指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的合作學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：基于數(shù)學(xué)問題解決

裴昌根

(西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715)

指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的合作學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：基于數(shù)學(xué)問題解決

裴昌根

(西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715)

數(shù)學(xué)問題解決是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的著力點(diǎn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用合作學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力，可以從以下五個(gè)方面進(jìn)行設(shè)計(jì)：合作學(xué)習(xí)基本要素、問題解決能力培養(yǎng)、課堂教學(xué)設(shè)計(jì)、小組評價(jià)和小組題目設(shè)計(jì)。此研究可以為聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)創(chuàng)新提供參考。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；合作學(xué)習(xí)；設(shè)計(jì)研究

一、研究背景

2014年教育部頒布的《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》明確了“培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)”將成為新一階段基礎(chǔ)教育課程改革的中心任務(wù)。圍繞這一中心任務(wù)，需要構(gòu)建以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)方式，使課堂教學(xué)真正發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主渠道作用。合作學(xué)習(xí)是新課程改革所提倡的三大新教學(xué)方式之一。[1]對數(shù)學(xué)教學(xué)而言，合作交流已經(jīng)成為被普遍認(rèn)同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式之一。[2]就當(dāng)前數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)的研究來看, 合作學(xué)習(xí)主要面臨以下三個(gè)方面的問題：一是實(shí)踐問題突出，如：“小組活動(dòng)流于形式”“個(gè)體責(zé)任擴(kuò)散”“學(xué)生社交技能欠缺”“大班額分組困難且課堂過于喧嘩混亂”和“評價(jià)體系沒有跟上”。[3][4]二是小組活動(dòng)缺乏與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度融合。目前很少有研究將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法融入合作學(xué)習(xí)，而大多數(shù)研究僅僅將合作學(xué)習(xí)看作課堂教學(xué)組織的一種方式，例如簡單地加入小組討論。三是合作學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)缺乏整體通盤考慮。即沒有從系統(tǒng)的角度在較長的學(xué)習(xí)周期中去看待、思考和設(shè)計(jì)合作學(xué)習(xí)。以上三大問題的解決既需要深入的理論分析，也需要扎實(shí)的實(shí)踐探索。

目前普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組提出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指“學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的、與數(shù)學(xué)有關(guān)的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)”，其涵蓋六個(gè)要素：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)問題解決是指人們在解決沒有現(xiàn)成解法的數(shù)學(xué)問題時(shí)的認(rèn)知活動(dòng)。[5]數(shù)學(xué)問題大致可以分為兩類：一類是求證，另一類是求值。在求證類的問題中，往往會(huì)涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象等；而在求值類的問題中，更多地會(huì)涉及數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等。在進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決活動(dòng)時(shí)，因解決的問題沒有現(xiàn)成的證法或解法，因此解決這類問題將更能調(diào)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行思考，從而可以極大地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成與發(fā)展。所以，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)找到了著力點(diǎn)。

本文從合作學(xué)習(xí)的角度，探討了如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。在合作學(xué)習(xí)中，合作小組可以解決較難的數(shù)學(xué)問題，通過知識共享、認(rèn)知沖突、協(xié)商交流促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和解題策略的深入理解和掌握。合作學(xué)習(xí)雖然強(qiáng)調(diào)學(xué)生間的相互依賴、相互幫助，是一種團(tuán)體性的活動(dòng)，但是其落腳點(diǎn)還在于促進(jìn)每位學(xué)生的學(xué)習(xí)。本研究中設(shè)計(jì)的合作學(xué)習(xí)，將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力和合作學(xué)習(xí)結(jié)合了起來，力求通過合作學(xué)習(xí)使每位學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題解決的基本過程，掌握數(shù)學(xué)問題解決的一般策略，養(yǎng)成數(shù)學(xué)問題解決的反思習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)問題解決的能力，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、研究方法

