對于函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法的進一步討論

侯曉磊，張 璐

(山西工商學院，太原 030006)

對于函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法的進一步討論

侯曉磊，張 璐

(山西工商學院，太原 030006)

函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性對于求極限、導數(shù)等都有重要的意義，為了更好地理解和掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法，對函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾種判別法進行了分析、歸納和總結。首先引言部分列舉了大家熟知的幾種基本判別法，然后對基本判別法作了進一步討論。

函數(shù)項級數(shù)；一致收斂；判別法

1 幾種判別法

對于函數(shù)項級數(shù)，研究函數(shù)的解析性至關重要，函數(shù)項級數(shù)必須具有一致收斂性，可判斷函數(shù)項的一致收斂性往往是比較困難的，為了更好地理解判別函數(shù)項級數(shù)的各種方法，我們先回顧一下我們熟知的幾種函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法。

定義1[1]設{Sn}是函數(shù)項級數(shù)∑an(x)的部分和函數(shù)列，若{Sn(x)}在數(shù)集I上一致收斂于S(x)。

毫無疑問，定義能夠判別一個函數(shù)項級數(shù)是否收斂，但是如果較難得到函數(shù)項級數(shù)的部分和，我們就應該針對不同類型的函數(shù)項級數(shù)應用不同的判別方法，下面是除了定義以外還被我們熟知的幾種基本判別法。

定理1 (一致收斂的柯西準則)[1]函數(shù)項級數(shù)∑an(x)在數(shù)集I上一致收斂的充要條件為：對任給的正數(shù)ε，總存在某自然數(shù)N，使得當n>N時對一切x∈I和一切自然數(shù)都有

|Sn+p(x)-Sn(x)|<ε。

定理2 (維爾斯特拉斯判別法)[2]設函數(shù)項級數(shù)∑an(x)定義在數(shù)集I上，∑Mn為收斂的正項級數(shù)，若對一切x∈I，有|an(x)|≤Mn，n=1，2…則函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集I上一致收斂了。

這種方法對于判別正項函數(shù)項級數(shù)來說很方便，下面要介紹的兩種方法對于項數(shù)是乘積形式的函數(shù)項級數(shù)來說很適合，并且兩種方法能夠相互推導。

定理3 (阿貝爾判別法)[1]設：1)，∑an(x)在區(qū)間I上一致收斂；2)，對于每一個x∈I,{bn(x)}是單調(diào)的；3)，{bn(x)}在I上一致有界，即對一切x∈I和自然數(shù)n，存在正數(shù)M，使得{bn(x)}

在很多情況下，我們很容易證明某個函數(shù)項級數(shù)收斂，但是如何由收斂得出一致收斂呢，下面這個定理給出了一種由收斂推出一致收斂的方法。

定理5 (Dini定理)[3]若1)每個an(x)均在[a,b]上連續(xù)且非負；2)∑an(x)在[a,b]上收斂于連續(xù)函數(shù)S(x)，則∑an(x)在[a,b]上一致收斂于S(x)。

要解決實際問題，僅有上面的幾種方法遠遠不夠，因此我們需要進一步探究函數(shù)一致性收斂的其他的方法。

2 對函數(shù)項級數(shù)一致收斂基本方法的進一步討論

在正向級數(shù)中我們能用比式判別法和根式判別法對函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性進行判別，那么在函數(shù)項級數(shù)中是否也有類似的定理呢？下面我們就進一步討論函數(shù)項級數(shù)一致收斂的基本方法。

這個定理為一致有界推出一致收斂提供了重要依據(jù)。

證明：因為un(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，un(x)在[a,b]上收斂于連續(xù)函數(shù)u(x)=0；對?x∈[a,b]，un(x)單調(diào)，所以由狄尼定理知un(x)在[a,b]上一致收斂于u(x)=0。

以上結論都是針對于一般的函數(shù)項級數(shù)都有的性質(zhì)，若∑un(x)是定義在數(shù)集D上的正項級數(shù)，那么我們有以下的一些結論。

3 結語

以上方法解決了判斷一個函數(shù)項級數(shù)是否一致收斂的問題，需要指出的是判斷一個函數(shù)項級數(shù)是否收斂的方法往往不是唯一的，深刻理解每種方法的優(yōu)點有利于我們更快更好地判斷一個函數(shù)項級數(shù)是否收斂，在這些方法中，柯西準則判別法和魏爾斯特拉斯判別法是較為實用和方便的一致收斂判別法，一般要優(yōu)先考慮使用，這也是我們學習函數(shù)項級數(shù)必備的知識。

[1] 張亦霄,田黃佳.正項函數(shù)項級數(shù)一致收斂的Raabe型判別法的推廣[J].大學數(shù)學，2015(6)：61-66.

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[3] 王振乾,彭建奎,王立萍.關于函數(shù)項級數(shù)一致收斂性判定的討論[J].甘肅聯(lián)合大學學報：自然科學版，2010(4)：111-113.

[4] 黃弋釗.關于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性再探[J].數(shù)學學習與研究，2016(15)：145.

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[6] 金瑋,侯象乾,馬澤玲.(0,p(D))三角插值多項式對函數(shù)及其導數(shù)的同時逼近[J].華中師范大學學報:自然科學版,2004,38(3):276-279.

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[8] 華中師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].武漢:華中師范大學出版社，2001:260-307.

[9] 吉林大學數(shù)學系.數(shù)學分析(中冊)[M].北京:人民教育出版社，1978:118-127.

[10] 黃石生.Dini定理在級數(shù)收斂中的應用[J].高等數(shù)學研究，2005，8(3)：29-30.

[11] 陳傳璋.數(shù)學分析下冊[M].北京：高等教育出版社，1984.

A Further Discussion on the Uniform Convergent Discrimination Method for Series Function

HOU Xiao-lei，et al.

(ShanxiTechnologyandBusinessCollege，Taiyuan030006，China)

The uniform convergence of series function is very important for the finding of limits and derivatives.In order to better understand and grasp the uniform convergence of series function，this article has made analysis，induction and summary to several discrimination methods on uniform convergence of series function.First，some well-known examples on basic discrimination have been listed in the introduction part，and then a further discussion has been made on these basic discrimination methods.

series function;uniform convergence;discrimination method

10.3969/j.issn.1009-8984.2016.04.032

2016-11-02

侯曉磊(1987-)，女(漢)，山西呂梁，助教，碩士 主要研究基礎數(shù)學。

O174

A

1009-8984(2016)04-0125-04