幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

張艷華

幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

張艷華

幾何畫板軟件在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的作用日益彰顯。著重探討了如何在課堂教學(xué)中利用幾何畫板軟件的特點(diǎn)，有效提高課堂教學(xué)的效率。

幾何畫板；數(shù)學(xué)教學(xué)；變式訓(xùn)練

幾何畫板作為一個(gè)實(shí)用的數(shù)學(xué)軟件，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中越來(lái)越受到教師的青睞。近十年，在利用幾何畫板進(jìn)行初中數(shù)學(xué)教學(xué)的探索和實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)幾何畫板對(duì)初中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)以及學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性日益彰顯。本文主要探討如何在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有效地使用幾何畫板。

一、利用幾何畫板揭示數(shù)學(xué)概念形成的過(guò)程

通常，數(shù)學(xué)概念的形成都是一個(gè)比較抽象的過(guò)程，而讓學(xué)生機(jī)械地記憶和學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)概念并不能有效地揭示其形成的抽象過(guò)程，這也是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念認(rèn)識(shí)表面化問(wèn)題存在的根源。學(xué)生不能深刻認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，對(duì)他們接下來(lái)的學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生很多不利的影響。幾何畫板最大的優(yōu)點(diǎn)就是能夠化抽象為具體、變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，將概念形成的抽象過(guò)程更直觀、生動(dòng)、具體地展現(xiàn)出來(lái)，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)特征的理解。

例如，在教學(xué)《反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)》時(shí)，筆者用幾何畫板出示如下問(wèn)題情境。

王伯伯想在自己家的菜園子里種6 m2的白菜，準(zhǔn)備將寬定為1 m，則長(zhǎng)定為6 m?？墒峭醪牟藞@子沒(méi)有6 m長(zhǎng)，他想了想：那就將寬加長(zhǎng)1 m變?yōu)? m，長(zhǎng)縮短1 m變?yōu)? m，可這樣一來(lái)，菜地的面積就是l0 m2了；那就將寬加長(zhǎng)2 m變?yōu)? m，長(zhǎng)縮短2 m變?yōu)? m，菜地的面積就是12 m2了。可王伯伯想：若寬加長(zhǎng)5 m，長(zhǎng)縮短5 m，菜地的面積是6×1=6m2，這是正確的啊！那上面的做法到底是為什么不合適呢？同學(xué)們幫王伯伯想想。

筆者讓學(xué)生根據(jù)題意，列出菜園的長(zhǎng)與寬的關(guān)系式，利用問(wèn)題情境中一對(duì)對(duì)數(shù)引導(dǎo)學(xué)生取點(diǎn)，那么通過(guò)描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖像的引入，便順理成章了。

二、利用幾何畫板揭示數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系

在對(duì)單一數(shù)學(xué)概念和定理理解后，幾何畫板還可以幫助學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到各數(shù)學(xué)概念和定理之間的聯(lián)系。初中數(shù)學(xué)中涉及的概念，多數(shù)都存在一定的聯(lián)系，借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示功能能夠更好地揭示數(shù)學(xué)概念之間存在的聯(lián)系以及演變中彼此之間存在的差別，這有助于提高學(xué)生的認(rèn)知水平，增強(qiáng)學(xué)生的理解能力。如在對(duì)圓的切線和割線之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)上，數(shù)學(xué)教師借助幾何畫板中的動(dòng)態(tài)演示功能，就能讓學(xué)生很直觀地認(rèn)識(shí)到二者之間的聯(lián)系和區(qū)別。同樣，數(shù)學(xué)教師借助幾何畫板中的動(dòng)態(tài)演示功能也可以將相關(guān)定理的演變過(guò)程更直觀地揭示出來(lái)，如在等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的認(rèn)識(shí)上，借助幾何畫板中的“移動(dòng)”功能，不僅能夠豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，還有益于學(xué)生更深刻地理解“三線合一”性質(zhì)的由來(lái)。再如勾股定理的證明辦法。比較常用的勾股定理的證明方法主要有趙爽弦圖法、總統(tǒng)證法以及畢達(dá)哥拉斯證法，借助幾何畫板中的“度量→面積”功能就能直接計(jì)算出以直角三角形作為邊長(zhǎng)所做的正方形的面積之間特殊的數(shù)量關(guān)系，還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究(如圖1所示)。

