于高頻段描述光學元件表面細微的起伏，微觀狀態下會對入射光線產生不確定方向的反射，在宏觀中反映為散射效應。一般用均方根值RMS來評價：

(1)

式中:N----采樣點個數;

x,y----表面位置橫、縱坐標;

Z(x,y)----表面輪廓高度分布。

周期介于0.12~33 mm之間的是中頻段，該頻段屬于表面波紋度。中頻段的誤差對成像的影響是一種衍射效應，難以用一般光線追跡的方法計算其對成像質量的影響，一般采用功率譜密度來評價：

(2)

式中：N----采樣點個數；

D----采樣間隔；

fm----第m階空間頻率;

Z----表面起伏高度。

周期大于33mm的是低頻段，該頻段屬于表面面形。低頻段表面面形誤差主要影響入射光線主要能量的走向，與成像質量相關，一般采用PV值來評價：

(3)

式中：x，y----表面位置橫、縱坐標；

Z(x,y)----表面輪廓高度分布。

根據式(2)可以看出，功率譜密度本質是表面面形函數各頻率分量傅里葉振幅的平方和，它可以確定各個頻率的分布情況，從而定量地計算出每一個頻率分量對成像質量影響的貢獻。

由于功率譜密度與光學元件的尺寸、使用位置無關，而且包含豐富的頻譜信息，常用來評價光學元件的中頻誤差，但是它對整個頻段的分析都有著重要的意義。

1.2　雙向反射分布函數

雙向反射分布函數(BRDF)是用來描述任意表面反射、散射等光學特性的數學模型。它是給定波長λ以確定的入射角入射到某一表面上的輻照度E與某一出射角度下的輻亮度L的比值：

(4)

式中：θ，θi----分別為散射光和入射光與法線的夾角；

φ，φi----分別為散射光和入射光與主平面的夾角;

Ps,Pi----分別為散射光和入射光光功率;

Ωs----散射光線立體角。

雙向反射分布函數模型如圖1所示。

圖1　雙向反射分布函數模型

根據BRDF的定義可以看出，它能夠很方便地描述任意出射角下的光線強度，即雜散光強度。一般常采用改進的哈維模型來描述光學元件表面的散射特性，在該模型中相應的BRDF表達式可以寫成：

(5)

式中：θs，θi----分別為散射光和反射射光與法線的夾角；

b0----散射角等于反射角時的BRDF值,是一個常量；

s----斜率；

l----肩寬。

哈維模型雙向反射分布函數如圖2所示。

圖2　哈維模型雙向反射分布函數

2雙向反射分布函數反演其鏡面功率譜密度

由于低雜散光測試儀對儀器雜光具有非常高的要求，對于影響儀器雜光的關鍵器件反射鏡來說，僅僅提出高頻粗糙度的要求是遠遠不夠的，必須配合中頻波紋度的指標要求。目前,一般采用功率譜密度評價中頻誤差，國內尚無直接針對雙向反射函數提出技術指標的情況。文中提出了將所需達到的BRDF指標換算成PSD的方法，利用PSD指導鏡面加工以達到所需BRDF的指標。

BRDF與二維PSD的關系為[5-7]：

(6)

式中：f----空間頻率；

Q----與入射角、散射角以及光線偏振方向有關的光學因子。

二維空間頻率可以寫為：

(7)

(8)

當只考慮一維方向時，方位角φ等于零，空間頻率與入射角、散射角的關系可以寫成：

(9)

至此PSD與BRDF都可以轉化為一維條件下入射角和散射角正弦的函數，其表達式為：

(10)

在不同偏振條件下，光學因子Q的表達式為[8]：

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：θs,θi----分別為散射光和入射光與法線的夾角;

φ----散射光與主平面的夾角;

ε----鏡面鍍膜材料的復折射率。

(15)

式中:n----折射率;

k----消光率。

3實驗建模

由文獻[9]可知，美國國家航天局所使用鏡面的粗糙度為2nm，參考波長為633nm時，b0=1.616 1,s=-1.852 6,l=5.062 5E-3，引用該組參數仿真鏡面BRDF。對于復折射率N中參數，取折射率n=1.2，消光率k=7；入射角選擇4.7°和45°。將上述參數代入式(10)，可以解出一維PSD，如圖3所示。

圖3　一維功率譜密度

根據文中方法引用美國航天局鏡面BRDF參數推導出的PSD已經用于指導鏡面加工。

4結語

超光滑鏡面在精密光學儀器中發揮著關鍵的作用，文中所提出的雙向反射分布函數反演功率譜密度的方法可以建立超光滑鏡面雜散光指標與鏡面加工指標的直接聯系，對指導超光滑鏡面加工具有非常重要的意義。

參考文獻：

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[3]楊旺，黃瑋，許偉才，等.光學表面中頻誤差對光刻物鏡短程雜散光影響分析[J].光學學報,2013,33(9):0922001-1- 0922001-5.

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[8]Thomas Weigel. Stray light test methods for space optical components[J]. SPIE,2010，30:691-699.

[9]Sholl M J, Grochocki F S, Fleming J C, et al. Stray light design and analysis of the SNAP telescope[J]. SPIE,2007,6675：66750C-1-66750C-12.

PSD guided ultra-smooth mirror finishing

YANG Jin1,2,YIN Lu1,2,YAO Xue-feng1

(1.Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences, Changchun 130033, China;

2.University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Abstract：Power spectral density, being deduced according to bidirectional reflectance distribution function, is used for guiding mirror finishing. The method is proved with theoretical derivation and has been applied to mirror finishing.

Key words：power spectral density; bidirectional reflectance distribution function; mirror finishing.

作者簡介：楊晉(1988-)，男，漢族，中國科學院長春光學精密機械與物理研究所研究實習員，博士，主要從事分光系統的光學設計研究,E-mail：yangjinl@mail.ustc.edu.cn.

基金項目：國家重大科學儀器設備開發專項項目(11YQ120023)

收稿日期：2014-06-13

中圖分類號：O 411.3

文獻標志碼：A

文章編號：1674-1374(2015)01-0044-04

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2015.1.09