數學原型：充滿經驗的味道

高中詠

原型指事物的原始形態。本文的數學原型指可以有效衍生出新知識的舊知識或生活經驗。新課標要求：數學課程“不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發……數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上?！比欢瑪祵W學習中的很多經驗是無法傳遞的，只能依靠學生自己體驗和感悟。因此，數學原型一定要從學生已有經驗出發，使學生的思維有生長點。

一、從關聯故事中找原型，加深理解

很多故事中包含著日常生活經驗，將其作為數學原型，不僅能使學生感到數學親切、有趣，而且能在數學與生活之間架起一座橋梁，促使他們將生活經驗轉化為數學經驗。

人教版課標實驗教材四年級下冊“加法的一些簡算”的教學重難點是讓學生理解“多加了要減去”的算理。教學中，教師如果就“數學”講“算理”，會使學生覺得枯燥、難懂。為了使學生悟出“算理”，教學時，教師先讓學生欣賞動畫故事《曹沖稱象》：人們把大象趕上船，在船舷上畫一個記號；把大象趕下來，往船上裝石頭，但記號始終露在水面；最后，加入一塊大石頭時，記號沉到了水面以下。教師停止播放，組織學生幫曹沖想辦法。學生興致佷高，找出了原因：記號沉到水面以下是因為最后加的石頭太重了，必須減掉船中的小石頭。教師接著演示課件，減掉適量的小石頭后，記號果然同水面相平了。

這個改編的數學小故事就是數學原型。它把教學與生活聯系起來，促使學生調用生活經驗潛心體驗，積極思考，在不知不覺中領悟到“多加了要減去”的算理。

運用這種方法，要特別注意兩點：一是在知識的起步階段創設情境，找到原型，學習效果會更佳；二是創設情境時，一定要找準數學知識與生活的關聯點，這種關聯不應只關注知識層面，還應關注解決問題的經驗，這樣才有利于學生從生活經驗過渡到數學知識上來。

二、從現實生活中找原型，凸顯開放

數學學習的真正目的是在學習知識的同時鍛煉思維，提高能力。達到這樣的目的，需要教師給學生提供好的數學原型，并給他們充足的探究時間和空間。好的數學原型應該具有一定的挑戰性和開放性，能讓學生根據原型中的情境提出問題，經歷猜想、推理和交流等數學活動。我們來看下面這個教學片段。

師：某精細零件加工廠加工了一批要求十分嚴格的零件，每個零件重2克。這天，質檢經理來檢查生產的零件是否合格，他抽查的方法很特別：在每個包裝盒里隨意抓一些零件，分別放在天平上稱。稱得的重量分別是（大屏幕出示數據）76克、206克、58克、38克、48克、121克、96克、102克、37克、216克?？吹竭@組數據，質檢經理對生產人員說：“這批零件不合格！”生產人員不服：“憑什么！你沒有數零件個數，這么隨意一稱就說零件不合格，太不負責了！”爭論不下，他們找到董事長評理。你認為誰有道理？

（學生被故事吸引住了。教室里平靜了一會兒，接著有學生拿出筆和紙開始計算，還有的學生開始相互討論。幾分鐘后，學生紛紛舉手。）

生1：我認為質檢經理有道理。雖然他沒有數零件個數，但是每個零件重2克，不管有多少個零件，總重量應該是2的倍數。我剛才計算了一下，121克和37克不是2的倍數，所以這批零件不合格。

