《復變函數與積分變換》教學的研究

馮麗萍

【摘 要】《復變函數與積分變換》是工程數學的一門基礎課程，本文針對該課程課時少而內容多的特點，對這門課程的教學提出幾點個人看法。

【關鍵詞】復變函數；積分變換；教學

《復變函數與積分變換》課程是大學本科理工科類專業的一門基礎課。復變函數論主要是在研究流體力學、電力學、空氣動力學、熱力學以及理論物理學中發展起來的，為解決這些學科的一些實際問題起了相當大的作用。復變函數與積分變換理論和數學的其他分支也有密切聯系。復變函數是高等數學的拓展和延伸，其中的保形映射在偏微分方程中有著重要的應用；積分變換中的傅立葉變換在微分方程、積分方程、概率與數理統計論、泛函分析學以及數論等學科中都是重要的工具。即使是最簡單的函數，比如多項式函數、對數函數、指數函數、三角函數等，也只有在復變函數中才能體現其本質。另外，作為一種特別有用的工具，復變函數當中的留數理論可以用來解決很多高等數學中難以解決的問題。因此，復變函數與積分變換以它的完美的理論與精湛的技巧成為大學數學的一個重要組成部分。

雖然《復變函數與積分變換》這門課程有著重要的作用，不過大部分高校對此課程設置的課時都比較少，基本上都是三十二學時或者四十八學時，相對于《高等數學》來說，這些課時是非常有限的。在有限的時間內，如何能讓學生充分利用每周的少量課時，理解和掌握這門課程的精髓，并為以后的各門專業課打下堅實的基礎，這一點對于每一位授課老師以及學生來說都是極其重要的。以下根據我任教十幾年來對該門課程的理解，簡單談談我對復變函數與積分變換教學的幾點看法。

1 總結同一概念和性質在復變函數和高等數學中的相似與不同，加強理解和記憶

《復變函數與積分變換》這門課程的內容主要有兩部分，前半部分是復變函數，后半部分是積分變換。其中復變函數以理論為主，積分變換以應用為主。復變函數是以高等數學為基礎，同時也是高等數學中實數域向復數域的擴展，因此復變函數中的大部分概念都是和高等數學的概念類似，性質也基本上都是相同的。其中第一章復變函數的概念中，區域的概念，復變函數的概念，復變函數的極限的概念，復變函數的連續性以及閉區間上連續函數的性質等和實數域中相似；第三章復變函數的積分中，積分的概念和實數域的定積分，重積分的概念一致，都是通過對所求變量按照“分割，近似替代，求和，取極限”這四個過程來定義的；第四章級數中，復變函數的冪級數，泰勒級數也與高等數學中函數的級數，泰勒級數的概念一致。在講授這些內容的時候，任課老師可以先和同學們一起簡單的回憶《高等數學》中的概念和性質，與復變函數結論有區別的地方可以重點說明，接著講解新內容，相似點可以直接類比，對于不同的地方需要重點強調，而且可以啟發學生去思考不同之處的根源。復變函數中的正弦函數和余弦函數是無界函數，指數函數是周期函數，對數函數是多值函數等，這些內容如果任課教師在講臺上只是一味的照本宣科，學生會覺得這是內容的重復，聽起課來肯定興趣不高；如果老師能充分調動學生的積極性，讓他們自己去帶著問題思考，帶著問題聽課，讓他們自己找到相似點和區別，不僅師生之間可以有良好的互動性，學生也會對自己總結的這些知識加深印象。