設(shè)計(jì)研究(Design-Based Research, 簡稱DBR)是21世紀(jì)初才逐步發(fā)展和新興起來的一種研究范式。在教育領(lǐng)域，這一研究范式致力于將理論建構(gòu)和實(shí)踐應(yīng)用相結(jié)合，通過研究學(xué)習(xí)發(fā)生的過程和設(shè)計(jì)相關(guān)的支撐手段，建構(gòu)基于實(shí)證的理論。[6]設(shè)計(jì)研究具有以下五個(gè)特點(diǎn)[7]：在真實(shí)的教育環(huán)境中進(jìn)行；關(guān)注干預(yù)的設(shè)計(jì)和檢驗(yàn)；運(yùn)用混合的研究方法；設(shè)計(jì)需要反復(fù)修正檢驗(yàn)；在研究者和實(shí)踐者之間建立起協(xié)作伙伴關(guān)系；設(shè)計(jì)原則不斷發(fā)展。

根據(jù)設(shè)計(jì)研究的特點(diǎn)，開展設(shè)計(jì)研究需要研究者進(jìn)入真實(shí)的教育環(huán)境之中，要在干預(yù)的過程中收集詳實(shí)的數(shù)據(jù)，并與教師形成良好的伙伴關(guān)系。本研究選取了廣東省深圳市的一所普通初級中學(xué)，涉及一名數(shù)學(xué)教師及其所任教的兩個(gè)八年級班級的學(xué)生(每班47人)。學(xué)生按照異質(zhì)原則，主要以四人編成小組，組內(nèi)包括一名學(xué)優(yōu)生、兩名中等生和一名后進(jìn)生。按照設(shè)計(jì)研究的流程[8]，首先，研究者根據(jù)合作學(xué)習(xí)理論、數(shù)學(xué)問題解決理論以及參與教師的教學(xué)情況制訂最初的教學(xué)設(shè)計(jì)原則。然后，教師按照教學(xué)設(shè)計(jì)原則進(jìn)行教案設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)踐。同時(shí)，研究者通過課堂觀察和學(xué)生訪談的方式收集相關(guān)數(shù)據(jù)。在研究中以單個(gè)教學(xué)周為觀察周期，在教學(xué)實(shí)施一周后，研究者和該教師根據(jù)在本周教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問題，對教學(xué)設(shè)計(jì)原則進(jìn)行修改。而后，在下一周的教學(xué)中按照修改過的教學(xué)原則設(shè)計(jì)教案并實(shí)施教學(xué)，對其再觀察、再檢驗(yàn)。如此，經(jīng)過多輪的修改檢驗(yàn)后，會(huì)總結(jié)形成最終的合作學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)方略。以下將對其進(jìn)行詳述。

三、合作學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

本文提出了基于數(shù)學(xué)問題解決的合作學(xué)習(xí)模式，其是指在合作學(xué)習(xí)的教學(xué)理論指導(dǎo)下，圍繞數(shù)學(xué)問題解決這一主題，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為教學(xué)目標(biāo)，而形成的相對穩(wěn)定的規(guī)范化的教學(xué)程序和操作體系。在這一模式中，合作學(xué)習(xí)可以從以下五個(gè)方面進(jìn)行設(shè)計(jì)：合作學(xué)習(xí)基本要素、問題解決能力培養(yǎng)、課堂教學(xué)設(shè)計(jì)、小組評價(jià)和題目設(shè)計(jì)。這五個(gè)方面既相對獨(dú)立，又互相作用形成合力，能夠促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。以下將對這五個(gè)方面逐一闡述：

1.合作學(xué)習(xí)基本要素

要發(fā)揮合作學(xué)習(xí)的效果必須落實(shí)以下五個(gè)基本要素[9]，本研究在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施時(shí)考慮如下：

