對概念教學中問題情境的設計幾點思考

葛愛通

摘 要：應試教育下很多課堂教學常有重解題輕概念的現象發生，而新課標要求高中數學概念課的教學要讓學生體會概念產生的源頭，親歷概念形成的過程，自主抽象概括形成概念，自覺應用概念去解決問題. 這就要求教師在教學設計時把握好學生認知起點，設計具有導向性、整體性、層次性、探究性、反思性的“問題串”，并圍繞這些“問題串”組織教學活動，使學生在解決問題中感悟數學概念逐步形成的過程，理解概念的本質，體會蘊涵其中的數學思想，同時提高提出問題、分析問題、解決問題的能力.

關鍵詞：數學概念；問題情境；問題串；整體性；層次性；探究性

[?] 概念教學現狀

前不久，筆者在高三復習函數的奇偶性時，給出了這樣一道判斷題：若函數f（x+1）為奇函數，則f（-x-1）=-f（x+1），這個結論正確嗎？全班53名學生竟有多半學生回答正確.筆者讓一位學生說說自己的理由，這位學生回答說，函數的奇偶性就是這么定義的！若函數f（x）是奇函數，則對于定義域中任意自變量x，都有f（-x）=-f（x）成立. 筆者追問他函數f（x+1）的自變量是什么？你能用語言敘述一下奇函數的定義嗎？結果該生知道自變量為x，但對于第二個問題沒答上來. 其實學生判斷失誤的關鍵在于對奇函數的定義沒有真正理解，沒有弄清概念的本質：互為相反數的一對自變量對應的函數值也互為相反數. 而要弄清這一點，就必須讓學生在學習奇函數的概念時，經歷由特殊到一般的概念抽象、概括過程. 主要原因在于我們很多教師只重解題技巧，輕概念生成，追求概念教學最小化和習題講解最大化，這樣學生對數學概念只知道機械記憶，死記硬背、不求甚解，并未理解概念的本質，直接后果表現為學生在沒有真正理解概念的情況下匆忙去解題，使得他們只會模仿教師解決某些典型例題的題型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情況、新的題目就束手無策.

高中數學新課標提出了與時俱進地認識“雙基”的基本理念，概念教學是“雙基”教學的重要組成部分，如何進行好概念教學？在教學中要引導學生經歷具體實例抽象數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本，要讓學生主動去探索，大膽去實踐，親身體驗知識的發生和發展過程. 為了達成這一目標，筆者認為教師在教學設計時要把握好學生認知起點，設計具有導向性、整體性、層次性、探究性、反思性的“問題串”，并圍繞這些“問題串”組織教學活動，使學生在解決問題中感悟數學概念逐步形成的過程，理解概念的本質，體會蘊涵其中的數學思想，同時提高學生提出問題、分析問題、解決問題的能力.

[?] 引入課題的問題情境要有適度性、導向性

《三角函數的周期性》的引入：

1. 教師先投影詩詞“年年歲歲花相似，歲歲年年人不同”，讓學生感知生活中周期現象，然后引導學生舉出類似的例子，并概括出它們的共同特征.

2. 結合單位圓中的三角函數線讓學生感受三角函數的周期性. 這樣很自然地提出問題：問題1如何用數學語言刻畫三角函數函數的周期性？

在對引入課題的問題情境進行設計時，先由學生熟悉的自然現象入手，過渡到數學中的周期現象，接著提出數學問題，這樣符合學生的認知規律. 筆者在研究該課的相關案例時，發現有的教學設計直接從數學問題角度提出問題，這樣設計未嘗不可，因為我們也要善于從數學內部挖掘問題，但是由于函數周期性的高度抽象性，先結合實例形象感知周期現象，再探究數學中的周期現象更自然合理.

設置問題情境是為提出數學問題服務的，不能為了情境而情境，經歷完眼花繚亂情境后學生沒有能自主提出問題，這樣的問題情境是失敗的，也就是說在設置時沒有考慮問題的導向性，讓學生經歷之后到底想讓學生產生怎樣的問題.

[?] 概念形成過程中的問題情境要有整體性、層次性、探究性

數學問題必須講究整體性，不能是隨意、孤立的，從初始問題開始直到回顧反思為止，應當是一個系統、完整的思維整體. 同時問題還要有層次性、探究性，由淺入深逐步展開讓學生去探究，這符合學生的認知規律，也是學生思維形成的過程.

問題1：如何用數學語言刻畫三角函數的周期性？

問題2：如果函數f（x）是周期函數，如何用數學語言刻畫？

評析：先由學生熟悉的正弦函數進行探究，概括出作為周期函數的兩個主要特征，再通過問題2加深學生對兩個特征的認識，由特殊到一般，符合學生認知習慣，為定義一般函數的周期性做鋪墊. 上述兩個問題是為了解決 “如何用數學語言刻畫三角函數的周期性”而設置的，自上而下體現了統一性，延續性，并非孤立分散的，這就體現了問題情境的設置要有整體性.

