試論高中數學基礎型課程的研究性學習滲透策略

徐岳燦

(上海市上海中學，上海 200231)

試論高中數學基礎型課程的研究性學習滲透策略

徐岳燦

(上海市上海中學，上海 200231)

在高中數學基礎型課程中進行研究性學習，能讓學生初步了解研究性學習的基本方法與過程，培養實踐與創新能力，鍛煉全方位的能力。為加強研究性學習，我們將其滲透在數學基礎型課程中的基礎內容設計、課堂教學、課題探究與命題評價等環節，取得了預期效果。

高中數學；研究性學習；基礎型課程；滲透

高中數學基礎型課程的研究性學習，強調學生在基礎型與拓展型數學課程學習中，運用所學知識解決高中數學和現實問題，在開放的環境中涉獵知識，從而培養其實踐能力與創新能力。其中，關鍵是教師要提供一個使學生勇于探索爭論和相互學習的良好氛圍，并給學生提供自主探索、合作學習的機會。[1]上海中學根據學生特點與教學實際，在基礎型數學課程中通過課程設置、課堂教學、課題探究與命題評價等多方面加強研究性學習，讓學生主動參與研究過程，獲得科研啟蒙的親身體驗，培養良好的科學態度和研究方法，鍛煉全方位的能力，尤其是應用數學解決問題的實踐能力和創新能力。我們主要從以下五個方面著手探究高中數學基礎型課程的研究性學習滲透策略，包括研究性學習的思路、指導、方法、平臺與內涵。

一、在基礎內容設計中，滲透研究性學習思路

在研究性學習的開展過程中，我們需要強調學生扎實的基礎知識和穩健的學習能力。在知識與能力充分儲備后，才能進一步鼓勵學生運用所學知識來拓展已學內容的深度與廣度，才能更深一步引領學生解決現實問題，開拓學生的思維活動，關注數學知識的延伸與運用。

為轉變學生的學習方式和教師的教學設計，學校于2015年正式制訂了《上海中學數學基礎型課程教學綱要》(以下簡稱《綱要》)，以教育部課程標準和上海市課程標準為基本依據，并結合上海中學的教學傳統和教學實際，確定高中數學各年級的教學內容與教學要求。《綱要》確定數學教學的基本要求與最高目標，它是數學教學各項活動設計、實施和評估的依據,強調基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經歷等學生未來發展所必需的基礎。在教學中應全面把握教學目標，促使知識與技能、過程與方法以及情感態度與價值觀三維目標的整體達成,努力彰顯數學教學的育人價值、知識技能與實踐應用。

研究性學習思路突出表現在夯實基礎知識與發展基本能力這兩方面。如高一年級主題2，依據上海市課程標準，僅包含“不等式性質、不等式證明、解不等式和不等式的應用”四部分內容，但是參考全國教材的相關內容與上海中學的學生特點，我們增加了“無理不等式的解法、三元基本不等式及其應用以及柯西不等式”三節內容。不等式是中學數學的重要內容，是進一步學習高等數學的基礎，也是解決其他問題的重要工具。增加的三節內容有助于學生對“不等式”這一章節所涉及的數學知識的系統理解，更有利于提升學生的數學科學素養。

《綱要》設計滲透的研究性學習思路完全基于學科知識的系統要求，突出學習內容的完備性，強調學生數學學科意識的提升與學科功力的增強，為學生進入數學研究性學習奠基和指明研究內容的基礎與方向。

針對普通高中學校，在數學基礎型課程中開展研究性學習，同樣需要突出數學的基礎知識與學習能力，并且為學生指明相應的學習要求。根據學生的不同特點，有的放矢進行學科意識的培養與學科功力的彌補。