(1)積極的互賴關(guān)系

小組成員要意識到個(gè)人的成功是和其他小組成員緊密聯(lián)系在一起的，只有依靠小組成員的共同努力才能完成小組的任務(wù)。在本研究中，為了讓小組成員之間形成積極的互相依賴關(guān)系，我們采取了兩項(xiàng)舉措：一是，教師明確了小組成員的互補(bǔ)性，特別強(qiáng)調(diào)了后進(jìn)生在小組中的作用，如要把后進(jìn)生所犯的錯(cuò)誤看作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)；學(xué)優(yōu)生可以通過幫助后進(jìn)生來發(fā)現(xiàn)解題關(guān)鍵點(diǎn)。二是，小組獲得的獎(jiǎng)勵(lì)是以小組的平均成績而非個(gè)人成績?yōu)閰⒖紭?biāo)準(zhǔn)。

(2)個(gè)人的責(zé)任

小組的成功需要每個(gè)成員的積極參與，并且每個(gè)成員都應(yīng)承擔(dān)起自己應(yīng)有的責(zé)任。如果這方面不加以注意，學(xué)生中很容易出現(xiàn)“搭順風(fēng)車現(xiàn)象”：即自己不參與小組活動(dòng)，完全依靠他人完成任務(wù)。為使小組成員都能承擔(dān)起自己應(yīng)有的責(zé)任，本研究采取了如下舉措：一是，教師在小組學(xué)習(xí)活動(dòng)后將檢查每一位學(xué)生的解題掌握情況；二是，教師一般會(huì)選擇中等生或后進(jìn)生匯報(bào)小組結(jié)果；三是，在每個(gè)單元學(xué)習(xí)完結(jié)后，教師將實(shí)施由學(xué)生獨(dú)立完成的測試。

(3)促進(jìn)性的互動(dòng)

在小組活動(dòng)時(shí)，小組成員間應(yīng)相互鼓勵(lì)、相互幫助，積極發(fā)表自己的意見并接納他人的合理意見。在本研究中，教師提出了交流互動(dòng)的規(guī)范以幫助學(xué)生進(jìn)行有益的互動(dòng)，如提問要具體明確；盡量給予同伴解釋過程而不是最后結(jié)果；尊重不同的觀點(diǎn)；以事實(shí)和理由說服他人；整合不同觀點(diǎn)形成一致意見。

(4)社交技能

小組成員應(yīng)該掌握基本的社交技能，如如何與他人溝通，如何解決分歧，如何協(xié)調(diào)小組活動(dòng)，如何建立起相互的信任關(guān)系等。本研究中，教師制訂了合作行為準(zhǔn)則，并采取了相關(guān)措施以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)與他人交流合作。例如，等待別人發(fā)言結(jié)束后再加以評論；設(shè)置了小組長，由小組長協(xié)調(diào)本組的活動(dòng)。

(5)小組自評

小組成員應(yīng)定期評估自己或組員在小組合作時(shí)的言行以及本小組合作的效率和效果。這樣，既可以繼續(xù)保持有利于小組合作的言行，又能夠改進(jìn)不利于小組合作的言行。本研究中，小組自評在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行，每次小組活動(dòng)結(jié)束后，每個(gè)小組都會(huì)得到教師的評分，教師以此讓學(xué)生反思自己的合作言行，集體討論如何將小組活動(dòng)做得更好。

以上五個(gè)基本要素是合作學(xué)習(xí)幫助學(xué)生形成良好學(xué)習(xí)氛圍的基石。合作學(xué)習(xí)的有效開展需要改變以往學(xué)生之間競爭性或只關(guān)注自我的學(xué)習(xí)方式，在交流、協(xié)商、爭辯中充分把同伴作為一種學(xué)習(xí)資源，實(shí)現(xiàn)自我及他人學(xué)習(xí)的共同提高。

2.問題解決能力培養(yǎng)

