初中數學分類討論思想在解題中的應用探討

◆侯清樂

(山東省東營市勝利第五十八中學)

初中數學分類討論思想在解題中的應用探討

◆侯清樂

(山東省東營市勝利第五十八中學)

數學教學作為整個教學中最重要的組成部分，其主要就是提高學生的思考能力，培養學生的創新能力。而將分類討論思想應用在解題中，其不僅以利于學生深入理解數學知識之間的內在規律性，還有利于激發學生的學習興趣。基于此，對初中數學分類討論思想在解題中的應用進行了深度的研究，以便給我國初中數學教師提供更多的參考資料。

初中數學教學 分類討論思想 原則

分類討論思想其實就是一種重要的教學思想，也是一種重要的解題策略，因其不僅可以體現了化整為零，積零為整的思想與歸類整理的方法，同時也揭示著數學對象之間的內在規律，以便讓學生更好的掌握文化知識。將分類討論思想有效的應用在解題當中，可以更好的提升我國初中化學教學教學效率。

一、初中數學中分類討論思想的應用應該遵循的原則

1.互斥性與多層性原則

互斥性原則其實就是指在分類之后，各子項應相互排斥，不能夠促使其中的部分事物同屬于一個子項。用一個簡單例子來說明：譬如，一個班學生參加快跑與籃球比賽的學生一共有8個人，其中參加快跑比賽有5人，而籃球比賽有5人，這些都是由于兩人兩項比賽都有參加，若將著8人分類為參加快跑與籃球比賽兩類，其主要存在邏輯性錯誤。除此之外，在進行初中數學解題的過程中，分類討論又一次與多次分類討論之分，所以將討論的對象分作兩個層次性的相互矛盾的概念，以便于更好的將枯燥無味的數學知識展示給學生，從而將數學知識逐層。

2.同一性與相稱性原則

要想把分類討論思想有效的運用到初中數學解題當中，教師應該做到以下幾步：第一步，要確定分類討論的對象，從而進行分類，并且分類的過程中一定要做到，主次清晰，不疊加，不遺漏。譬如，在對三角形進行分類的過程中，教師可以將三角形分成等腰三角形、銳角、直角三角形以及鈍角三角形等等。值的注意的一點就是分類要相稱，換句話說其實就是在分類之后，分類子項的并集要與母項的子集相稱。

二、探討分類討論思想在初中數學教學中的應用

1.分類討論思想在應用題中的運用

譬如，某家具廠主要生產桌子和椅子，桌子的市場定價大概為每張200元，而椅子的市場定價為40元，廠家為了能夠提升這月的銷售額，給廣大消費者提供了兩種購買方案，其一方案：買一張桌子送一張椅子。其二方案：桌子和椅子均按照定位的90%付款，但是兩種優惠方案不能同時使用。如果某家具店老板打算購買20張桌子和椅子若把，請給家具店老板制定出一個非常劃算的購買方案。

分析：由于題中沒有直接的給出家具店老板要購買椅子的數量，所以，在制定方案時難免會有些麻煩。解題方式如下：

解：設家具店老板需要購買的椅子為x張，則有兩種方案分別是：第一種方案，200×20+x-20)x40=3200+40x(元)，第二種方案，(200x20+40x)x90%=3600+36x(元)設y=(3200+40x)-(3600+36x)=4x-400(元)而當y>0時，4x-400>0，x>100，由此可看，兩種購買方案中，第二種方案比較適合。如果當y=0時，4x-400=0，x=100則兩種購買方案均可以使用。而如果當y<0時，4x-400<0,20