二、在課堂教學運用中，滲透研究性學習指導

研究性學習指導的關鍵在于常規教學的逐步運用，即把學習指導方法滲透在課堂教學中，改變教師的教學方法與觀念，以學生的可持續性發展為本，使每位學生在創造實踐中成長。

在指導實踐中，重點要引導學生提出研究性學習的問題，倡導提出問題比解決問題更重要。教師的重點不僅在于指導學生解決研究性學習的問題，更要引導學生學會提出有探索可能或有價值的問題。提出問題主要采用四種方式：其一，可以通過嘗試、觀察、歸納得到具體的數學事實，再經過仔細思考分析，概括提煉其中包含的一般原理，最后歸納得出更一般的結論。其二，通過減弱或增強條件得出類似的或更深刻的結論，或者在原來條件下，挖掘出其余相關的結論。其三，通過聯想、類比、抽象得出相關的結論，如將平面問題延伸到空間、等差數列問題類比到等比數列。數學家徐利治教授認為：“只有在思維方式上善于融會貫通、舉一反三，既有廣泛的聯想能力，又有對不同數學領域之間內在聯系的敏銳洞察力，才有希望通過巧妙的類比，提出有希望的問題。”當然，我們允許學生提出的問題不完整，甚至是錯誤的，但更重要的是要鼓勵學生大膽猜想。[2]其四，通過聯系實際建立數學模型。如買房貸款問題、牛奶盒子包裝問題、學生生日相同的概率問題等。

提出問題不僅是教師需要著重思考的方面，也是高中學生進行研究性學習的重要途徑。高中學生可以根據以上四種方式提出研究性的數學問題，問題的質量因人而異，不同學力的學生可以依據學習內容、知識基礎等有選擇地提出問題，對于所提問題也不必追求含金量的高低，甚至有些學生可以先不提問題，而是思考他人已經提出的問題。

三、在學科大作業中，滲透研究性學習方法

學校采用分階段的方法，按不同的目標要求進行研究性學習，對高一學生的重點在于在學科大作業中滲透研究性學習方法。

數學學科大作業主要是以數學知識為基礎，讓學生主動地參與研究過程，獲得科研啟蒙的初步體會，以培養其嚴謹的科學態度和嚴格的研究方法。它最顯著的特征是“開放”，學科大作業的內容選擇、學習方式、思考途徑等不受限制，可以是問題探討、課題設計、實驗探究、社會調查等，也可以是從講座、網絡、人際交流、媒體、書刊等途徑獲取信息。探討的素材以已知領域為主，但是提出的問題對學生要有價值、有意義，符合學生的認知實際。如最近高一年級學生討論的問題主要有：“分式函數的圖像與性質初探；關于素數的一些特殊性質淺談；編兩個題材為平面幾何的充要條件問題；研究多項式函數圖像的對稱性，例如三次函數、四次函數等；生活中的形形色色曲線；預付卡的需求調查與市場分析；若y=f(x)有兩個不動點，求證：y=f[f(x)]有且僅有3個不動點。”上述問題有些是教師提供的，但更多的是學生本人提出的。

數學學科大作業的學習是一種持續時間較長(約一個學期)、活動形式較為多樣的學習活動。其主要目的并不在于獲得一個完備的結論，而在于使整個學習過程給學生帶來正能量。培養學生的創新精神和實踐能力，初步學會如何提出有價值或值得思考的問題，以及簡明指出探究的方向。

四、在數學課題報告中，滲透研究性學習平臺

在數學學科大作業的基礎上，根據學生的志向與興趣特點，在學生進入高二年級后，確定數學研究的課題名稱，并按要求在學校的研究性學習平臺上把數學課題與學習平臺加以整合，了解撰寫數學課題報告的過程以及相應的要求。一個完整的課題報告包含三個必要部分——開題報告、中期報告以及結題報告，學生在每個階段需要與指導教師在平臺上完成相應的互動任務，整個流程在一學年內完成。

開題報告需要包含以下內容：研究的課題題目；為什么想研究這個課題；通過查閱相關資料，了解該領域已經研究出了什么成果；課題研究的具體步驟；希望這個課題達到怎樣的預期成果。之后需要指導教師來審核，若審核通過，按照研究流程繼續進行下一個程序；若審核不通過，則需要對原開題報告進行修改或重新選擇一個新的課題。中期報告需要總結課題的階段性進展，反思研究過程中遇到的挫折和困難，以及規劃后續的研究過程。每一個課題的開題與中期報告大約需要在9個月的時間內完成。最后在此基礎上撰寫結題報告：要求提交前言、原理、數據與分析、結論、參考文獻等。最后指導教師從五個方面給予評價，分別是所搜集資料的完整性與時效性、所撰寫內容與主題的相關性、論文內容的科學性和完整性、全文語言風格的一致性、文章后標明資料來源的真實性，每一方面用A、B、C、D、E五個等級予以評價。