問題解決與一般意義上的練習(xí)有著本質(zhì)的區(qū)別。一般練習(xí)是指學(xué)生在已經(jīng)掌握了解決某類問題的方法和策略的基礎(chǔ)上，再做與此類問題相似的題目，以鞏固對這些方法和策略的掌握，從而提高其運(yùn)用的熟練度。而問題解決對學(xué)生提出了更高的要求，需要學(xué)生將新問題轉(zhuǎn)化為已知問題，并利用已獲得的知識和技能進(jìn)行解決。要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力，一個(gè)有效途徑就是分析解題的過程。[10]另外，研究也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題提示語有利于提高學(xué)生的解題能力，并且學(xué)生以小組的方式學(xué)習(xí)解題提示語比個(gè)人學(xué)習(xí)效果更佳。[11]因此，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力，學(xué)生將在進(jìn)行小組活動(dòng)時(shí)練習(xí)運(yùn)用解題提示語并分析解題過程。具體措施如下：

該培訓(xùn)旨在讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題解決的基本過程和一般策略。培訓(xùn)內(nèi)容主要以波利亞的數(shù)學(xué)問題解決的四個(gè)階段和相關(guān)提示語[12]展開(見表1)：①弄清問題；②擬定計(jì)劃：根據(jù)問題，思考問題的解決方案; ③實(shí)施計(jì)劃：根據(jù)解決方案，寫出完整的解題步驟；④回顧反思：回顧核查解題過程。這里，在擬定計(jì)劃階段的提示語時(shí)主要參考胡炳生教授提出的解題思考三步驟[13]：觀察—聯(lián)想—轉(zhuǎn)化。這三個(gè)步驟也可以看作數(shù)學(xué)問題解題的一般策略，因?yàn)樗軌蛑甘緦W(xué)生解題的思考方向。每個(gè)步驟都有更加詳細(xì)的提示語，這里不一一贅述。在回顧反思階段，我們要求學(xué)生梳理驗(yàn)證解題步驟，思考不同解法和選擇最優(yōu)解法。此外，還增添了讓學(xué)生思考解題關(guān)鍵點(diǎn)和分析錯(cuò)誤的要求。思考關(guān)鍵點(diǎn)可以讓學(xué)生抓住解題的思考要點(diǎn)，以便再遇到類似題目可以較快地找到解題的突破口。數(shù)學(xué)錯(cuò)誤可以大致分為以下四類[14]：概念不清、推理無據(jù)、忽視條件、考慮不周。分析錯(cuò)誤可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的認(rèn)知偏差或知識漏洞，提高解題的監(jiān)控能力。

表1 數(shù)學(xué)問題解決的基本過程和提示語

(2)制作專門的學(xué)習(xí)資料

將數(shù)學(xué)問題解決的基本過程、相關(guān)提示語以及錯(cuò)誤類型的知識編輯成冊，給每位學(xué)生發(fā)一份，督促其在小組討論時(shí)使用，幫助學(xué)生逐漸熟悉并內(nèi)化這些知識。

(3)設(shè)計(jì)小組活動(dòng)總結(jié)表

小組活動(dòng)總結(jié)表既是學(xué)生小組活動(dòng)結(jié)果的載體，也是小組活動(dòng)的認(rèn)知路線圖。在小組活動(dòng)總結(jié)表中，每個(gè)小組需要填寫以下內(nèi)容：解法、關(guān)鍵點(diǎn)、錯(cuò)誤及其改正方法、錯(cuò)誤類型、不同解法和其他發(fā)現(xiàn)。在每次小組活動(dòng)前，教師要將小組活動(dòng)總結(jié)表發(fā)給每個(gè)小組。小組活動(dòng)結(jié)束后，教師要收回每個(gè)小組的活動(dòng)總結(jié)表并評改計(jì)分。

