基于Kapteyn級數展開的低復雜度大規模MIMO信道估計

王兵，李正權,2，燕鋒，沈連豐

（1.東南大學信息科學與工程學院，江蘇 南京 210096；2.北京郵電大學網絡與交換技術國家重點實驗室，北京 100876）

基于Kapteyn級數展開的低復雜度大規模MIMO信道估計

王兵1，李正權1,2，燕鋒1，沈連豐1

（1.東南大學信息科學與工程學院，江蘇 南京 210096；2.北京郵電大學網絡與交換技術國家重點實驗室，北京 100876）

為降低大規模MIMO信道估計的復雜度，提出一種基于Kapteyn級數展開的信道估計方法。通過Taylor級數把協方差逆矩陣展開，從而降低信道估計的復雜度。為提高Taylor-MMSE估計的收斂速度，采用Kapteyn級數對協方差矩陣進行展開。仿真結果表明，Kapteyn-MMSE估計的均方誤差（MSE）收斂速度明顯快于Taylor-MMSE，不足的是Kapteyn-MMSE復雜度略高于Taylor-MSME，但仍遠小于經典MMSE算法。

信道估計；Taylor級數；Kapteyn級數；多項式展開

1 引言

多輸入多輸出（multiple input multiple output，MIMO）技術通過增加空間復用技術極大地提高了無線通信系統的頻譜利用率[1]，這引發了學術界和工業界對基站裝備天線的進一步研究。由于上下行信道間的互易性，對信道進行訓練所需的代價僅與小區內移動用戶數有關，而與天線的數量無關[2]。因此當基站裝備天線數趨于無窮大時，不僅不會給整個通信系統帶來更大的開銷，相反可以提高系統性能[3]。

在大規模MIMO系統中，能否準確獲取信道狀態信息（channel state information，CSI）是進一步研究大規模MIMO系統的一個至關重要的因素。獲取CSI的一種典型方法是通過發射導頻信號，從接收信號中估計信道系數[4]。當信道的統計特性已知時，可以通過Bayesian（貝葉斯）MMSE（minimum mean square error）方法來估計信道系數。這一過程必然涉及對信道協方差矩陣的求逆運算，其復雜度是矩陣大小的3次方，當基站天線數增加時，這增加了矩陣求逆的復雜度。在傳統的MIMO系統中，基站裝備的天線數少，進行求逆運算復雜度是可以接受的[3]。然而在研究大規模MIMO系統時，基站的天線數很大。如基站發射天線數設為100，基站接收天線數設為10，導致在利用Bayesian MMSE進行信道估計時，需要對維度為1 000×1 000的矩陣求逆，此時計算復雜度為O（1 0003）。本文的目的是通過多項式展開的方法來求解矩陣的逆，進而降低信道估計的復雜度。

多項式展開（polynomial expansion，PE）是一個減少高維矩陣求逆計算復雜度的有效方式。常用的多項式方式展開有Taylor（泰勒）級數展開、Neumann（諾伊曼）級數展開等[6,7]。多項式展開是通過用一個L維的矩陣多項式來近似矩陣函數，常用在檢測或均衡等信號處理領域中。多項式維度L是在計算復雜度與估計性能平衡中選擇的。目前的研究一般是利用Taylor級數進行多項式展開，這能夠很好地降低算法的復雜度，但尚未有對算法收斂性的研究。本文采用Kapteyn（卡普坦）級數進行多項式展開，發現在展開的多項式維度相同時，Kapteyn級數展開方式可獲得更好的估計性能。

2 信道模型

考慮在基站裝備Nr根接收天線以及Nt根發射天線的MIMO信道模型，為了估計準靜態平坦-衰落信道H∈CNr×Nt的瞬時信道系數，把信道矩陣建為瑞利衰落模型：vec(H)～ CN(vec(H),R)，其中，H為信道均值矩陣，信道協方差矩陣是半正定的，用來描述空間通信傳播質量。使用導頻信號來進行信道估計[8-11]，即假設發送方發送一個預定的導頻矩陣P∈CNt×B，其中B表示導頻序列的長度，滿足

其中，噪聲干擾N∈CNr×B服從循環復高斯白噪聲分布，其模型為為均勻分布噪聲。為噪聲協方差矩陣，在大量文獻中也常被稱為導頻污染。信道模型中信道協方差矩陣R和噪聲協方差矩陣S假設是已知的。

