以函數極值問題為例植入博弈論思想的研究性學習

王能發

(貴州財經大學 數統學院, 貴州 貴陽 550025)

以函數極值問題為例植入博弈論思想的研究性學習

王能發

(貴州財經大學 數統學院, 貴州 貴陽 550025)

研究性學習是大學數學課堂教學的一種重要的教學形式, 它是在教師的精心設計下, 引導學生發現問題、分析問題和解決問題, 并進一步將問題引向深入和探究。本文通過大學數學中常見的函數極值問題為例, 植入博弈論思想, 引導學生進行研究性學習。

研究性學習；極值；博弈論

所謂數學研究性學習, 是指學生在教師的指導下, 通過與數學學科內容相關的課題, 學生作為主體參與, 體驗問題提出和解決的全過程[1]。 這一學習過程不但使學生發展了思維能力, 而且逐漸領悟到數學研究的基本過程和方法, 提高學生的科學精神和人格素質。 因此, 近些年來研究性學習受到了廣泛的關注。本文以大學數學中最常見的函數極值問題為例, 植入博弈論的思想, 引導學生進行研究性學習。我們知道, 在《數學分析》或《高等數學》中，函數的極值問題是其中一個非常重要的教學內容，函數的極值不僅是函數性態的重要特征，而且在實際應用中有著重要的作用。

例如, 在實際問題中我們經常會遇到這樣的問題，怎樣才能使“產品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“風險最小”、“收益最大”等等，這些問題歸結起來，常常需要求一個一元函數或多元函數的最大值或最小值，他們統稱為最值。 一般在實際問題中出現的需要求其最值的函數，我們稱其為目標函數，而該函數中的自變量被稱為決策變量。 在目前我們的大學教材《數學分析》或《高等數學》中, 關于極值問題的研究都講得比較清楚，無論是無極值問題的求解還是有極值問題的求解，基本都是針對目標函數是一個的情形，當然決策變量可以是多個。 但是對于目標函數是兩個或以上的問題基本沒有涉及，下面就目標函數是兩個的為例, 將函數的極值問題引向深入。

一、以函數極值問題為例植入博弈論思想的研究性學習

在學習完一元函數極值問題時, 我們可以設計一個如下問題：

問題一：有一家企業生產某產品(假設只有這一家企業生產這種產品)，當其產量為x時，根據市場規律，其賣出價格為p=a-bx，其中a、b均為大于0 的常數，a為產品的最高價格，b為每多生產一個單位產品所導致的價格下跌。 假設每生產一個產品的邊際成本都為c, 且a>c。 于是該企業的利潤函數為

f(x)=px-cx= (a-bx)x-cx

(1)

這是一個無約束的最優化問題, 目標是如何選擇產量x, 使企業的利潤最大? 根據無約束最優化問題的求解方法, 先求得

f′(x)=-bx+(a-bx)-c

(2)

這樣一個問題在我們的《數學分析》或《高等數學》中都是完全可以解決的。 現在引導學生思考：要是有兩家企業呢？并且這兩家企業生產同質的產品, 生產相互獨立, 情況會如何呢? 于是有下述問題：

問題二：有兩家企業生產某產品，當企業1 產量為x 、企業2 產量為y 時，根據市場規律，他們賣出價格均為p = a-b(x+y) ，其中a 、b 與問題一同樣的含義。 假設兩個企業的邊際成本都為c , 且a>c 。

于是該企業1 的利潤函數為

f1(x, y) =px-cx=[a-b(x+y)]x-cx,

(3)

企業2 的利潤函數為

f2(x, y)=py-cy=[a-b(x+y)]y-cy

(4)

這也是一個無約束的最優化問題, 不同的是有兩個目標函數, 企業1 如何選擇產量x、企業2 如何選擇產量y, 使企業1 和2 的利潤都達到最大? 目前一般的《數學分析》或《高等數學》沒有講到這類問題。 而這樣的問題顯然一方面有很現實的意義, 另一方面作為極值問題的深入, 可以引導學生做一個研究性的學習。

其實上述問題二是一個最簡單的博弈問題。 著名的經濟學家薩繆爾森曾經說過：要想在現代社會做一個有文化的人, 你必須對博弈論有一個大致了解。 作為當代大學生, 更應該了解一點博弈論。 那么何為博弈呢? 張維迎教授在[2]中是這么描述的：博弈論, 英文為gametheory, 是研究決策主體的行為發生直接相互作用時候的決策以及這種決策的均衡問題的，也就是說，當一個主體，好比說一個人或一個企業的選擇受到其他人、其他企業選擇的影響，而且反過來影響到其他人、其他企業選擇時的決策問題和均衡問題。 田國強教授：博弈論就是一門專門研究在各種不同行為假設(如Nash均衡行為假設，占優均衡假設等)下人們如何互動，并作出最佳決策的理論。 大百科全書數學大辭典：博弈論也稱對策論，是運籌學的一個重要分支。 它所研究的是2 個及以上個決策者在某種對抗或競爭的局勢下，如何各自作出決策，從而使自己得到盡可能最有利的結果。 到目前為止, 也沒有一個統一的定義, 但是并不妨礙人們學習和研究博弈問題。博弈有兩個重要的特征：第一、你中有我、我中有你；第二、換位思考和系統的看待問題。作為一個剛學習《數學分析》或《高等數學》的極值問題的大一學生, 更迫切的知道上述問題二的解答。 可以引導學生這樣分析問題: 作為企業1 而言, 假設他已經知道企業2 選擇了某個產量y, 那么此時企業1 千方百計的選擇一個產量x , 使自己的利潤f1(x, y)=[a-b(x+y)]x-cx最大(此時視y 為一個常數)。 此時就轉化為問題一了。 于是

(5)

(6)

作為企業2 而言, 可以同樣的考慮。 假設他已經知道企業1 選擇了某個產量x , 那么此時企業2 千方百計的選擇一個產量y , 使自己的利潤f2(x, y)=[a-b(x+y)]y-cy最大(此時視x 為一個常數)。 于是

(7)

(8)

(9)

因此解得

(10)

(11)

問題到此, 可以進一步引導學生思考：要是有n家企業呢? 于是有下述問題：

(12)

那么各個企業又如何選擇自己的產量xi而使自己的利潤函數達到最大呢? 思路與問題二一致, 這樣就可以留給學生自己去思考。 當然也可以提示學生去參考[3]和[4]。

三、結語

本文主要是以函數極值問題為例, 介紹了如何進行研究性學習, 引導學生發現問題、分析問題和解決問題。 并將學生引入比較前沿的學科——博弈論。 從而激發學生去探索新知識、新方法的興趣和能力。 這里面當然還可以引導學生考慮價格函數非線性的, 以及每家企業的邊際成本不同的情況等等。

[1] 王金紅. 大學數學實施研究性學習的若干途徑[J]. 大學數學, 2007, 23(4): 11～13 .

[2] 張維迎. 博弈論與信息經濟學[M]. 上海：格致出版社，2004 .

[3]王能發. 基于輕微利他均衡的古諾博弈研究[J]. 重慶師范大學學報(自然科學版), 2014, 31(4): 26～29 .

[4] 俞建. 博弈論選講[M]. 北京: 科學出版社，2014 .

2095-4654(2016)12-0008-03

2016-05-06 基金項目：國家自然科學基金資助(No.11501349;61472093)；貴州省教育廳自然科學基金青年項目資助(黔教合KY 字[2015]421)

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