數學課題報告與研究性學習平臺的整合，強調培養學生對信息與資源的分析、加工、運用與交流的能力，特別要求學生對科學研究做到誠信，禁止學生通過各類渠道出現不誠信的行為。通過研究性學習平臺的流程，及體驗科學研究的一般過程與方法，增強了學生的主體意識，構建了以培養學生創新精神、實踐能力與數學能力為主、以學生科學探究為主要學習方式的高中數學基礎型研究性學習模式。

數學學科大作業與數學課題報告這兩項活動適合所有高中學生，是對學生志趣的發掘與培養。教師需要適當地引導與呵護，進一步為學生未來對于科學事業的選擇奠基，通過數學課題報告的嘗試，為培養創新型人才打下堅實的基礎。這種對課題探究的選擇、自由寬松的環境、個人的興趣與執著以及不同學科之間的結合，產生了多樣化與個性化的課題報告，這正是高中教育對創新人才的最大貢獻。

五、在命題評價中，滲透研究性學習內涵

研究性學習所考查的對象，有的直接是數學問題，有的是與數學相關的實際問題，它們都帶有一定的數學情景，研究或解決這些問題往往需要不同數學知識的綜合運用。我們通過不定期的命題評價，把不同類型的數學問題直接或間接整合在一起，以使學生體驗研究性學習的內涵。

通過命題評價，不僅促使學生理解和掌握數學基礎知識、基本技能與基本能力，而且對學生綜合應用數學，尤其是創新意識和應用能力的發展起到促進作用。高一學生完成“數列”章節后，在一次命題中出現了以下問題：

定義：如果數列{an}的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{an}為“三角形”數列，對于“三角形”數列{an},如果函數y=f(x)使得bn=f(an)仍為一個“三角形”數列，則稱y=f(x)是數列{an}的“保三角形函數”。

(1)已知{an}是首項為2、公差為1的等差數列，若f(x)=kx,(k>1)是數列{an}的“保三角形函數”，求k的取值范圍；(2)已知數列{cn}的首項為2010,且滿足4Sn+1-3Sn=8040,(Sn為數列{cn}的前n項和)，證明{cn}是“三角形”數列；(3)根據“保三角形函數”的定義，對函數h(x)=-x2+2x,x∈[1,A],和數列1,1+d,1+2d(d>0)提出一個正確的命題，并說明理由。

命題評價貫穿在學生的持續學習過程之中，不僅在重大命題中(如期中或期末考試)，而且在平時的練習中，我們也把研究性學習的考核作為其重要的一部分。由于研究性學習的特點，我們不僅注重結果的評價，更側重于過程性的評價，如對學科問題的理解是否到位、表述方式是否清晰、解決的方法是否獨特等。

將研究性學習列入中學課程計劃是我國基礎教育改革的一項重大變化，它的提出意味著現代高中教學必須要重視學生的全面發展和綜合素質提高。研究性學習具有開放性和實踐性的雙重特點：開放性是指可以根據學生的愛好去選擇探究的內容和主題；實踐性是指整個學習過程由學生親自參與，鍛煉學生各方面的能力。在高中數學基礎型課程進行研究性學習，既體現了這種學習的可操作性，也使得學生在研究現象、解決問題的過程中，經歷自我觀察、思考、猜測、推理、檢驗以及與他人交流去從事有關數學知識與方法的學習，提出有思維價值的問題，并應用數學知識與方法去解決問題。[3]

[1] 周尚能.新課改背景下高中數學研究性學習探析[J].四川教育學院學報,2005,(5):84-87.

[2] 王躍進，牛偉強.例談高中數學探究性學習問題提出的策略[J].教育與管理,2011,(4):65-67.

[3] 趙偉.高中數學探究性學習的實踐與思考[J].教育探索,2007,(2):52-53.

A Brief Introduction to the Integration of Project-based Learning Strategy into the Basic High School Math Curriculum

XU Yuecan

(Shanghai High School,Shanghai 200231)

Project-based learning is introduced into the basic math curriculum to help students to have a preliminary knowledge of how to learn through projects and researches. By carrying out the strategy, we have cultivated the students’ overall abilities to apply what they have learned to practice and stimulated their creativity. In order to bring the learning strategy into full play, we have been integrating it into our basic teaching routine, including the design of the basic teaching materials, classroom teaching, project research and test assessment. All these attempts have already achieved desired effects.

high school mathematics, project-based learning，basic curriculum，integration

徐岳燦，浙江紹興人，上海市上海中學高級教師，主要從事高中數學教學研究。