電阻抗成像正則化算法的優(yōu)化

李冬曄，康 彬

(1．南京郵電大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210003；2．南京郵電大學(xué) 信號(hào)處理與傳輸研究院，江蘇 南京 210003)

電阻抗成像正則化算法的優(yōu)化

李冬曄1，康 彬2

(1．南京郵電大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210003；2．南京郵電大學(xué) 信號(hào)處理與傳輸研究院，江蘇 南京 210003)

電阻抗成像技術(shù)是一種以人體內(nèi)部電導(dǎo)率分布為成像目標(biāo)的醫(yī)學(xué)成像技術(shù)。該技術(shù)具有非入侵、無(wú)損傷、實(shí)時(shí)成像、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、設(shè)備價(jià)格較低等優(yōu)點(diǎn)。但其成像反問(wèn)題的求解中存在嚴(yán)重的不適定性,和主流醫(yī)學(xué)成像技術(shù)相比，其成像分辨率不高。針對(duì)電阻抗成像中傳統(tǒng)Tikhonov正則化分辨率低及邊界模糊的問(wèn)題，文中將歸一化測(cè)量電壓的總變差作為正則化函數(shù)，根據(jù)電阻抗圖像中非均勻的電導(dǎo)率具有稀疏性的特點(diǎn)，提出一種新穎的電阻抗成像的正則化優(yōu)化算法。電導(dǎo)率分布的求解是通過(guò)兩步迭代閾值算法(TwIST)完成。通過(guò)對(duì)模擬域的不同部位及域內(nèi)數(shù)量不等的成像目標(biāo)進(jìn)行仿真，測(cè)試了該算法的性能。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明，所研究的正則化優(yōu)化算法適用于生物醫(yī)學(xué)成像應(yīng)用，它可顯著改善成像質(zhì)量和邊界分辨率。

電阻抗成像；正則化；反問(wèn)題；兩步迭代閾值算法

0 引 言

電阻抗成像技術(shù)(Electrical Impedance Tomography，EIT)是一種以人體內(nèi)部電導(dǎo)率分布為成像目標(biāo)的醫(yī)學(xué)成像技術(shù)[1-2]。通過(guò)附著在皮膚表面的電極將較小的安全交流電流注入人體，并測(cè)量電極上的對(duì)應(yīng)電壓，利用相應(yīng)的算法得到人體內(nèi)部電阻率的分布。EIT技術(shù)能在病理變化的初期和恢復(fù)期檢測(cè)到身體組織的阻抗分布變化，這有助于提早發(fā)現(xiàn)疾病，且對(duì)人體無(wú)害，可反復(fù)使用。但和主流醫(yī)學(xué)成像技術(shù)相比,電阻抗成像技術(shù)的圖像分辨率較低[3-4]。

理論分析和實(shí)踐計(jì)算表明,EIT圖像重建問(wèn)題是一個(gè)非線性病態(tài)問(wèn)題，解存在嚴(yán)重不穩(wěn)定性(微小誤差即能引發(fā)解的大幅波動(dòng))[5]。為了解決此病態(tài)性問(wèn)題，在EIT圖像重構(gòu)中要采用正則化算法來(lái)改善其病態(tài)性，以得到穩(wěn)定的解。目前廣泛使用的是Tikhonov正則化算法，該算法通過(guò)構(gòu)造2范數(shù)形式的正則函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像重構(gòu)，其作用機(jī)理相當(dāng)于空間濾波器[6]，通過(guò)對(duì)所重構(gòu)的圖像進(jìn)行一定程度的平滑而使重構(gòu)過(guò)程趨于穩(wěn)定。此方法的不足在于圖像重構(gòu)過(guò)程會(huì)喪失一定的邊界信息，使圖像的目標(biāo)區(qū)域與背景區(qū)域之間的邊界難以準(zhǔn)確區(qū)分。

隨著壓縮傳感理論的發(fā)展，稀疏重建在信號(hào)恢復(fù)及圖像重構(gòu)領(lǐng)域受到了很大程度的關(guān)注。Tropp等將稀疏解引入到線性反問(wèn)題的求解中[7]，Bredies等利用稀疏性求解閾值迭代中的最小化問(wèn)題[8]。受此啟發(fā)，文中針對(duì)傳統(tǒng)Tikhonov正則化圖像分辨率低及邊界模糊的問(wèn)題，提出一種基于全變差的正則化優(yōu)化模型。此算法能充分利用電導(dǎo)率分布具有稀疏先驗(yàn)性這一特征。所提出的優(yōu)化模型可通過(guò)兩步迭代閾值算法(TwIST)，進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)圖像重構(gòu)。

1 EIT系統(tǒng)基本工作原理

EIT場(chǎng)域內(nèi)的電位分布φ與電導(dǎo)率分布σ滿足拉普拉斯方程[9]。如果將場(chǎng)域剖分成有限個(gè)離散單元，且認(rèn)為每個(gè)單元上的電導(dǎo)率是常數(shù)，則每個(gè)單元上的靈敏度方程都為線性方程，用矩陣表示如下：

g=Sc

(1)