圖1

圖1中的三角形都是全等的等腰三角形，任選一個(gè)三角形的三邊作為邊長(zhǎng)，分別作正方形A，B，C的面積存在著一定的數(shù)量關(guān)系，即SA+SB=SC，由此再考慮等腰直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，很容易得出：等腰直角三角形兩條角邊的平方和等于斜邊的平方。

三、利用幾何畫板幫助學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”理解函數(shù)的圖像與性質(zhì)

在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)借助幾何畫板的強(qiáng)大功能輔助演示，幫助學(xué)生體驗(yàn) “數(shù)形結(jié)合”，理解函數(shù)的圖象與性質(zhì)，提高課堂教學(xué)效果。利用幾何畫板演示一次函數(shù)的圖形，比傳統(tǒng)方法更為快捷、精準(zhǔn)。這里以“畫一次函數(shù)y=2x-1的圖象”為例(如圖2所示)。

圖2

觀察圖象發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)y=2x-1是一條直線，再借助幾何畫板上的描點(diǎn)工具，再用“數(shù)據(jù)一計(jì)算”功能，就能算出它們的橫、縱坐標(biāo)。學(xué)生觀察完直觀畫面后，數(shù)學(xué)教師繼續(xù)提出相關(guān)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)而營(yíng)造出良好的探索問(wèn)題的氛圍。幾何畫板應(yīng)用于代數(shù)教學(xué)中，不但節(jié)省了畫圖時(shí)間，還使學(xué)生有充分的時(shí)間進(jìn)行自主探究，大大提高了教學(xué)效果。

四、利用幾何畫板的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室功能創(chuàng)設(shè)做數(shù)學(xué)的環(huán)境

北京大學(xué)附屬中學(xué)王鵬遠(yuǎn)老師說(shuō)“幾何畫板為我們創(chuàng)設(shè)了個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，提供了一個(gè)理想的做數(shù)學(xué)的環(huán)境。學(xué)生可以從‘聽’數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變到‘做’數(shù)學(xué)，即以研究者的方式，參與包括發(fā)現(xiàn)、探索獲得知識(shí)的全過(guò)程”。

例如：在八年級(jí)勾股定理的教學(xué)過(guò)程中，筆者利用幾何畫板的優(yōu)勢(shì)安排了以下環(huán)節(jié)。

(1)給學(xué)生講述數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系的故事．并出示圖片(如圖3所示)。引導(dǎo)學(xué)生觀察，看其能不能發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系．通過(guò)課件動(dòng)畫演示，以問(wèn)題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考：“圖中3個(gè)正方形的面積有什么關(guān)系？如果3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別用a，b，c表示，那么面積關(guān)系可以表示成什么？通過(guò)面積關(guān)系你能猜想等腰直角三角形三邊存在的數(shù)量關(guān)系嗎？”學(xué)生不難猜出在等腰直角三角形ABC中，若∠C=900，則有a2+a2=c2?！笆遣皇且话愕闹苯侨切我泊嬖谶@種關(guān)系呢？”為了讓學(xué)生更加直觀地感受上面的猜想。受小學(xué)時(shí)做同底等高的圓錐和圓柱體積關(guān)系實(shí)驗(yàn)的啟發(fā)，可設(shè)計(jì)這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)(如圖4所示)。

圖3

圖4 實(shí)驗(yàn)用的教具

制作方法：在一個(gè)直角三角形外側(cè)粘貼3個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的底面是分別以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的正方形，且3個(gè)長(zhǎng)方體的高度相等.兩個(gè)小長(zhǎng)方體和大長(zhǎng)方體之間是相通的，并且各有一個(gè)控制閥門，每個(gè)長(zhǎng)方體上都有注射孔。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程：課前指導(dǎo)學(xué)生在2個(gè)小長(zhǎng)方體內(nèi)注滿紅色液體，演示時(shí)，打開閥門讓2個(gè)小長(zhǎng)方體內(nèi)的液體同時(shí)流入大長(zhǎng)方體。因?yàn)閷?shí)驗(yàn)過(guò)程較長(zhǎng)，教師可以向大家展示一下模擬實(shí)驗(yàn)。

觀察猜想：學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小長(zhǎng)方體的液體流完后，大長(zhǎng)方體內(nèi)的液體正好注滿，所以不難得出2個(gè)小長(zhǎng)方體的體積之和等于大長(zhǎng)方體的體積，因?yàn)榈雀咚跃娃D(zhuǎn)化為2個(gè)小長(zhǎng)方體的底面積的和等于大長(zhǎng)方體的底面積，繼續(xù)鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，直角三角形三邊之間的關(guān)系：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