利用向量化算子，將H、N、Y分別向量化為h=vec(H)、 y=vec(Y)、n=vec(N)，同時定義導頻信號矩陣：，其中單位矩陣。將式（1）轉化為規范的向量估計形式：

如果接收端已知信道和噪聲的統計特性，也即R和S在接收端是已知的，利用Bayesian MMSE估計MIMO信道為：

從式（4）來看，如果接收機知道信道和噪聲的統計特性，MSE是完全可以求出來的。不足的是式（4）涉及矩陣的求逆運算，該運算在大規模MIMO系統中如果采用常規的求逆運算，其復雜度很高。本文的目的是通過多項式展開來優化矩陣求逆運算，使得在滿足估計性能的前提下，降低計算復雜度。

3 低復雜度MMSE信道估計

在利用Bayesian MMSE進行信道估計時，離不開對矩陣進行求逆的操作，而求逆運算需要很高的復雜度，這在大規模MIMO中是不可行的[11]。所以利用幾種級數對求逆矩陣進行多項式展開來降低復雜度。

3.1 Taylor級數多項式展開

根據Taylor級數定義，知道對于任何Hermitian（埃爾米特）矩陣X∈CN×N，如果矩陣的特征值對于所有n∈N都滿足|λn(X)|＜1，有：

可以用長度為L的多項式展開來近似求得矩陣的逆，通常情況下L是遠遠小于矩陣大小的。對任意正定矩陣X和0＜α＜2/max(λn(X))都有：

其中，E為誤差項，當X→∞時，E→0。可以得到基于Taylor級數展開的低復雜度信道估計，定義如下：

3.2 Kapteyn級數多項式展開

依據Kayteyn級數定義[16]，對于任何正定矩陣X∈CM×M，如果矩陣的特征值對于所有m∈M都滿足|λm(X)|＜1，有：

同理，得到：

其中，E為誤差項，在N→∞,K→∞時，E→0。然后得到基于Kapteyn級數展開的低復雜度信道估計，定義如下：

3.3 計算復雜度

在直接利用MMSE估計一個線性系統方程時，主要的復雜度在于對矩陣進行求逆，其復雜度為是矩陣的維度。在傳統小規模MIMO系統（2×2的天線配置）中，其復雜度是很小的。

考慮用Taylor級數進行多項式展開時，可以采用遞歸算法計算[11]，這樣只涉及矩陣向量的乘法，如：

式（15）的計算復雜度為O(M2)，可以看到復雜度從O(M3)降到了O(M2)。因此式（7）總的復雜度為總之，由于L<

在利用Kapteyn級數進行多項式展開時，可以得到式（12）總的復雜度為。同樣的，因為N<

對上面3種對信道估計方法計算復雜度進行總結，見表1。

表1 3種信道估計器復雜度對比

4 仿真分析

通過仿真來具體分析 Taylor-MMSE以及 Kapteyn-MMSE的性能。設Nr=100，Nt=10,同時注意到信道和干擾的均值與計算MSE是沒有關系的，所以文中采用的是零均值進行計算的。于是通過Kronecker模型[12,13]來描述信道的協方差系數，因此MIMO信道協方差矩陣為R=Rt?Rr，其中Rt∈CNt×Nt

為發射端的協方差矩陣，Rr∈CNr×Nr表示接收端的協方差矩陣。

由于蜂窩小區間存在導頻污染，干擾的協方差矩陣建模為：

其中，∑i表示小區i的信道協方差矩陣。同樣通過Kronecker（克羅內克積）模型，可以得到，其中，βi表示小區i導頻污染程度，當βi=0時，說明不存在導頻污染；當βi=1時，說明導頻污染最嚴重。

利用參考文獻[12-14]指數相關模型得到上述的協方差矩陣，主要考慮兩個小區導頻污染i=1,2。利用下面的參數可計算出協方差矩陣Rt、Rr、∑t和∑r：

圖1描述的是MSE與多項式階數L之間的關系。β=0表示不存在導頻污染，只考慮噪聲受限的情況；β=0.1(仿真中β1=β2=β)表示2個干擾小區的干擾信道強度比實際信道強度弱10 dB。仿真中假設的信道強度為γ=5 dB。可以看出，隨著多項式階數 L增加，Taylor-MMSE和Kapteyn-MMSE都呈下降趨勢，隨著階數的增加，越接近MMSE估計的MSE，同時還可以看到Kapteyn-MMSE的下降速度明顯比Taylor-MMSE下降速度快，這說明Kapteyn級數展開收斂性比Taylor級數展開收斂性好。另外對比β=0,β=0.1兩種情況，說明導頻污染環境的估計性能略差于無導頻污染環境。