3.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要場所，也是教學(xué)開展的主陣地。在本研究中，課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)主要基于兩方面考慮：一方面，為建立起學(xué)生之間穩(wěn)定的積極互賴關(guān)系，學(xué)生應(yīng)該有較多的機(jī)會(huì)進(jìn)行小組活動(dòng)。因此，這種課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)能夠在教師的常規(guī)課中經(jīng)常使用。另一方面，這種課堂教學(xué)設(shè)計(jì)可以為發(fā)揚(yáng)我國數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)創(chuàng)造條件，如變式教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)、精講精練。由于上述優(yōu)良傳統(tǒng)都是在教師講授的情況下實(shí)施開展的，所以全班講授式教學(xué)需要在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)進(jìn)行保留。最終，在本研究中，課堂教學(xué)設(shè)計(jì)分成全班講授和小組學(xué)習(xí)兩個(gè)部分。以一堂45分鐘的數(shù)學(xué)課為例，全班講授的時(shí)間在25～30分鐘，而小組學(xué)習(xí)時(shí)間在15～20分鐘。在全班講授時(shí)，教師要力求精講精練，剔除不必要的重復(fù)性練習(xí)，把本堂課的主要內(nèi)容放在全班講授環(huán)節(jié)，為學(xué)生的小組學(xué)習(xí)做好鋪墊和知識技能準(zhǔn)備。在小組學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，教師要明確小組活動(dòng)要求，督促學(xué)生積極參與小組討論。小組學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)可以進(jìn)一步劃分為以下五個(gè)步驟：

(1)展示題目

二零一零年，小虎隊(duì)重回春晚，《愛》的旋律乍起，迅速將我拉回至一九八八年秋天的場景，眼前一熱，流下淚來。

教師展示小組活動(dòng)的題目，并要求學(xué)生認(rèn)真審題。

(2)獨(dú)立做題

教師給予學(xué)生一定時(shí)間讓其獨(dú)立思考解題方法。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生利用解題提示語思考解題方法，準(zhǔn)備好交流的問題和觀點(diǎn)。

(3)小組討論

小組討論包含以下環(huán)節(jié)：①形成小組：前后兩排，前排學(xué)生轉(zhuǎn)身與后排學(xué)生形成小組。②交流互助(組員陳述、判斷正誤、組員互助)：由已有解題思路的組員先陳述自己的思路，其他成員如有不同想法再補(bǔ)充。當(dāng)小組成員陳述完畢后，其他成員要對其發(fā)言做出判斷，如有錯(cuò)誤需指出并加以糾正。如果有成員無法獨(dú)立解決問題，其他成員應(yīng)給予幫助直至其解決為止。③集體反思：全體成員共同討論關(guān)鍵點(diǎn)、錯(cuò)誤、不同解法和其他發(fā)現(xiàn)。④歸納總結(jié)：討論完以后，小組成員一起填寫小組活動(dòng)總結(jié)表；也可邊討論邊填寫此表。

(4)小組分享

小組討論結(jié)束后，教師要檢查每位學(xué)生是否已經(jīng)掌握了該題目的解法。這時(shí)可通過舉手示意的方式，了解每位學(xué)生、每個(gè)小組的討論效果。然后，選取若干個(gè)小組匯報(bào)討論的結(jié)果。

(5)教師點(diǎn)評

教師點(diǎn)評關(guān)注兩個(gè)方面：一是學(xué)生的匯報(bào)內(nèi)容。針對學(xué)生的匯報(bào)內(nèi)容，教師要指出其解題思路的優(yōu)缺點(diǎn)。二是學(xué)生的合作表現(xiàn)。教師要對學(xué)生在小組討論時(shí)的言行進(jìn)行點(diǎn)評，肯定好的言行，并指出需要改進(jìn)的地方。

4.小組評價(jià)

學(xué)習(xí)評價(jià)一般可分為終結(jié)性評價(jià)和形成性評價(jià)。終結(jié)性評價(jià)在于對學(xué)生一段時(shí)間的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行鑒定；而形成性評價(jià)旨在通過評價(jià)發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的優(yōu)點(diǎn)與不足，并為下一步的教學(xué)提供參考。[15]在本研究中，對小組的評價(jià)除了具有終結(jié)性評價(jià)和形成性評價(jià)的特點(diǎn)外，還有提高個(gè)人責(zé)任、形成互賴關(guān)系的作用。小組評價(jià)有以下四種形式:

(1)小組活動(dòng)后的及時(shí)評價(jià)