其中：g為邊界電壓變化向量；c為離散的電導(dǎo)率向量；S為靈敏度矩陣(即雅可比矩陣)。

這樣非線性問(wèn)題就被簡(jiǎn)化成為線性問(wèn)題，滿足了大多數(shù)電導(dǎo)率變化不大的場(chǎng)合。由于實(shí)際每個(gè)剖分單元的電導(dǎo)率分布并不均勻，且式(1)待求解的方程中未知量個(gè)數(shù)遠(yuǎn)大于方程的個(gè)數(shù)，導(dǎo)致問(wèn)題欠定，再則測(cè)量誤差所引起的微小擾動(dòng)將導(dǎo)致圖像的解產(chǎn)生很大變化。所以求解過(guò)程不穩(wěn)定，解析解難以直接得到。一般根據(jù)測(cè)量電極電壓和用有限元模型正向計(jì)算得到的電壓構(gòu)造一個(gè)平方誤差泛函，利用最小二乘法構(gòu)造一系列方程組，從而得到反問(wèn)題的解。

2 正則化算法

傳統(tǒng)消除解不定性的方法是采用Tikhonov正則化。此方法的原理是尋找一個(gè)由先驗(yàn)信息約束的穩(wěn)定的解集，然后在從中選擇一個(gè)解，這是一種應(yīng)用最普遍的解決病態(tài)反問(wèn)題的方法，已廣泛應(yīng)用于EIT圖像重建[6,10]。其基本思想即優(yōu)化下述最小化目標(biāo)函數(shù)：

(2)

式中：μ為正則化因子；Φ(c)為正則化函數(shù)，一般情況下Φ(c)采用2范數(shù)形式。

式(2)的意義在于求解的過(guò)程中使得偏差最小化的同時(shí)，又能使估計(jì)解與真實(shí)解保持足夠的接近。該算法最大的不足為重構(gòu)圖像的邊界模糊。

2.1 基于全變差的正則化優(yōu)化模型

為了有效提高圖像的重構(gòu)精度，文中提出了一種基于全變差的正則化優(yōu)化模型。全變差(TV)正則化法是1992年由Rudin等首次提出的一種正則化優(yōu)化方法[11]。由于這一方法能在圖像重構(gòu)時(shí)較完整保留圖像的邊界信息，因此它已廣泛應(yīng)用于圖像去噪等領(lǐng)域[11]。

將TV正則化方法應(yīng)用于EIT圖像重建[12]是采用歸一化測(cè)量電壓的總變差作為正則化函數(shù)。其最小化目標(biāo)函數(shù)表示為：

(3)

(4)

(5)

式(3)的求解將直接關(guān)系到圖像重構(gòu)的精度。為了保證重構(gòu)圖像的魯棒性，文中采用兩步閾值迭代法求解式(3)的最小化問(wèn)題。

2.2 兩步迭代閾值法(TwIST)

兩步迭代閾值算法[14](Two-Step Iterative Shrinkage/Thresholding algorithm)結(jié)合了閾值迭代收縮算法(IST)和迭代加權(quán)收縮算法(IRS)的優(yōu)點(diǎn)。根據(jù)IST算法，尋找最優(yōu)化的ct的表達(dá)式為：

ct+1=(1-β)ct+βΨ(ct+ST(g-Sct))

(6)

其中：S是靈敏系數(shù)矩陣(即雅可布矩陣)；g是邊界電壓變化向量；ct為前一次迭代得到的離散電導(dǎo)率向量；Ψ為去噪函數(shù)[13]。

將IRS算法的迭代公式記為ct+1=solution{Atc=b}，At=λDt+STS，b=STg。Dt由ct和總變差函數(shù)Φ決定，是一個(gè)非負(fù)的對(duì)角陣。假設(shè)線性方程Ax=b，A為非負(fù)矩陣，則A可分解為A=C-R，C為易求逆的非負(fù)矩陣，則解可定義為：

x1=x0+β0C-1(b-Ax0)

xt+1=(1-α)xt-1+αxt+βC-1(b-Axt)

(7)

其中，α，β，β0都是算法的參數(shù)。

TwIST算法結(jié)合了IST算法良好的去噪性能及IRS算法處理嚴(yán)重病態(tài)性矩陣的有效性。

令C=I+λDt，R=I-STS，則A=λDt+STS。式(8)關(guān)于線性方程組Atc=STg的兩步迭代解為：

ct+1=(1-α)ct-1+(α-β)ct+βC-1(ct+ST(g-Sct))

(8)

將α置為1，用去噪函數(shù)Ψ代替矩陣C-1，即可得到TwIST的解：

c1=Γ(0)

(9)

ct+1=(1-α)ct-1+(α-β)ct+βΓ(ct)

(10)

Γ(c)=Ψ(c+ST(g-Sc))

(11)

(12)

