用導數解決含參函數的最值問題

?祝燕

(作者單位： 廣東梅縣東山中學514700 )

用導數解決含參函數的最值問題

?祝燕

以函數為載體，以導數為工具，考查函數性質及導數應用為目標，是最近幾年函數與導數交匯試題的顯著特點和命題趨向。解決導數在含參函數最值問題這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想，通過不斷地轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式化、簡單的問題。解決的主要途徑是將含參數的函數的單調性弄明白。

題型一、函數含有參數，區間是確定的

(2014年安徽高考理科數學卷)設函數f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中a>0．

(I)討論f(x)在其定義域上的單調性；

∴f′(x)=-3(x-x1)(x-x2)．

當xx2時，f′(x)<0；當x10．

(II)∵a>0，∴x1<0,x2>0．

∴f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值．

當0

又f(0)=1,f(1)=a，

∴當0

當a=1時，f(x)在x=0處和x=1處同時取得最小值；

當1

題型二、函數確定，區間含有參數

已知函數f(x)=xlnx， 求f(x)在[t，t+1](t>0)上的最小值；

所以函數f(x)在[t，t+2]上遞增，所以f(x)min=f(t)=tlnt；

題型三、函數、區間都含有參數

(2013年廣東高考卷21題)設函數f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R)

(1)當k=1時，求函數f(x)的單調區間；

試題解析：(1)k=1時f(x)=(x-1)ex-x2

∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2)

當x<0時ex-2<0，故f′(x)=x(ex-2)>0,f(x)單調遞增；

0< x0，故f′(x)=x(ex-2)<0，f(x)單調遞減；

x>ln2時ex-2>0，故f′(x)=x(ex-2)>0，f(x)單調遞增；

綜上，f(x)的單調增區間為(-∞,0)和(ln2,+∞)，單調減區間為(0,ln2)．

(2)f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k)

由(1)可知f(x)的在(0，ln2k)上單調遞減，

∴k-ln2k>0即k>ln2k ∴f(x)的在(0，ln2k)上單調遞減，在(ln2k，k)上單調遞增．

∴f(x)的在[0，k]上的最大值應在端點處取得．而f(0)=-1，f(k)=(k-1)ek-2k3

∴當x=0時f(x)取最大值-1．

對于用導數解決含有參數的函數最值問題， 主要就是運用導數討論出函數的單調性，畫出函數的簡單圖像，不論是函數含有參數，還是區間含有參數，都要做到討論的不重不漏，這樣才能正確的求出函數的最值。

(作者單位： 廣東梅縣東山中學514700 )