小組活動(dòng)后，教師將評價(jià)學(xué)生對小組題目的掌握情況，以了解是否每位學(xué)生都理解了該題的解法。評價(jià)以學(xué)生舉手的形式進(jìn)行。每當(dāng)小組活動(dòng)結(jié)束后，教師會(huì)要求學(xué)生舉手示意其是否掌握了題目的解法。若某一小組中有成員沒有理解該解法，該小組在活動(dòng)總結(jié)表上的得分將會(huì)減去相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。小組活動(dòng)后的及時(shí)評價(jià)在于使學(xué)生承擔(dān)起個(gè)人責(zé)任，督促所有組員在小組活動(dòng)時(shí)要積極思考，沒有明白的學(xué)生要主動(dòng)尋求幫助，同時(shí)已經(jīng)明白的學(xué)生要積極幫助有困難的學(xué)生。這個(gè)評價(jià)本質(zhì)上是終結(jié)性評價(jià)。

(2)基于小組匯報(bào)的教師點(diǎn)評

教師點(diǎn)評主要是評價(jià)學(xué)生的匯報(bào)內(nèi)容和合作表現(xiàn)。一方面，要根據(jù)匯報(bào)內(nèi)容了解學(xué)生對題目的掌握情況，幫助其理順解題思路，對發(fā)現(xiàn)的問題及時(shí)給予糾正，所以這方面體現(xiàn)了形成性評價(jià)的思想。另一方面，要評價(jià)學(xué)生的合作表現(xiàn)，以幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的合作習(xí)慣。

(3)基于小組活動(dòng)總結(jié)表的評價(jià)

因?yàn)椴皇敲總€(gè)小組都有機(jī)會(huì)發(fā)言，所以只能依靠小組匯報(bào)的方式對小組討論結(jié)果進(jìn)行評價(jià)，那么就有一些小組討論的結(jié)果不能得到教師的評價(jià)反饋。為解決這一問題，本研究使用了小組活動(dòng)總結(jié)表，此表記錄了學(xué)生討論的結(jié)果。根據(jù)小組活動(dòng)總結(jié)表，教師便可以對每個(gè)小組的活動(dòng)結(jié)果進(jìn)行評價(jià)反饋。在評價(jià)時(shí)，教師會(huì)給小組的活動(dòng)總結(jié)表打分，并在批改后發(fā)還給各個(gè)小組。對在小組活動(dòng)總結(jié)表中發(fā)現(xiàn)的學(xué)生解題方面的問題，教師可以在下次上課時(shí)進(jìn)行補(bǔ)救。有時(shí)，教師也會(huì)將得分較高的小組活動(dòng)總結(jié)表展示出來，以供其他小組觀摩學(xué)習(xí)。另外，教師會(huì)把每次小組活動(dòng)總結(jié)表的得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，以周為單位匯總，并以此為依據(jù)評選每周的優(yōu)秀小組。對得分靠后的小組，教師應(yīng)幫助其分析原因以促使其進(jìn)步。 因此，該評價(jià)兼具終結(jié)性評價(jià)和形成性評價(jià)的特點(diǎn)。

(4)基于階段性測試的評價(jià)

階段性測試在于檢驗(yàn)學(xué)生階段性的學(xué)習(xí)效果，如單元測試，期中、期末測試。每次測試要求學(xué)生獨(dú)立完成，根據(jù)小組成員的測試平均分給予小組得分。這樣既可以檢驗(yàn)每位學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，也可以增強(qiáng)小組成員間的合作關(guān)系。階段性測試主要體現(xiàn)了終結(jié)性評價(jià)的思想。

如此，將每次小組活動(dòng)的評價(jià)和階段性測試結(jié)合起來，能夠使評價(jià)成為檢驗(yàn)小組合作效果、改進(jìn)教學(xué)、提高個(gè)人責(zé)任，以及形成合作關(guān)系的有效手段。

5.小組題目設(shè)計(jì)