2 把握側重點，強調課程的特色

《復變函數與積分變換》這門課的課時一般不多，但是它包含的內容卻很多，因此要想在比較少的時間內將所有的內容都詳細的介紹，那肯定是不可能的。授課老師在上課之前應該掌握該課程的側重點，合理的安排好每個章節的授課時間。在第一章復變函數中，復數的輻角和復數的模，復數的三角表示和幾何表示以及復數的運算是以后各章內容的基礎，這部分內容只有講透，學生才能在以后的學習中有個扎實的基礎。復數域中的無窮遠點是唯一的一個點，很多課時少的學校將這部分內容作為選講內容，但我個人認為這是個基礎知識，無窮遠點可以在很多時候簡化計算量，是個很有用的工具，而且在積分變換的內容中也會涉及到這方面的知識，這個知識點需要強調一下；第二章解析函數中，解析函數以及解析函數的充要條件是重點，也是研究復變函數在孤立奇點處留數的前提；第三章復變函數的積分，這部分內容可以簡單介紹原理，為以后介紹洛朗級數和留數做前提；至于用柯西積分公式，柯西古薩定理和高階導數公式去計算封閉曲線的積分可以簡單讓學生理解；第四章級數，洛朗級數是重點，任課老師要讓學生理解洛朗級數和泰勒級數的聯系和區別，并學會如何將同一復變函數在不同點，不同的圓環域內，展開成洛朗級數；第五章留數是個新的概念，也是復變函數的核心，對學生來說是個全新的知識，任課老師在講授這部分內容時可以適當放慢速度，利用解析函數和洛朗級數的相關理論讓學生理解核心概念-留數的定義，掌握利用留數和洛朗級數去解決積分問題的方法。留數是復變函數理論當中一個重要知識點，留數理論也可以用來解決一些高等數學中很難求解的積分問題。這樣學生可以感受到復變函數除了是實數域中理論的拓展，還可以反過來解決實數域中的很多難題。

3 積分變換是一個工具，側重于應用

積分變換中主要有兩個積分變換-傅立葉變換和拉普拉斯變換。這兩個變換是相互聯系又有區別。傅立葉變換是由周期函數的傅立葉級數推廣得到的，拉普拉斯變換是在傅立葉變換的基礎上優化得來的，這一部分的概念可以簡單講解。積分變換部分關鍵是要讓學生學會利用這兩個工具解決一些實際問題，比如在現代信號處理的應用等等；也可以增加一些時尚的和生活實際的應用問題，提高學生的學習興趣。當然這也對授課老師提出了較高的要求，要求教師能夠對積分變換的可能的應用領域以及在其他實際中的用途等多方面的知識都有了解，以方便在教學中隨時可以調動學生的學習積極性。

4 結合多媒體，縮短板書時間；縮短上課的周期，提高效率

復變函數中有部分概念需要很強的空間想象能力，例如基本初等函數的實部與虛部、復數的模與輻角、復球面的概念，函數在孤立奇點處的留數等；積分變換部分，工程上經常出現的單位脈沖函數，這些對于剛剛接觸到這門課程的學生來說，都是是非常抽象的。如果可以通過多媒體軟件展示這些概念，就會直觀的多，學生也容易理解。對工科的大部分學生來說，復變函數與積分變換只是一個解決問題的工具，很多結論沒有必要要求學生去掌握具體原因，只需要學會并熟練運用結論就可以了。比如第三章的柯西-古薩定理，復合閉路定理，柯西積分公式，高階導數公式等這些結論，學生只要能會運用就可以了。但是這幾個結論相對來說都很長，如果授課老師板書到黑板上需要浪費很多時間，如果只是照著課本念一下，學生又沒有什么印象。利用電子ppt，在每次需要用的時候可以直接拿出來，而且可以針對每個結論，對應的舉例說明，那樣就可以節省不少的時間。

最后對于小學時的課程，希望能夠縮短上課的周期，變成前半學期或者后半學期教學。這一點部分高校已經開始實行，一周一次的課程教學效果遠遠有一周兩三次的效果好。

當然授課老師在課堂上為了增加學生的學習興趣，可以適當滲透一些現代的數學思想，為學生進一步學習現代數學知識提供一些接口；聯系其他相關課程的知識和工程實際應用，以加強學生的綜合應用能力。比如利用留數計算積分是復變函數理論中一個重要知識點，課堂上除了詳細介紹這些之外也可以介紹一下留數計算的物理應用，如在數字濾波器性能分析和形狀設計中的應用等，這對于部分同學來說也是激起他們學習興趣的一些理由。

【參考文獻】

[1]復變函數.西安交通大學高等數學教研室編[M].4版.高等教育出版社.

[2]復變函數與積分變換.華中科技大學數學系編[M].2版.高等教育出版社.

[3]積分變換.東南大學數學系張元林編[M].4版.高等教育出版社.

[責任編輯：楊玉潔]