等效思想在靜電學中的一個應用

趙 強

(西安交通大學理學院，陜西 西安 710049)

等效思想在靜電學中的一個應用

趙 強

(西安交通大學理學院，陜西 西安 710049)

本文利用均勻極化的電介質球周圍的電場與自由的余弦型球面電荷周圍的電場完全等效這一思想，證明了帶有余弦型球面電荷分布的電介質球殼發生均勻形變時，其內部的電場始終保持為方向恒定的均勻場，并進一步求出了帶電球殼內電場強度和形變之間的關系.

等效思想；余弦型球面電荷；均勻電場

有這樣一個有趣的靜電學問題：一電介質薄球殼，其表面絕緣地分布著一層余弦型面電荷σ=σ0cosθ.忽略電荷之間的庫侖力，同時也忽略電介質球殼自身的內應力，試證明當此球殼在任一方向發生均勻形變而在垂直方向保持不變的情況下，其內部的電場始終為方向恒定的均勻電場.進一步給出此電場與形變之間的關系.

由于一個均勻極化的電介質球表面的極化電荷正好也是余弦型的，因此一個均勻極化的電介質球周圍的靜電場與一帶有自由的余弦型球面電荷的電介質球殼周圍的靜電場完全等效.并且當均勻極化的電介質球在某一方向均勻發生形變后，其表面上的極化電荷的分布也和帶有余弦型面電荷的電介質球殼發生同樣的形變后其表面上的電荷分布規律完全一樣.基于上述兩個原因，我們完全可以將本文問題中的帶電的電介質球殼換成等效的均勻極化的電介質球來研究.根據E.M.珀塞爾的觀點[2]，均勻極化的電介質，如果其邊界為一橢球，其表面的極化電荷將在橢球內部產生一個與極化方向完全相反的均勻電場.至此，本文問題中的立論立刻得到了簡潔的證明.下面假設帶電球殼在被均勻拉長的前提下，分3種情況進行討論電場和形變之間的關系(均勻壓縮情況和均勻拉伸情況完全類似).

1 將球殼沿θ=0方向均勻拉長

圖1 帶有余弦型球面電荷的電介質薄球殼

圖1為本文問題中的絕緣地帶有σ=σ0cosθ面電荷的電介質薄球殼，其半徑為a.根據文獻[1]，其內部場強的大小為

(1)

若將此球殼沿θ=0方向(即z軸方向)均勻拉長到b(b為橢球半長軸長度)后，薄球殼將會變成以z軸為對稱軸的旋轉橢球.根據等效思想的觀點，可將圖1中的帶電薄球殼想像為一個極化強度大小為P0=σ0，半徑為a的均勻極化球.將想像的均勻極化球沿z軸均勻拉長到b時，由于是均勻拉長，電介質仍為均勻極化，但極化強度將變小.被拉長為橢球的電介質的極化強度的大小為

(2)

由于極化方向沿橢球的旋轉對稱軸，所以根據文獻[3]中的式(14)，橢球內的電場為

(3)

式(3)中的因子N為均勻極化介質橢球的退極化因子.由于被拉長后的橢球為“雞蛋”型，所以根據文獻[3]中的式(13)，N的表達式為

(4)

將式(1)及式(2)代入式(3)，得最后結果為

(5)

為了給大家一個直觀的印象，特將k=b/a=2、3、4、5、10時E/E0的值列于表1.

表1 沿θ=0拉長球殼時殼內電場的變化

2 將球殼沿方向均勻拉長

情況2的討論過程與情況1基本一樣.由于在情況2中 將球殼沿和殼內電場垂直方向均勻拉長的，與情況1中有所不同的是其等效的均勻極化的電介質橢球內的電場強度與極化強度的關系由文獻[3]中的式(24)給出(僅考慮數值大小)，即

(6)

將式(1)及式(2)代入式(6)，得最后結果

(7)

為了給大家一個直觀印像，將k=b/a=2、3、4、5、10時的E/E0的值列于表2.

表2 沿拉長球殼時殼內電場的變化

3 將球殼沿θ=θ0方向均勻拉長

在情況3中，先將球殼中的電場E0分解為沿θ0方向的分量E0cosθ0和垂直于θ0方向的分量E0sinθ0.當沿θ0將球殼拉成半長軸為b橢球殼時，根據情況1中的式(5)，能夠得到橢球殼中的電場E在θ0方向的分量為

(8)

同理，根據情況2中的式(7)，得到橢球殼內電場E在垂直于θ0方向的分量為

(9)

最后，橢球殼中電場E的數值為

(10)

從上述的討論可以看出，筆者之所以一開始就假設帶電球殼僅在某一方向發生形變，而在垂直方向不變，這純粹是為了討論方便.實際上帶有余弦型球面電荷的薄球殼同時沿不同的幾個方向發生均勻形變，其內部仍為方向恒定的均勻場.只不過這時橢球殼內電場的數值和形變之間的關系要復雜一些.

變化的過程，存在著不變的東西，多么不可思議的自然界啊！

[1] 鐘錫華.電磁學通論[M].北京：北京大學出版社，2014：52-54.

[2] 珀塞爾E M.電磁學.伯克利物理教程第二卷[M].南開大學物理系，譯.北京：科學出版社，1979：406.

[3] 趙強，曲哲.均勻電場中的橢球形導體[J].物理與工程，2016，26(1)：23-25.

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AN APPLICATION OF EQUIVALENT THOUGHT IN ELECTROSTATICS

Zhao Qiang

(College of Science, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, Shaanxi 710049)

In this paper, by using the thought that the electric field around the uniform polarized dielectric ball is completely equivalent to the field around the cosine type spherical charge, we proved a strange phenomenon, which is the internal electric field of a dielectric spherical shell always maintained a homogeneous field with constant direction when the uniform deformation occurred on the dielectric spherical shell with cosine type spherical charge distribution. Then we further calculated the relationship between electric field intensity and the deformation.

equivalent thought; cosine type spherical charge; uniform electric field

2016-02-02

趙強. 等效思想在靜電學中的一個應用[J]. 物理與工程，2016，26(5)：16-17.