師：遇到問題后動筆算一算，用具體數據說話，是認真負責的表現！

生2：我和生1的想法一樣，不過我沒有動筆計算，而是口算的，121和37不是2的倍數。

生3：一個數乘2，個位不可能是1和7。

生4：生3的說法不準確，應該是一個整數乘2，個位不可能是1和7，所以121克和37克包裝盒中的零件不合格。

生5：從乘法口訣來判斷，2的倍數的個位只能是0，2，4，6，8，不會是1，3，5，7，9。

（很多學生表示同意，也有學生在念乘法口訣驗證。）

生6：質檢經理肯定是看個位來判斷的。

生7：對！就是看它們是單數還是雙數，我現在也能一眼就看出來。

生8：這個質檢經理真是個會用數學的人！

這是教學人教版課標實驗教材五年級下冊“2和5倍數的特征”的教學片段。教師根據“2的倍數特征”，為學生提供了富有情趣、具有開放性的生活場景，從而激起了學生探究的潛能和熱情?！盀槭裁捶Q一下就知道是否合格呢？”學生運用已有的知識和生活經驗，積極主動地尋找解決問題的方法，從中不僅享受到了探究的樂趣，而且感受到了數學的魅力。

三、從特定活動中找原型，注重探究

尋找到數學原型并在教學中開展生動有趣、豐富多彩的活動固然重要，但如果停留在情境的表面而忽視了發現和探究，會使精心創設的教學情境成為娛樂式的表演。這樣的情境達不到預期的教學效果。我們來看二年級上冊“數學廣角”中《簡單的排列組合》教學片段。

師：老師和大家一起玩一個游戲——“搶凳子”。游戲規則是，先請六位同學上臺“搶”坐五個凳子，沒有搶到的同學被淘汰，并撤走一個凳子；再由剩下的五位搶坐四個凳子，并撤走一個凳子；這樣每玩一次就淘汰一人，最后搶到凳子的同學就是冠軍。

（選派的六位學生上臺了，他們在其他學生的歌聲中繞著五個凳子轉圈。隨著教師的口令——“坐”，六位學生趕緊搶坐，動作慢的一位被淘汰了。如此又玩了兩次，還剩下三位學生和兩個凳子。）

師：三個同學搶兩個凳子，你覺得哪兩位同學會搶到？一共有幾種可能？

生1：我覺得有三種可能，可能是張××和王××搶到凳子，可能是張××和劉××搶到凳子，也可能是王××和劉××搶到凳子。

生2：是有三種可能，不過，我覺得張××和王××搶到凳子的可能性要大。

師：為什么？

生2：劉××動作慢一些，上一輪就差點兒被淘汰了，所以我覺得張××和王××搶到凳子的可能性要大。

師：你真是一個會動腦筋的學生，能根據前面的情況做出分析。到底是不是這樣呢？我們一起來看看吧！

（結果真像生2所說的那樣，老師和同學一起用掌聲表揚了他。隨后是兩個學生搶一個凳子。游戲結束后，老師布置作業。）

片段中，學生興趣濃厚，在輕松愉快的氛圍中運用本節課所學的組合知識解決了實際問題。然而，在近四分鐘五個環節的游戲中，教師只提取了一個環節（三人搶兩個凳子）中的數學問題，讓學生進行組合分析，其作用與一道簡單的鞏固練習的效果差不多。其實，學生情緒高漲、興趣濃厚之時，正是思維最活躍之機。如果教師充分利用這一有利時機，引導學生探究分析“沒有搶到凳子的同學”與“搶到凳子的同學”之間的關系（三個人中，甲乙搶到凳子、乙丙搶到凳子、甲丙搶到凳子的三種情況，實際上就是——丙沒有搶到、甲沒有搶到、乙沒有搶到的三種情況），那么，“三選二”就是“三選一”的數學問題就會在情境中自主產生，學生的數學思想、思維能力就會在游戲中自主發展。有了這樣的基礎，四搶三、五搶四、六搶五這些看似復雜，教師避而不談的組合問題，必然會引起學生的興趣和思考，從而變得簡單起來。

需要特別說明的是，創設教學情境找到數學原型只是一節好課的條件之一，并不能等同于數學教學活動，也不是教學的真正目的。教師根據數學原型，激活學生已有的知識或生活經驗，并引導他們主動思考，潛心體驗，學生才能真正把握數學本質，形成數學素養和能力。

（作者單位：武穴市師范附屬小學）