帶周期邊界條件時間分數階擴散方程逆時反問題的條件穩定性

阮周生，張文，王澤文

(1.東華理工大學 放射性地質與勘探技術國防重點學科實驗室，江西 南昌　330013；

2.東華理工大學 理學院，江西 南昌　330013)

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帶周期邊界條件時間分數階擴散方程逆時反問題的條件穩定性

阮周生1，2，張文1，2，王澤文2

(1.東華理工大學 放射性地質與勘探技術國防重點學科實驗室，江西 南昌330013；

2.東華理工大學 理學院，江西 南昌330013)

摘要：基于伴隨思想，利用分離變量方法研究了一類帶周期邊界條件時間分數階擴散方程，首先在弱解意義下推得了正問題解的正則性，然后基于對初值的光滑性假設推得了逆時反問題條件穩定性結論.

關鍵詞：時間分數階擴散方程; 逆時反問題；條件穩定性

MSC 2010：35K05

第一作者：阮周生(1980)，江西吉安人，東華理工大學講師，博士，主要從事偏微分方程正反問題理論與數值方法研究.

E-mail:zhshruan@126.com

本文考慮初邊界問題

(1)

(2)

Γ(1-α)為伽馬函數.

上面定解問題中邊界條件含有周期邊界條件，是非局部的.對帶有非局部邊界條件定解問題的數值研究始于文獻[1]. 帶非局部邊界的定解問題具有特殊的性質，因為對應的空間微分算子不是自伴算子，故對應的特征函數系統不是完備的系統，需要通過伴隨函數來對特征函數系統完備化.

Ionkin等[2]利用分離變量法證明了二維帶非局部邊界條件熱傳導方程定解問題解的存在性、唯一性及解對初值的穩定性.Sergei[3]考慮了一類帶積分非局部邊界條件的初邊值波動方程問題，通過對定解條件的合理假設，利用Fourier分析方法證明了該問題經典解的存在性與唯一性. 整數階帶非局部邊界條件定解問題數值方法研究可以參考文獻[4-7].Benchohra等[8]研究了Caputo分數階微分方程帶非局部邊界條件定解問題解的存在性條件.文獻[9-11]分別利用擬逆法、優化方法和數據正則化方法研究帶Dirichlet邊界條件的時間分數階擴散方程逆時反問題，帶非局部邊界條件分數階微分方程反問題的研究可參考文獻[12-13].

上面所述帶非局部邊界條件分數階微分方程正問題的研究是基于經典解意義下考慮的，帶非局部邊界條件逆時問題的研究僅僅局限于反問題解的存在性、唯一性研究，針對逆時反問題條件穩定性問題不曾考慮. 本文對以上的研究結果做進一步研究，首先在弱解的意義下研究解的正則性，而后推導出逆時反問題的條件穩定結果.

1弱解及基本引理

引理1[12-13]Mittag-Leffler函數滿足

給出弱解定義.

已知特征系統

X″(x)+λX=0,x∈(0,1),X(0)=0,X′(0)=X′(1).

(3)

對應的特征值和特征函數系為

(4)

(5)

可推得伴隨問題對應的特征函數系統為

(6)

(7)

(8)

(9)

同理，對伴隨特征系統重排可得

(10)

f0=(f,Y0),f1,k=(f,Y2k-1),f2,k=(f,Y2k),k=1,2,….

(11)

為了證明方便， 給出輔助函數Hk(t)定義并證明其相關性質.

定義3

(12)

引理3

2正問題解的正則性及逆時反問題條件穩定性

利用分離變量法求問題(1)的級數形式解，設問題(1)的形式解為

(13)

將式(13)代入問題(1)得

(14)

(15)

為了后續表示方便，形式上記解算子K:φ→u(.,T)， 故有

(16)

給出問題(1)解的正則性結論.

定理1當φ(x)∈L2[0,1],可推得問題(1)存在唯一的弱解u(x,t)，使得u∈C([0,T];L2[0,1])∩C((0,T];H2[0,1]),且存在常數C,滿足

形式推導有

其中

經計算得

由Lebesgue控制收斂定理，

接下來證明弱解的唯一性，由弱解定義，只需要證明當φ(x)=0時，問題只有平凡解.

由分數階常微分方程解的存在唯一性結論[15]得Ti,k(t)=0,i=1,2,k=1,2,…,故u(x,t)≡0,(x,t)∈[0,1]×[0,T]，綜合可知，定理得證.

(17)

當φ(x)∈H2[0,1]，可以推得

(18)

定理2(條件穩定性)若φ(x)∈H2[0,1],且‖φ(x)‖H2[0,1]≤U0，則有下面條件穩定性結果

(19)

證明：

3小結

本文基于分離變量法考慮了一類帶周期邊界條件的時間分數階擴散方程正反問題，通過對初始條件的先驗假設，推得了初值反問題的條件穩定性結論，從結論中看出帶周期邊界條件的時間分數階逆時反問題是中度不適定的，比整數階逆時反問題不適定性要稍弱.

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(責任編輯：王蘭英)

Conditional stability of backward problem for a time fractional

diffusion equation with periodic boundary condition

RUAN Zhousheng1，2，ZHANG Wen1，2，WANG Zewen2

(1. Key Laboratory for Radioactive Geology and Exploration Technology, Fundamental Science for

National Defense，East China University of Technology，Nanchang 330013，China;

2.College of Science， East China University of Technology， Nanchang 330013，China)

Abstract:Based on the adjoint idea， a kind of time fractional diffusion equation with periodic boundary condition by method of separation of variables was considered. Firstly， the regularization result of the solution to the direct problem in the sense of weak solution was derived. Then based on the smoothing assumption for the initial data， the conditional stability for the backward problem was gived.

Key words:time fractional diffusion equation; backward problem; conditional stability

基金項目：國家高新技術研究發展計劃(2012AA061504)；國家自然科學基金資助項目(11561003)；放射性地質與勘探技術國防重點學科實驗室資助項目(RGET1513)；江西省高校科技落地計劃資助項目(KJLD14051)

收稿日期：2015-01-10

中圖分類號：O175

文獻標志碼:A

文章編號：1000-1565(2015)06-0561-05

DOI：10.3969/j.issn.1000-1565.2015.06.001