注重數(shù)形轉(zhuǎn)化，論作圖在指數(shù)、對數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用

周繼宗

摘 要：西方知名數(shù)學(xué)家曾經(jīng)談到，數(shù)字缺空間形貌時就會缺少直覺，表現(xiàn)形體時缺少數(shù)量關(guān)系便難以細致入微. 明確數(shù)量關(guān)系，把握空間形式，注重數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項基本知識，也是一項重要的思想方法. 數(shù)字精確但是不夠直觀，圖形直觀卻不夠精確. 因此二者結(jié)合能夠做到優(yōu)勢互補，尤其是指、對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí). 指數(shù)、對數(shù)函數(shù)定義相對抽象，如果借助幾何圖形便可以使抽象的問題具體化，從而把握函數(shù)的特征，進行針對性訓(xùn)練，鞏固學(xué)生對函數(shù)的認識.

關(guān)鍵詞：指數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；數(shù)形轉(zhuǎn)化；教學(xué)策略

數(shù)量關(guān)系與空間形式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中兩個最基本、最基礎(chǔ)、最古老也是最先存在的兩個研究對象. 數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可以分為兩種情況：一是利用數(shù)的精準性來表現(xiàn)形當中的某些特征或?qū)傩裕@就是用“數(shù)”來解釋“形”；二是利用形的直觀性來描述數(shù)與數(shù)之間的某種特定聯(lián)系，這就是用“形”來幫助“數(shù)”.本文主要研究“以形助數(shù)”這種數(shù)形結(jié)合的思想，即第二種情況.

[?] 以形助數(shù)，數(shù)形轉(zhuǎn)化存心中

教師的任務(wù)是使學(xué)生求是認真，掌握課堂的教學(xué)內(nèi)容，理解教師的教學(xué)方法，并通過回答問題或者是課下作業(yè)以及小測試等方式將自己對教師所講內(nèi)容的理解反饋給教師. 現(xiàn)實生活中，良好的生活習(xí)慣能給我們的生活帶來種種意想不到的方便. 數(shù)學(xué)教學(xué)亦是如此，作為數(shù)學(xué)教師我們不應(yīng)該只是將數(shù)學(xué)知識傳授給學(xué)生，而是應(yīng)該盡自己最大的能力讓自己的學(xué)生養(yǎng)成某種合適的、方便的、簡潔的解題習(xí)慣. 這一點非常重要，習(xí)慣的養(yǎng)成對學(xué)生在今后面對各類題型有很大的幫助作用，其思路總會在不知不覺中在頭腦中迸發(fā)出來，達到意想不到的成效. 為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)減少極大的阻力，能夠為他們今后的學(xué)習(xí)提供更大的助力，減少困惑.

當學(xué)生剛剛步入高中時，其數(shù)學(xué)的開始學(xué)習(xí)是尤為重要的. 其中就包括指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的講授，所以作為數(shù)學(xué)教師更應(yīng)注重這一部分的教學(xué). 在蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一《函數(shù)模型及其應(yīng)用》這一節(jié)的實踐教學(xué)中，筆者刻意地聯(lián)系之前所學(xué)的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù). 而且在做練習(xí)題前與學(xué)生做了一個小討論.

教師：“同學(xué)們在之前初中或者剛上高中以來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有哪些數(shù)學(xué)題目一出現(xiàn)，你立刻就會畫出相應(yīng)的圖形來解答？”

學(xué)生1：“初中時，行程問題基本都會畫出一條橫軸，然后利用這個橫軸來解題.”

學(xué)生2：“高中時，求兩個數(shù)域的交集、子集等問題時，我大都也會先畫一個坐標軸，也是利用坐標軸來解題，這樣更快捷一下.”

教師：“兩位同學(xué)說的都不錯，他們所說的兩種情況確實利用他們所說的方法來解決非常簡單. 但是同學(xué)們想一想，每次出現(xiàn)這樣的題他們都會先畫坐標軸，其實這就是習(xí)慣，這也是一種思維的顯示，也就是以形助數(shù)這種數(shù)學(xué)思維. 習(xí)慣的培養(yǎng)對于解決數(shù)學(xué)問題，非常有幫助，稍加訓(xùn)練，形成思維意識，就可以見題有方法. 對此，我們可以利用前些日子學(xué)的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)來學(xué)習(xí)，下面我們就來做一些訓(xùn)練.”

作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生來培養(yǎng)這種思維，讓這數(shù)形結(jié)合的思想成為他們本身的一種意識，見到就會使用. 當然，在培養(yǎng)這種習(xí)慣的時候，我們也要多教他們一些技巧，讓他們更加容易地利用這一思想.

[?] 把握特征，函數(shù)問題莫忘形

正確把握圖形特征是快速解答指數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題的思維方法. 學(xué)生通過作圖直觀地展示出函數(shù)的基本性質(zhì). 只有充分把握指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解題時，學(xué)生才能真正做到有的放矢.

在講述指數(shù)、對數(shù)函數(shù)時，可以通過問題情境引入函數(shù)，例如，某個細胞進行分裂時，細胞數(shù)量y是分裂次數(shù)x的指數(shù)函數(shù)y=2x. 接下來描繪出圖形.