問題1-1：結合前面所學的知識你能說說正弦函數有怎樣“周而復始”的特點嗎？

問題1-2：這個結論如何用數學等式表示？

問題1-3：上式的成立與x有關嗎？

評析：上述三個小問題是為了解決問題1而設置的，讓學生對正弦函數周期性的特點進行直觀感知，然后引導學生用數學語言對兩個特征（任意性、周而復始）進行刻畫，再對正弦函數的周期性下一定義，這是概念形成的關鍵一步，同時也體現了設置問題時的層次性.

[?] 概念形成后要注重反思內涵挖掘外延

數學概念形成之后，通過具體問題，從概念的內涵挖掘外延，引導學生利用概念解決數學問題和發現概念在解決問題中的作用，這是數學概念教學的一個重要環節，此環節操作的成功與否，將直接影響學生的對數學概念的鞏固以及能力的形成.

問題4：你怎么理解“定義域內的每一個x值，都滿足f（x+T）=f（x）”？從這句話的表述上，你會聯想到函數的哪個性質？

追問1：奇函數和偶函數的圖象有什么特點？

追問2：周期函數的圖象有何特征？

問題5：如何判斷一個常數是否為一個函數的周期？

（投影）判斷下列說法正確與否，簡述理由.

問題6：一個周期函數有多少個周期？能否舉例說明？

問題7：能說出正切函數的最小正周期嗎？是不是任何的周期函數都有最小正周期？

評析：提出問題4是為了讓學生深化對周期函數概念中兩個重要特征的理解，同時和函數的奇偶性作一比較，這對學生理解和掌握周期函數概念是十分有幫助的. 緊接著“周期函數的圖象有何特征”的提出就顯得自然了. 設置問題5，是讓學生在充分理解定義后形成能力，在解決問題過程中升華學生思維，提升學生解決問題的能力是教學設計的根本目標所在.問題6既是對概念的運用，也挖掘了概念的外延——最小正周期的定義.

[?] 運用概念時要注意滲透數學思想

對例1的教學，在解決兩個問題時，筆者分別讓學生思考了兩個問題，（1）周期函數圖象有何特征？（2）要求t=10 s時鐘擺的高度，沒有這部分圖象怎么辦？你能畫出來嗎？如果不畫，你能解決這個問題嗎？前面對問題（1）已經做了鋪墊，將周期函數的周而復始的特征和圖象的重復出現相聯系，體現了數形結合的思想. 問題（2）的作用，一是對問題1結論的運用，二是將周期函數“無限”的問題都轉化成“有限“的問題去解決，即在一個周期內解決函數在整個定義域上的問題，這為下一節三角函數的圖象及性質的學習做了鋪墊.

對于例2的教學，在學生知道f（x）=cosx的周期是2π的情況下，引導學生思考如何將f（x）=cos2x轉化成余弦函數來求周期，這里體現了化未知為已知的轉化化歸思想.

[?] 幾點反思

1. 營造寬松的教學氛圍，豐富學生的學習方式

在教學設計時，要把學生豐富的活動設計好，結合問題的需要給學生創造較多的展示機會，其中有討論、交流、思考等多種方式，要讓學生成為課堂的主體.

2. 問題的設計要實現課堂教學的高立意與低起點

《數學課程標準》要求把三角函數作為一種描述周期現象的數學模型來研究. 在建立了三角函數的概念之后，下面要研究的問題理所當然的就是“三角函數如何刻畫周期性現象？”“刻畫周期性現象的這一數學模型有著怎樣的性質？”這是教材數學研究的基本過程. 問題1的設計拉開了本節課的序幕，同時也是本節的核心問題，實現了課堂教學的高立意. 因此教師在教學設計時要把握教材編寫意圖，理清知識的起點與發展，在此基礎上設置問題情境，這樣的問題使學生能夠提出問題，從而實現了課堂教學的低起點.

3. 以體現概念本質的問題串組織教學，努力揭示概念的形成過程

結合本文開始舉的例子，為什么學生會對概念不清、定義不明？因為學生腦海中僅僅有幾個抽象的數學符號，缺乏對這些數學符號的具體經驗感受. 因此有必要讓學生經歷從具體到抽象這一過程，感受概念的本質，不能讓數學的本質淹沒在形式化的海洋里. 本文的教學設計先由正弦函數入手探究周期性的特點，延后由特殊到一般得出一般周期函數的定義，符合學生的認知規律，這也是概念的一種獲得方式——概念形成.

4. 從數學理論內部設置問題，培養學生的理性精神

對于三角函數周期性的教學，有的教學設計是從求值開始的，如：已知函數f（x）=sinx，求值：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013），隨之提出“正弦函數有沒有這種周而復始的現象”的問題. 這樣設計是為了讓學生經過探索發現問題中隱含的“重復、循環”的現象，從而認為問題的提出顯得自然. 事實上，正弦函數有沒有這種周而復始的現象，在學習誘導公式時已經解決了，本課的核心問題應該是“如何用數學語言刻畫三角函數的周期性”，因此這樣設計是有所偏頗的. 數學理論的建立未必一定要從解決實際問題的需要出發才顯得合理，而源于數學理論內部的發展，也是建立數學理論的一種手段，這也有助于培養學生的理性精神.

總之，問題的設計要考慮多方面的因素，既要把握教材意圖，又要考慮學生的認知起點，將兩個方面融合起來.通過問題的解決讓學生學會提出問題、分析問題、解決問題，學會思維，學會運用，學會反思.