rGFM方法在二維流-固問題模擬中的應用探討

剛 蕾 徐 爽 唐 強

（1.南京航空航天大學金城學院，江蘇 南京211156；2.中國直升機設計研究所，中國 天津300300；3.上海航天局第八設計部，中國 上海200233)

rGFM方法在二維流-固問題模擬中的應用探討

剛 蕾1徐 爽2唐 強3

（1.南京航空航天大學金城學院，江蘇 南京211156；2.中國直升機設計研究所，中國 天津300300；3.上海航天局第八設計部，中國 上海200233)

本文結合rGFM(real Ghost Fluid Method),Hydro-elasto-plastic固體模型，在流-固界眠的二維模擬計算中推廣使用rGFM方法，針對界面處的二維Riemann問題進行構造和求解，進而獲取界面處流體準確的流動狀態，進而用該流動狀態來對界眠的邊界條件進行定義，進而將流動問題的多個介質轉化成單個的介質進行求解。二維實驗結果模擬顯示，在流-固界眠采用rGFM方法進行數值計算，界眠與其他間斷之間計算十分準確，精確解與二維問題之間具有較高的吻合度。

Riemann問題；rGFM方法；二維流－固問題

1 方程

考慮二維可壓縮多介質流體力學方程組

這里e為單位質量的內能。

可壓縮水和氣體的狀態使用以下的公式進行表示：

這里的常數為γ和B。對于理想狀態下的氣體，γ=1.4,B=0。對水(Tait方程)γ=7.15，

B=3309..一般情況下，流體和固體在狀態上會有很大的不同，但是如果在固體上作用一個很大的力，那么固體就會具有流體的性質。而這個固體的狀態模型即為 Hydro-elasto-plastic body，其狀態用方程表示為：

其中,ω（V）為流體靜壓力，s（Vs，τs，V）為流體的剪切應力,單位質量體積為,在公式中表示為下標s為初始狀態,流體靜壓力用

為了跟蹤流體的運動界面,建立如下二維LevelSet方程[3]

其中φ（x,y,t）為符號距離函數,采用二階格式[4]表示方程的空間離散，采用Euler方法表示時間離散。方程(8)可以轉化為：

2 界面邊界條件

界面的邊界條件在二維問題中確定時，需要給出密度、x方向速度、y方向速度和壓力四個變化的量，首先針對流體1，構造出Riemann問題，如下所示：在流體1中選擇任意一個與界面向鄰近的網格點A，如圖1所示。在流體2中找出一個與流體1中網格點A所對應且與流體2界面相臨近的網格點B，使得網格點A和網格點B兩個法向所成的夾角最小，由于已知A點和B點流體的狀態，那么可以設,其中為A點的法向速度，為B點的法向速度，設為在界面法線方向定義的Riemann問題的初始條件，求解Riemann問題就能夠得到界面流體的狀態，為

圖1 界面處Riemann問題的構造

更新A點的狀態,由于在界面處法向速度和壓力具有連續性，A點的法向速度為，壓力為，會出現間斷的切向速度和密度，切向速度為A點原有的切向速度，密度為。如果流體1與界面之間最接近的網格點進行了狀態的更新，那么就會出現一個方程，表示為0，它可以作為流體1在界面中的邊界條件，同理能夠得到流體2的邊界條件[1，6]。

3 數值試驗

二維問題主要是將液固界面以及激波氣固界面的相互作用力進行數值計算，主要是在二維界面處檢驗強間斷問題的有效性，通過數值計算可以得到，該算法能夠準確的獲取流場內的物理現象。由于在固體的內部激波比較微弱，為了能夠清晰的顯示出激波，本文用Schlieren圖像來顯示密度間斷，得到如下的計算公式：

算例 氣體中激波與鋼柱相互作用問題。

圖（a）-（d）給出了界面和激波發生作用的完整過程。由圖可以看出，激波和界面相互作用后，分解成了一個激波為入射狀態，該激波在固體和氣體中都能夠傳播，從圖（a）中可以看出，氣體的激波又被反射出來，圖（b）和圖（c）中反射的激波能夠在氣體中流暢的傳播，圖（d）中反射回來的激波與界面發生了相互的作用，并且產生了新的入射激波。

［1］Tang H S,Sotiropoulos F.A second-order Godunov method for wave problems in coupled solid-water-gas systems[J].J.Comp.Phys.1991,151:790-815．

［2］劉儒勛,王志峰.數值模擬方法和運動界面追蹤[M].中國科學技術大學出版社,2001.

［3］徐懷好.自適應網格上的多介質流動問題的數值模擬[D].南京:南京航空航天大學,2008.

［4］Karni S.Hybird multifluid algorithms.SIAM J.Sci[J].Comput,1996,17:1019-1039.

［5］Glimn J,Isaacson E and Marchesin D.Front tracking for hyperbolic system[J]. Adv.Appl.Math,1981,2:91-119.

［6］Liu T G,Khoo B C and Yeo K S.Ghost fluid method for strong shock impacting on material interface[J].J.Comp.Phys,2003,190:651-681.

［7］Abgrall R,Karni S.Computations of compressible multifluids[J].J.Comp.Phys., 2001,169:594-623.

［8］Hirt C W,Nichols B D.Volume of fuild(VOF)method for the dynamics of free bou ndaries[J].J.Comp.Phys,1981,39:201-225.

［責任編輯：田吉捷］

江蘇省自然科學基金重點項目（BK20140059）。

剛蕾（1983—）,女,漢族,南京航空航天大學金城學院，講師,計算數學—計算流體力學。