攜手走進“統計”王國

馬曉銘

引例：小紅爸爸的公司有15名職工，對外招聘時稱該公司職工的月平均工資超過2 000元.請你分析下面的統計表.

假如某人想選擇一個月工資在2 000元左右的工作崗位，到這個公司做一名職員可以嗎？你想知道為什么嗎？

在八年級的時候同學們學習了數據的收集、整理和描述.今天就讓我們一起再次走進統計的世界，來學習數據的集中趨勢和離散程度吧！

一、 認識“三數”

1. 平均數

（1） 算術平均數

一般地，n個數x1，x2，…，xn的算術平均數為，簡稱為平均數.

（2） 加權平均數

一組數據的平均數不僅與各個數據的值有關，而且與各個數據的“重要程度”有關，衡量各個數據“重要程度”的數值叫做權.加權平均數的計算方法：將各數值乘相應的權數，然后求和得到總體值，再除以總的單位數.

例1 某中學舉行歌詠比賽，以班為單位參賽，評委組的各位評委給九（3）班的演唱打分情況為：89、92、92、95、95、96、97，從中去掉一個最高分和一個最低分，余下分數的平均數是最后得分，則該班的得分為_______.

【分析】先去掉一個最低分和一個最高分，再根據平均數等于所有數據的和除以數據的個數列出算式進行計算即可.

【解答】由題意知，最高分和最低分分別為97和89，則余下的分數的平均數=（92×2+95×2+96）÷5=94.故答案為：94.

【點評】本題考查了算術平均數，解答的關鍵是根據平均數等于所有數據的和除以數據的個數列出算式.

例2 某招聘考試分筆試和面試兩種，其中筆試按60%、面試按40%計算總成績.孔明筆試成績90分，面試成績85分，那么孔明的總成績是_______分.

【分析】根據筆試和面試所占的百分比以及筆試成績和面試成績，列出算式，進行計算即可.

【解答】∵筆試按60%、面試按40%，

∴總成績是（90×60%+85×40%）=88（分），

故答案為：88.

【點評】此題考查了加權平均數，解題關鍵是根據加權平均數的計算方法列出算式，從而得出最終結果.

2. 中位數

將一組數據按大小順序排列，處在最中間位置的一個數叫做這組數據的中位數.

例3 數據1，2，3，3，5，5，5的中位數是_______.

【分析】根據中位數的定義，即將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數即是所求答案.

【解答】排序后最中間的數是3，則中位數是3.

【點評】將一組數據從小到大（或從大到小）排列后，如果數據個數是奇數，則處于最中間位置的數就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數是這組數據的中位數.

3. 眾數

在一組數據中出現次數最多的數叫做這組數據的眾數.

例4 在我校體育模擬測試中，九（1）班6位同學的立定跳遠成績（單位：米）分別是：1.83，1.85，1.96，2.08，1.85，1.98，則這組數據的眾數是（ ）.

A. 1.83 B. 1.85

C. 2.08 D. 1.96

【分析】根據眾數的定義求解即可.

【解答】這組數據出現次數最多的是：1.85，共兩次，故眾數為：1.85.選B.

【點評】本題考查了眾數的定義，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握眾數的定義：一組數據中出現次數最多的數據.

【總結】這三個統計量反映了一組數據的集中趨勢，都可作為數據一般水平的代表.平均數與每一個數據都有關，其中任何數據的變動都會引起平均數的變動.主要缺點是易受極端值的影響，比如引例中這家公司的員工月平均工資為2 187.5元，所以，該公司對外招聘時稱職工的月平均工資超過2 000元.但想選擇一個月工資在2 000元左右的工作崗位，到這個公司做一名職員是不可以的，這個公司員工的工資多數是1 000元，只有個別經理才多于2 000元.這組數據的中位數和眾數都是1 000元，對于應聘者來說最能反映這家公司員工月工資集中趨勢的統計量是中位數或眾數.因為中位數或眾數反映了大多數員工的月工資水平，而平均數受個別數據的影響較大.

二、 認識“三差”

1. 極差

極差就是一組數據中最大值和最小值的差.極差反映了一組數據的變化范圍，在一定程度上描述了這組數據的離散程度.

例5 為了考察某種小麥的長勢，從中抽取了10株麥苗，測得苗高（單位：cm）為：

16 9 14 11 12 10 16 8 17 19

則這組數據的中位數和極差分別是（ ）.

A. 13，16 B. 14，11

C. 12，11 D. 13，11

【分析】根據中位數及極差的定義，結合所給數據即可作出判斷.

【解答】將數據從小到大排列為：8，9，10，

11，12，14，16，16，17，19，中位數為：13；

極差=19-8=11.故選D.

【點評】此題考查中位數和極差的概念，求極差的方法是用一組數據中的最大值減去最小值，中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數）.

2. 方差

我們用一組數據與它們平均數的差的平方的平均數，即s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]來描述這組數據的離散程度，叫做這組數據的方差. 方差是用來衡量一組數據波動大小的量.方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定.

例6 數據-2，-1，0，3，5的方差是_______.

【分析】先要根據平均數的計算公式計算出這組數據的平均數，再根據方差公式進行計算即可.

解：這組數據-2，-1，0，3，5的平均數是（-2-1+0+3+5）÷5=1，

則這組數據的方差是：

×[（-2-1）2+（-1-1）2+（0-1）2+（3-1）2+（5-1）2]=.故答案為：.

【點評】本題考查方差，掌握平均數的計算公式和方差公式是解題的關鍵.

例7 甲乙兩種水稻試驗品種連續5年的平均單位面積產量如下（單位：噸/公頃）：

經計算，甲=10，乙=10，試根據這組數據估計_______中水稻品種的產量比較穩定.

【分析】根據方差公式s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn2]分別求出兩種水稻的產量的方差，再進行比較即可.

【解答】甲種水稻產量的方差是：[（9.8-10）2+（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2]=0.02；

乙種水稻產量的方差是：[（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2]=0.244，

∴0.02<0.244，

∴產量比較穩定的水稻品種是甲.

故答案為：甲.

【點評】此題考查方差，用到的知識點是方差的計算公式，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動越大，方差越小，波動越小.

3. 標準差

方差是一個被廣泛用來描述數據離散程度的量，但方差以原始數據的單位的平方作為單位，所以在統計中，也用方差的算術平方根來描述數據的離散程度，并把它稱為標準差，記作s.

【總結】極差、方差、標準差這三個統計量反映了一組數據的離散程度，用來描述一組數據波動情況的特征，常用來比較兩組數據的波動大小. 極差反映一組數據的波動范圍，用極差描述這組數據的離散程度簡單明了.由于極差忽視了一組數據中所有數據之間的差異，僅僅由其中的最大值和最小值所確定，個別遠離群體的極端值在很大程度上會影響極差，因而極差往往不能充分反映一組數據的實際離散程度.而方差和標準差能非常精確地反映一組數據的離散程度，在許多實際問題中，研究方差、標準差有著重要意義.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區實驗初級中學）