2.分類討論思想在三角形問題中的應用

眾所周知，初中數學教學中的三角形問題中，經常運用到分類討論的思想，因可以讓學生更好的掌握數學知識，以便于更好的提升數學課堂教學效率。譬如，在已知兩邊長且圖形為等腰三角形，求該三角形面積為周長。在此條件下，并不明確已知條件下，不知道那條底為邊長，那條為腰，這時就需要進行分類討論，方可盡快找到答案，抓住題中的關鍵因素，如例題：已知3cm與4cm分別為直角三角形的兩邊長，求直角三角形的第三邊長。解此題，需要把分類討論思想有效的應用在教學中，把分為4cm為斜邊長或者一直角邊長這兩種情況，從而分別求出第三邊長為7cm,或5cm。

3.分類討論思想在函數問題中的實際應用

譬如，已知關于x的函數y=ax2+x+1(a為常數)若函數的圖像與x軸恰好有一個交點，求a的值是多少？

分析：當此函數為一次函數時，a=0，求得與x軸交點為(-1,0)而如果當此函數為二次函數時，a不能等于0，即a=0.25時，有一個交點為(-2，0)

綜合以上分類，a=0,或者a=0.25。在面對此題時，教師一定要讓學生知道考核點是根據一次函數與二次函數的變換而確定存在的分類討論必要。因由于函數中x2前的變量a不定，換句話就是a有可能就是任何一個數字，因此，要首先對a的取值進行分類討論，其實就是a=0時的討論方案與a不能等于0時的討論方案。然后，要引導學生要找準a的取值范圍后，繼而讓學生快速進入到函數的變換中，由此可以得出，當a=0時，函數為一次函數，當a不等于0時，函數即為二次函數。從上述解題可以看出，將分類討論思想有效的應用在函數解題當中，其不僅可以讓解題內容更加簡單，也可以促使學生能夠更快的熟悉一次函數與二次函數的區別，最終在腦中有一個簡單的架構，從中得出相應的解題方案。

4.分類討論思想在不等式問題中的實際應用

就目前的發展趨勢來看，分類討論思想在初中數學教學中得到了廣泛的應用，其在不等式問題中應用最為廣泛。譬如，在八年級一例題中，解不等式(h-1)x>h2-1，若不加區分，得出x>h+1就錯了。因為k-1的值可以是h-1>0,h-1=0,由此可以得出，分類情況不同時，討論的結果也就不相同。解題過程如下：

解析：當h-1>0,即為h>1時，則x>h+1.如果當h-1=0時就是h=1時，則原不等式無解。而如果當h-1<0時，其h<1時，由此可以推斷出x1時，x

5.分類討論思想在圓中的應用

圓是初中數學教學最重要的教學內容，其主要包括圓的對稱性，圓與直線，等等。而在圓的對稱性及位置關系的解題過程中，分類討論思想成為了主要的解題思想。其不僅可以讓學生更加明白題目中的變量及圖形與圖形之間的距離，而且還可以讓學生在解題的過程中更加清楚知道應該采取何種解題方法進行解題，更可以促使解題結果更加準確。譬如假設半徑分別為6和4的兩圓相切，求兩圓之間的圓心距是多少？從題中可以分析出：如果兩圓為外切，則兩圓之間的圓心距就是10，而如果兩圓為內切，則兩圓之間的圓心距就是2。所以，兩圓之間的圓心距為10和2.從上述解題可以看出，分類討論思想確實應該在教學中得到廣泛的應用，以便于更好的提高學生的學習效率。

三、結束語

綜上所述，將分類討論思想應用在初中數學教學中即是新課程理念的要求，也是學生發展的需要。所以，在進行數學教學的過程中，教師一定要根據實際的教學內容有效的將分類討論思想應用在不等式、圓以及函數的解題中，以便于讓學生更好的進行解題，從而提高學生的學習效率，促進初中數學教學效率得以提升。總地來說，分類討論思想不僅是一種深化的數學思維方式，也是一種對數學的認知能力。

[1]劉江華.分類討論思想在高一數學教學中逐步滲透的實踐探究[D].河北師范大學，2013.

[2]李學.分類討論思想在初中數學教學中的應用與實踐[J].散文百家，2015，(05)：64+85.

[3]袁紹建.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J].數學學習與研究，2015，(24)：136-137.