廣義反埃爾米特矩陣的特征

謝鳳繁，殷 倩

(武漢科技大學 理學院數學與統計系，湖北 武漢 430065)

廣義反埃爾米特矩陣的特征

謝鳳繁*，殷 倩

(武漢科技大學 理學院數學與統計系，湖北 武漢 430065)

致力于研究一類重要的、具有特殊性質的矩陣——反埃爾米特矩陣。反埃爾米特矩陣A有A=-A*的性質，推廣反埃爾米特矩陣概念的一種方式是考察A～-A*的矩陣類。這里我們用幾種方式刻劃了這一類矩陣，通過研究得出了A相似于-A*的幾個等價條件。

埃爾米特矩陣; 反埃爾米特矩陣；相似

反埃爾米特矩陣是一類特殊形式的矩陣,在矩陣理論及其應用中有著重要的地位。 關于它的研究有很多文章(見[1],[2],[3]等)，1985年，Roger A.Horn和Charles R.Johnson在矩陣分析這本書中給出了A～A*時的幾個等價條件(見[4])。本文將探討A～-A*時的一些情況, 并且給出了幾個等價的條件。

下面我們先給出一些必要的符號和本文論證中需要的引理(見[5],[6])。

本文用R表示實數域,用Rk×k表示實數域R上所有的n×n矩陣組成的集合，用Mn表示n×n復矩陣的集合, 用A*表示矩陣A的共軛轉置。

引理1: 相似的矩陣具有相同的特征值。

引理2: 設A是任意的反埃爾米特矩陣, 則A的特征值為0或bi,b∈R。

引理3: 對任意的實方陣A∈Rn×n相似于具有形狀

引理4: 對任意的正規矩陣A∈Mn, 它的特征值是λ1,…，λr，存在一個酉矩陣U∈Mn, 使得

二、主要結果

定理 設矩陣A∈Mn,則以下各命題彼此等價：

a) 相似于矩陣iB, 其中B∈Mn(R);

b)A～-A*;

c)A經反埃爾米特矩陣相似變換相似于-A*;

d)A=HK,其中H，K∈Mn，一個為反埃爾米特矩陣, 另一個為埃爾米特矩陣, 并且H,K中至少有一個為可逆矩陣;

e)A=HK, 其中H,K∈Mn，一個為反埃爾米特矩陣, 另一個為埃爾米特矩陣 。

證明:首先要指出的是a)?b)：如果a)成立，則A～iB～iB*=(-iB)*=-(iB)*～-A*, 這就是說，A～-A*，b)成立。

為了證明b)?c)，假定S-IAS=-A*, 且注意到，如果對任意非零a=reiθ∈C,T=aS, 那么T-1AT=-A*. 因而AT=T(-A*),-AT*=T*A*, 所以A(T-T*)=(T*-T)A*。如果(T-T*)是可逆的,則(T*-T)-1A(T-T*)=-A*。下面只需要找到一個θ∈[0,2π], 使e-2iθ?σ(S-1S*)結論成立，即可得證。 因為T-T*可逆等價于T-1(T-T*)可逆, 即1?σ(T-1T*), 而T-1T*=e-2iθS-1S*,θ∈[0,2π], 所以總可以找到一個θ∈[0,2π]使得e-2iθ?σ(S-1S*)成立。 因而b)蘊涵c)。

其次，c)?b)顯然成立的。如果c)成立，A通過一個反埃爾米特矩陣相似于-A*, 則存在一個反埃爾米特矩陣S使得S-1AS=-A*.則S-1A=(-A*)S-1,A=S(-A*)S-1, 令A=S((-A*)S-1), 顯然S是一個反埃爾米特矩陣,((-A*)S-1)*=(S*)-1(-A)=(-S)-1(-A)=S-1A=(-A*)S-1, 所以(-A*)S-1是埃爾米特矩陣且S是可逆的。同理可以令A=(S(-A*))S-1, 則S-1是反埃爾米特矩陣,S(-A*)是埃爾米特矩陣。因而d)成立。

d)?b)如果d)成立，且A=HK,不妨設H是反埃爾米特矩陣且是可逆的,K是埃爾米特矩陣，則H-1AH=H-1HKH=KH,又H*=-H,K=K*,所以KH=-K*H*=-(HK)*=-A*, 所以H-1AH=-A*. 從而b)成立。

顯然d)?e)；我們要證明e)?a)。如果H,K中至少有一個是可逆的, 則e)?d), d)?b), b)?a),所以e)?a)。

其中K1是埃爾米特矩陣, 所以DK1是埃爾米特矩陣. 假設歸納DK1相似一個r階實矩陣Br, 所以DK1得特征值為實數或者成對出現的共軛復數. 由引理3可知, -iA相似于一個實矩陣B, 則A～iB。

[1] 徐進,盛興平. 廣義酉矩陣與廣義(斜)Hermite矩陣的約當標準型[J]. 合肥工業大學學報(自然科學版), 2006, 29(12): 1 620～1 623.

[2] 程靜,何承源. 廣義酉矩陣與廣義Hermite矩陣的一些性質[J]. 重慶師范大學學報(自然科學版), 2010, 27(3): 58～60.

[3]袁暉坪. 廣義酉矩陣與廣義Hermite矩陣[J]. 數學雜志, 2003, 23(3): 375～380.

[4]RogerA.Horn,CharlesR.Johnson.MatrixAnalysis[M].London:CambridgeUniversityPress, 1985.

[5] 王萼芳, 石生明. 高等代數(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社, 2003.

[6] 樊惲. 代數學詞典[M]. 武漢: 華中師范大學出版社, 1994.

2095-4654(2016)12-0001-02

2016-10-31 基金項目: 湖北省教育廳青年基金項目(B20111101); 冶金工業過程系統科學湖北省重點實驗室(Y201316); 武漢科技大學校基金(2012XG011)

謝鳳繁(1978-)，女，湖北省武漢人，武漢科技大學理學院數學與統計系副教授，博士，主要研究方向：凸體幾何與積分幾何，E-mail:xiefengfan@wust.edu.cn。

O151.21

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