雙曲線中的數(shù)學(xué)思想

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雙曲線中的數(shù)學(xué)思想

□周奕生

數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)中無處不在，許多數(shù)學(xué)問題的解決離不開數(shù)學(xué)思想.

一、數(shù)形結(jié)合思想

例1點(diǎn)（a-1，y1）、（a＋1，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，若y1＜y2，則a的范圍是.

解析：顯然a-1＜a＋1，所以點(diǎn)（a-1，y1）在點(diǎn)（a＋1，y2）的左側(cè).

若兩個點(diǎn)同在第一象限或同在第三象限，都有點(diǎn)y1＞y2，所以當(dāng)y1＜y2時，只能是點(diǎn)（a-1，y1）在第三象限，點(diǎn)（a＋1，y2）在第一象限，故a-1＜0，且a＋1＞0，解得-1＜a＜1.

圖1

點(diǎn)評：數(shù)形結(jié)合思想的最大優(yōu)點(diǎn)是利用數(shù)的抽象性和圖形的直觀性，函數(shù)本身就是數(shù)形結(jié)合的最大平臺.

二、方程思想

例2如圖2，已知點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)y＝（a＞0）的圖象上，點(diǎn)B、D在反比例函數(shù)y＝（b＜0）的圖象上，AB∥CD∥x軸，AB、CD在x軸的兩側(cè)，AB＝3，CD＝2，AB與CD的距離為5，則a-b的值是.

圖2

解析：通過點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)建立a、b的關(guān)系式后再求解.

由已知，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)取決于其中一點(diǎn)的坐標(biāo)，不妨設(shè)C（1，a），

則由CD∥x軸，CD＝2，得點(diǎn)D（-1，a）.

由AB∥CD∥x軸，AB與CD的距離為5，得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y＝a-5.

由AB∥x軸，AB＝3，

把①代入②，

整理，得-a＝a＋3（a-5），

解之，得a＝3，

所以b＝-3.

故a-b＝6.

點(diǎn)評：在等量關(guān)系下，如果幾個變量的大小相互制約，運(yùn)用方程思想是解決問題的最佳方法.

三、分類討論思想

例3如圖3，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是函數(shù)y＝（x＜0）圖象上一點(diǎn)，AO的延長線交函數(shù)y＝（x＞0，k是不等于0的常數(shù)）的圖象于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A′，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C′，連接CC′，交x軸于點(diǎn)B，連結(jié)AB、AA′、A′C′，若△ABC的面積等于6，則由線段AC、CC′、C′A′、A′A所圍成的圖形的面積等于（）.

圖3

A.8B.10

C.3D.4

解析：由對稱性及圖形的直觀性，易知線段AC、CC′、C′A′、A′A所圍成的圖形的面積等于△OAA′的面積＋△OCC′的面積＝2△OAD的面積＋2△OBC的面積（D為AA′與y軸的交點(diǎn)，B為CC′與x軸的交點(diǎn)）.

因?yàn)辄c(diǎn)C在y＝圖象上，

故只需要再求k2的值即可.

連接OA′，由點(diǎn)A和點(diǎn)A′關(guān)于y軸對稱可得∠AOM＝∠A′OM.又因∠AOM＋∠BOC＝90°，∠A′OM＋∠A′OB＝90°，根據(jù)等角的余角相等可得∠BOC＝∠A′OB.又因點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于x軸的對稱，所以點(diǎn)O、A′、C′三點(diǎn)在同一直線上.

因?yàn)辄c(diǎn)C在第一象限，m＜0.

當(dāng)k＜0時，

當(dāng)k＞0時，

所以k＝±3，k2＝9，

點(diǎn)評：當(dāng)問題出現(xiàn)多種不同情形時，分類討論不僅能夠杜絕漏解現(xiàn)象的發(fā)生，而且可以降低問題解決的難度.