具有媒體效應和接種的傳染病模型的穩定性分析

童姍姍，牛玉俊

(南陽理工學院 數理學院，河南 南陽 473004)

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具有媒體效應和接種的傳染病模型的穩定性分析

童姍姍，牛玉俊

(南陽理工學院 數理學院，河南 南陽 473004)

摘要：討論了一類具有媒體效應和接種的傳染病模型.首先分析了各平衡點存在的充分條件，然后應用Hurwitz判據得到了平衡點的局部漸近穩定性，通過分析極限環的存在唯一性得到了平衡點的全局漸近穩定性，最后探討了接種率和媒體效應對疾病的防控作用.

關鍵詞：媒體效應；接種；傳染病；極限環；全局漸近穩定性

(1)

1平衡點的存在性

2平衡點的局部穩定性

系統(1)關于平衡點E(S,I)的Jacobian矩陣為

則μ1=a-θ，μ2=-d，

(μ+a-θ)(λ+β(λ+1)-p((a-θ)/b)p-d)=0,

μ2-[(1-p)(a-θ)-(2-p)bS*)μ+dpβ(λ+1)-pS*p-1I*=0

設μ1和μ2是特征方程的兩根，則

μ1+μ2=(1-p)(a-θ)-(2-p)bS*，

λ1·λ2=dpβ(λ+1)-pS*p-1I*，

故當θ∈(θ1,θ2)時P2局部漸近穩定，θ∈(0,θ1)時P2是鞍點.

3極限環的存在唯一性

引理1[11]對于系統

(2)

其中函數f(x)，g1(x)，g2(x)是關于x的連續正值函數.設E(x0,y0)是系統(2)的平衡點，若系統(2)滿足：

證明對應于引理1，系統(1)中

故

綜上，只需要hmin(S)≥0，即θ∈(0,θ1)時，

定理3.2

4媒體效應的調控作用

由推論1可知，媒體所效應對模型有以下影響：

推論2

( 1)系統的疾病平衡點由不穩定變成全局漸近穩定，所以媒體傳播較小時對疾病的防控作用有限；

( 2)疾病由地方病變成消失，所以隨著媒體傳播力度的增強對該系統有防控疾病的作用；

( 3)當媒體傳播增強到一定力度后，會造成經濟生活停滯，所以媒體傳播的力度應適當.

5結論

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Analysis of the Stability of Infectious Disease Model

with Media Effects and Vaccination

TONG Shan-shan，NIU Yu-jun

(College of Mathematics and Physics,Nanyang Institute of Technology,Nanyang City 473004,China)

Abstract:A class of infectious disease model with media effects and vaccination is discussed.The sufficient conditions for the existence of the equilibrium points are analyzed,and the local asymptotic stability of the equilibrium point is obtained by using the Hurwitz criterion.The global asymptotic stability of the equilibrium point is obtained by analyzing the existence and uniqueness of the limit cycle.

Key words:media effect；vaccination；infectious disease；limit cycle；global asymptotic stability

文章編號：1007-2853(2015)11-0098-06 1007-2853(2015)11-0080-04

作者簡介：王燕飛(1981-)，女，吉林省吉林市人，吉林化工學院講師,博士，主要從事統計決策及試驗設計方面的研究. 王文蓮(1978-)，女，山西大同人，山西大同大學大同師范分校講師碩士，主要從事大學物理和物理課程教學論方面的研究.

收稿日期：2015-07-04 2015-07-10

中圖分類號：O 175.1

文獻標志碼：A DOI：10.16039/j.cnki.cn22-1249.2015.11.019