3 仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證上述算法的有效性，采用Matlab和EIDORS系統(tǒng)[15-16]建立如圖1所示的模型。建立半徑為15的圓形求解區(qū)域，調(diào)用有限元剖分軟件QMG。考慮到計(jì)算精度及收斂時(shí)間，在電流注入的邊界，這些場(chǎng)值較強(qiáng)的地方，三角剖分比較密集，而中間場(chǎng)值變化平緩的區(qū)域，三角剖分相對(duì)稀疏。三角剖分得到279個(gè)節(jié)點(diǎn)，492個(gè)單元。

圖1 有限元剖分圖

實(shí)驗(yàn)采用16電極，全電極相鄰激勵(lì)模式。成像個(gè)數(shù)分別設(shè)置為一個(gè)、兩個(gè)與三個(gè)，成像位置分別設(shè)置在邊界區(qū)域、中心區(qū)域。將成像目標(biāo)的電導(dǎo)率設(shè)為0.005S/m，圓域背景電導(dǎo)率設(shè)為0.002 5S/m，給邊界電壓設(shè)置40dB的噪聲。詳細(xì)的仿真結(jié)果如圖2所示。

將兩種正則化算法的重建圖像與設(shè)定的電導(dǎo)率分布情況進(jìn)行比較，可以看出兩種重建算法均能夠?qū)Ψ抡婺Ｐ驮O(shè)定的目標(biāo)區(qū)域?qū)崿F(xiàn)重建，但重建的質(zhì)量卻不盡相同：TwIST算法所得到的重建圖像能夠較好地確定目標(biāo)區(qū)域的位置、大小和形狀，且目標(biāo)區(qū)域與背景的邊界清晰，圖像分辨能力強(qiáng)；而Tihonov正則化算法得到的重建圖像目標(biāo)區(qū)域明顯偏大，邊界模糊不清，偽影較多。

圖2 仿真模型及成像效果比較

上述對(duì)比說(shuō)明，采用TwIST算法后，重建圖像目標(biāo)區(qū)域電阻率與背景區(qū)域的區(qū)別明顯提高，向目標(biāo)區(qū)域的收斂集中程度進(jìn)一步增強(qiáng)，反映出了TwIST算法較常規(guī)的Tikhonov正則化技術(shù)有更佳的重建能力。

4 結(jié)束語(yǔ)

在生物醫(yī)學(xué)應(yīng)用中的電阻抗成像技術(shù)中，由于其常規(guī)的Tikhonov正則化重建算法偏重于解決穩(wěn)定性問(wèn)題，犧牲了成像邊界的分辨率，使得重建圖像與真實(shí)情況有較大差別。文中運(yùn)用了TwIST算法對(duì)EIT正則化問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化，重建結(jié)果表明該方法是有效的。與傳統(tǒng)Tikhonov正則化算法相比，該算法具有較好的分辨能力，能有效地將目標(biāo)區(qū)域的電導(dǎo)率與背景區(qū)域區(qū)分開(kāi)，所獲得的重建圖像質(zhì)量有了一定的提高。利用稀疏性特征的兩步迭代閾值算法(TwIST)對(duì)后續(xù)EIT技術(shù)的研究提供了一種新思路。

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Optimization of Electrical Impedance Tomography Regularization Algorithm

LI Dong-ye1，KANG Bin2

(1.Institute of Electronic Science and Engineering，Nanjing University of Posts & Telecommunications,Nanjing 210003,China；2.Institute of Signal Processing and Transmission,Nanjing University of Posts & Telecommunications,Nanjing 210003,China)

Electrical Impedance Technology (EIT) is a kind of medical imaging technology taking the human’s conductivity distribution as the target.There are lots of advantages belonged to this technique such as non-invasive,no damage,real-time imaging,simple system structure and lower price.But there are still serious ill-posed in solving its inverse problem.So compared with the mainstream medical imaging technology,its imaging resolution is not good.Aiming at solving the low resolution and blurry boundaries in electrical impedance tomography where the traditional Tikhonov regularization is used,a new optimization regularization algorithm is proposed in this paper.It takes the total variation of the normalized measured voltage as the regularization function and takes account of the inhomogeneous conductivity’s sparse characteristics in electrical impedance image.The Two-step Iterative Shrinkage/Threshold (TwIST) algorithm is considered to solve the conductivity distribution.The performance of this new algorithm is tested through the different parts and different numbers of imaging targets in the analog domain.The simulation shows that the studied regularization algorithm for biomedical imaging application can significantly improve the image quality and boundary resolution.

electrical impedance tomography;regularization;inverse problem;two-step iterative shrinkage/thresholding algorithms

2015-06-18

2015-09-23

時(shí)間：2016-04-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60671065)

李冬曄(1991-)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)殡姶庞?jì)算、生物電阻抗成像。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20160505.0815.034.html

TP301.6

A

1673-629X(2016)05-0188-03

10.3969/j.issn.1673-629X.2016.05.041