(2)在直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，類比探討等腰直角三角形三邊關(guān)系的方法，把實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ头旁诰W(wǎng)格中，仍用面積法進(jìn)行驗(yàn)證。在此，教師引導(dǎo)學(xué)生形成“割”“補(bǔ)”的求解思路，同時(shí)教師配以多媒體動(dòng)畫演示(幾何畫板)對(duì)比探究。

(3)引導(dǎo)學(xué)生利用手中的卡紙，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，采取“組內(nèi)合作、組間競(jìng)爭(zhēng)”的方式，動(dòng)手拼圖，并借助拼成的圖形利用面積關(guān)系進(jìn)行證明。

(4)在前面探究活動(dòng)的基礎(chǔ)上，學(xué)生不難得出直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系，即勾股定理：在Rt△ABC中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

五、利用幾何畫板進(jìn)行變式題訓(xùn)練

所謂數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式以及問(wèn)題從不同的角度、不同的層次、根據(jù)不同的情形、不同的背景做相應(yīng)的變化，使其表現(xiàn)形式發(fā)生變化，但本質(zhì)特征卻不變。利用變式訓(xùn)練可以把一個(gè)個(gè)看似孤立的問(wèn)題從不同的角度向外擴(kuò)散，形成一個(gè)有規(guī)律可循的系列，幫助學(xué)生在問(wèn)題的解答過(guò)程中尋找解決類似問(wèn)題的思路和方法，實(shí)現(xiàn)教學(xué)上的減負(fù)與增效。如圖5至圖7所示的一組變式訓(xùn)練。

圖5

圖6

圖7

例1，如圖5所示，已知D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。

變式1，利用幾何畫板將 D點(diǎn)拉到△ABC外(如圖6所示)，其他條件不變，結(jié)論是否還成立?

利用幾何畫板將D點(diǎn)拉到AC另一側(cè)(如圖7所示)，其他條件不變，結(jié)論是否還成立?

拖動(dòng)四邊形ABCD的各頂點(diǎn)改變四邊形的形狀，E，F(xiàn)，G，H仍分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，四邊形EFGH是什么圖形?

歸納可得：順次聯(lián)結(jié)(任意四邊形)各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是 (平行四邊形)，并口述證明該命題。

變式2，若上題中的任意四邊形換成矩形、等腰梯形等特殊的四邊形，那么所得到的四邊形也會(huì)特殊嗎?(觀察、猜想、證明)

順次聯(lián)結(jié)(矩形)各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是______。

順次聯(lián)結(jié) (等腰梯形)各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是_____。從中可以總結(jié)出什么結(jié)論嗎?思考的關(guān)鍵是什么?在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，提出以下問(wèn)題。

變式3，填空。

(1)順次聯(lián)結(jié)_____四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。

(2)順次聯(lián)結(jié)_____四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形。

(3)順次聯(lián)結(jié)_____四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形。

這樣一組變式訓(xùn)練從圖5到圖7，只要用幾何畫板做個(gè)簡(jiǎn)單的拖動(dòng)動(dòng)作，難點(diǎn)就迎刃而解了，同時(shí)還給學(xué)生留下了豐富的想象空間。

六、結(jié)束語(yǔ)

雖然幾何畫板在數(shù)學(xué)的教學(xué)中具有強(qiáng)大的功能和無(wú)可替代的作用，但它同時(shí)也存在與音頻、視頻、動(dòng)畫兼容性差和插入圖片會(huì)使文件變大、影響軟件運(yùn)行速度等問(wèn)題。所以，在課堂教學(xué)中多數(shù)教師會(huì)選擇幾何畫板同PPT演示文稿或Flash相結(jié)合使用的方法，使課堂教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果。

[1] 趙生初,杜薇薇,盧秀敏.《幾何畫板》在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與探索[J].中國(guó)電化教育,2012(3):104-107.

[2] 劉培山.試分析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何畫板的教學(xué)[J].教育教學(xué)論壇,2015(29):279-280.

[3] 程瑞云.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用幾何畫板的探索[J].中國(guó)現(xiàn)代教育裝備,2016(12):11-12.

張艷華，本科，一級(jí)教師。河北省唐山市樂(lè)亭縣第三初級(jí)中學(xué)，063699