解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要活動(dòng)形式。在小組學(xué)習(xí)中，題目的設(shè)計(jì)關(guān)系到學(xué)生的討論質(zhì)量。合適的題目可以激發(fā)學(xué)生積極的思考，創(chuàng)造鍛煉學(xué)生高階認(rèn)知思維的更多機(jī)會(huì)。在本研究中，經(jīng)過課堂實(shí)踐的檢驗(yàn)，形成了以下的題目設(shè)計(jì)原則：一是，題目數(shù)量不宜過多。在干預(yù)的最初階段，小組活動(dòng)中布置了多個(gè)題目，結(jié)果發(fā)現(xiàn)不同學(xué)生常常關(guān)注不同的題目，學(xué)生的注意力容易分散。由此，小組活動(dòng)便異化為各自的解題活動(dòng)。為避免這一問題，經(jīng)過調(diào)整后發(fā)現(xiàn)，題目設(shè)置為一至兩個(gè)較為妥當(dāng)。二是，題目內(nèi)容需緊扣每堂課最重要的教學(xué)目標(biāo)。一堂課的教學(xué)目標(biāo)可能有若干個(gè)，為了利用小組活動(dòng)，促進(jìn)最重要教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，小組題目應(yīng)該圍繞最重要的教學(xué)目標(biāo)來選擇和設(shè)計(jì)。三是，題目難度需適宜。題目有一定的難度才容易引發(fā)學(xué)生合作的認(rèn)知需求。過難的題目容易造成即使合作也不能解決問題的情況，使學(xué)生對合作的效力產(chǎn)生懷疑，從而降低參與小組討論的積極性。當(dāng)然，這里難度的概念是相對的。對于不同學(xué)生、不同的教學(xué)內(nèi)容，難度需要具體設(shè)定。四是，題目最好能夠暴露學(xué)生比較容易犯的錯(cuò)誤。錯(cuò)誤說明了學(xué)生學(xué)習(xí)存在認(rèn)知偏差，改正分析錯(cuò)誤有利于幫助學(xué)生形成正確的知識體系和良好的認(rèn)知習(xí)慣。學(xué)生要樹立對待錯(cuò)誤的正確態(tài)度：錯(cuò)誤是學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，而不是失敗的象征。最后，題目最好可以一題多解。研究中發(fā)現(xiàn)，具有多解的題目往往能夠引起學(xué)生激烈的討論，能夠幫助學(xué)生從多個(gè)角度思考和解決問題。

合作學(xué)習(xí)是以合作與交流為主要特征的學(xué)習(xí)方式，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。合作學(xué)習(xí)創(chuàng)建了寬松安全的學(xué)習(xí)環(huán)境，可以充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)創(chuàng)造良好的條件。數(shù)學(xué)問題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要方式，具有較高的挑戰(zhàn)性、較強(qiáng)的綜合性和較高的開放性，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要的作用。本研究提出的合作學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)方略，分析了合作學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和數(shù)學(xué)問題解決的要點(diǎn)，著眼于通過學(xué)生的合作與交流，幫助每位學(xué)生掌握數(shù)學(xué)問題解決的基本過程和一般策略，養(yǎng)成回顧反思的解題習(xí)慣，從而提高數(shù)學(xué)問題解決能力，最終促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

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Designing Cooperative Learning for Mathematical Key Competences: Based on Mathematical Problem Solving

PEI Changgen

(College of Mathematics and Statistics, Southwest University，Chongqing 400715)

Mathematical problem solving offers a springboard to cultivate students’ mathematical key competences. The strategies for designing cooperative learning for cultivating students’ ability of mathematical problem solving involve the following five aspects: the basic elements of cooperative learning, problem-solving ability cultivation, classroom instruction design, group evaluation, and task design. This study provides an important exemplar to classroom instruction innovation about cultivating students’ mathematical key competences.

mathematical key competences, cooperative learning, design-based research

裴昌根，四川成都人，西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院博士后，主要從事數(shù)學(xué)教育與教育統(tǒng)計(jì)研究。