圖1 在不同場景下3種不同估計方法的MSE與多項式階數的關系

圖2描述的是在固定階數L=10條件下，不同的估計方法隨著SNR的不同，在有無導頻污染情況下的性能。可以看出，在無導頻污染也即β=0時，MMSE算法估計的MSE隨著SNR增加而逐漸趨于0；然而當β=0.1時，MMSE算法估計的MSE隨著SNR增加會趨于平穩。然而對于Taylor-MMSE和Kapteyn-MMSE估計的MSE不管是否存在導頻污染時，其MSE隨著SNR增加趨于平穩，同時圖2表明導頻污染對Taylor-MMSE估計和Kapteyn-MMSE估計影響較小。

5 結束語

大規模MIMO技術能夠很好地提高無線通信系統的能量使用效率和頻譜效率。能否快速準確地獲取信道狀態信息CSI是應用大規模MIMO技術的一個關鍵技術難題。由于經典的Bayesian MMSE進行信道估計對于大規模MIMO來說是不適用的，復雜度太高，所以先使用Taylor級數展開多項式來近似求出MMSE中的協方差逆矩陣，隨著展開階數L的增加，Taylor-MMSE估計的MSE會逐漸收斂于MMSE估計的MSE。為了增加Taylor-MMSE的收斂性，提出了通過Kapteyn級數多項式級數進行展開，可以看出Kayteyn-MMSE估計的收斂性要好于Taylor-MMSE估計，不足的是Kayteyn-MMSE的復雜度要路高于Taylor-MMSE，但其復雜度還是遠遠小于傳統的MMSE估計。

圖2 在不同場景下3種估計方法的MSE與SNR之間的關系

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王兵（1991-），男，東南大學信息科學與工程學院碩士生，主要研究方向為MIMO技術和短距離無線通信。

李正權（1976-），男，博士，東南大學移動通信國家重點實驗室教授，主要研究方向為MIMO技術、空時編碼和協作通信。

燕鋒（1983-），男，博士，東南大學副研究員，主要研究方向為無線傳感器網絡、異構網絡等。

沈連豐（1952-），男，東南大學教授、博士生導師，主要研究方向為寬帶移動通信、短距離無線通信和泛在網絡等。

Low-complexity channel estimation in massive MIMO based on Kaptyn series expansion

WANG Bing1,LI Zhengquan1,2,YAN Feng1,SHEN Lianfeng1
1.School of Information Engineering,Southeast University,Nanjing 210096,China 2.State Key Laboratory of Networking and Switching Technology,Beijing University of Posts and Telecommunications,Beijing 100876,China

In order to reduce the complexity of the massive MIMO channel estimation,a channel estimation method based on Kapteyn series expansion was proposed.By using Taylor series to expand the inversion,the complexity was greatly reduced.In order to improve the Taylor-MMSE estimation of the convergence rate,Kapteyn series was used to expand covariance matrix.The simulation result shows that the mean square error of Kapteyn-MMSE estimation converges faster than Taylor-MSME.It is insufficient that the complexity of Kapteyn-MMSE slightly higher than the complexity of Taylor-MMSE,but still far less than the complexity of classical MMSE algorithm.

channel estimation,Taylor series,Kapteyn series,polynomial expansion

TN911

A

10.11959/j.issn.1000-0801.2016324

2016-11-10；

2016-12-15

國家自然科學基金資助項目（No.61571108，No.61471164）；東南大學移動通信國家重點實驗室自主研究基金資助項目（No.2016B02）；網絡與交換技術國家重點實驗室（北京郵電大學）開放課題基金資助項目（No.SKLNST-2016-2-14）

Foundation Items:The National Natural Science Foundation of China (No.65171108),The Research Fund of National Mobile Communications Research Laboratory Southeast University (No.2016B02),Open Foundation of State Key Laboratory of Networking and Switching Technology (Beijing University of Posts and Telecommunications)(No.SKLNST-2016-2-14)