在繪完圖后，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，請學(xué)生回答下列問題：

1. 觀察自己畫出的圖形，準確找出圖形當中特殊的點（如圖象與y軸的交點）.

2. 了解函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等.

在此基礎(chǔ)上推廣到一般的指數(shù)函數(shù)，對y=ax的圖形進行分析，給底數(shù)a不同的值（如a=，，，2，3，4等），分別讓學(xué)生列表并繪制到同一直角坐標系中，這樣可以直觀地看到函數(shù)圖象在相同x值時，y值的大小，易于比較. 同理，可以比較在相同y值時，x值的大小. 如圖1所示：

在這個過程中為讓學(xué)生了解圖形特征列舉出如下問題：圖形的共同點，a>1與0

1. 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)a的值決定，a>1時單調(diào)遞增，0

2. 指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象過定點（0，1），

3. 指數(shù)函數(shù)的定義域為R，值域為（0，+∞），

4. 在第一象限內(nèi)，從逆時針方向看圖象，a逐漸增大，在第二象限內(nèi)，從逆時針看圖象，a逐漸增大.

……

利用這個思路，再討論對數(shù)函數(shù)y=logax的圖形性質(zhì)時能起到事半功倍的效果. 因為指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（兩者圖象關(guān)于直線y=x對稱），所以可以依據(jù)上述的分析方法把握對數(shù)函數(shù)的特征. 首先對a賦不同的值，在坐標系內(nèi)描點繪圖. 教師引導(dǎo)學(xué)生提出問題，學(xué)生給出解答，然后總結(jié)一般性規(guī)律. 甚至可以把指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)與對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)放在一起探討，增強學(xué)生的記憶.

……

學(xué)生繪制觀察圖象，分析圖象的過程實質(zhì)上是不斷熟悉函數(shù)，把握特征的過程. 學(xué)生把握住函數(shù)的特征，實際解題可以輕松建立出函數(shù)圖象，給解題帶來極大的方便. 學(xué)生把握住函數(shù)圖象的單調(diào)性，對解決定值比較大小的問題有極大的幫助. 因此，在學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生正確把握函數(shù)特征，注重數(shù)形結(jié)合是教師教學(xué)中必要的方法.

[?] 針對訓(xùn)練，典型例題重點記

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也是一個強化的過程，熟能生巧，技巧總會在自己熟練的練習(xí)與及時的記憶當中無形形成. 數(shù)形結(jié)合就是一個技巧，所以老師在教導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時，不僅要培養(yǎng)他們能夠形成一種數(shù)形結(jié)合的意識、習(xí)慣，加強學(xué)生在實際解題中靈活思維，把握題型考點，從容地解答問題，而不是單純地憑借記憶力去生硬照搬. 指數(shù)、對數(shù)函數(shù)中所應(yīng)用的典型方法，是我們學(xué)習(xí)中要把握的重中之重，教學(xué)中要通過做題來不斷強化，給學(xué)生提供專題解題的氛圍與環(huán)境，將數(shù)形結(jié)合巧妙地結(jié)合在這些重點訓(xùn)練中，讓學(xué)生記住典型才能夠解決那些怪題、不常見的題、非典型的組合題等.

1. 常規(guī)重點題型

指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)是高中開始就進行的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的意識要從頭抓起，所以對指數(shù)、對數(shù)函數(shù)這方面的訓(xùn)練教師要尤其關(guān)注，教師要根據(jù)大綱要求先總結(jié)出重點，然后再去找一些重點例題，設(shè)置專題課堂，引領(lǐng)學(xué)生訓(xùn)練. 例如：最簡單的一種類型題就是圖形變換及其應(yīng)用等問題. 如為了得到函數(shù)y=9·3x+5的圖象，可以把函數(shù)y=3x的圖象怎樣移動得到？對于這一類型，我們首先要注意的是先將主函數(shù)變成最簡單的格式. 本題就可以這樣運用，函數(shù)y=9·3x+5可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=3x+2+5，只有這樣我們才能夠利用圖象的平移規(guī)律來做出正確的答案. 函數(shù)化為最簡單的形式以后，整道題就會變得十分清楚明了. 根據(jù)“上加下減，左加右減”這一規(guī)律我們可以輕松得到答案，即將函數(shù)y=3x的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，就可以得到函數(shù)y=9·3x+5的圖象. 對付這種類型題，教師一定要自己先做好總結(jié)，得出規(guī)律. 比如：平移、伸縮、對稱等.

2. 非常規(guī)重點題型

當然了，上述那種題只是最簡單的很常規(guī)的題型，它能夠?qū)?shù)與形完美地結(jié)合起來，對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維的訓(xùn)練有很大的幫助. 但是在學(xué)習(xí)中，學(xué)生也會遇到非常規(guī)的題目，因此這類題我們也要注意數(shù)形結(jié)合思想的培訓(xùn). 比如，方程lgx=sinx的實根個數(shù)這一題，面對這一題，我們的感覺就是這題根本做不了，也沒有個數(shù)來讓我們算一算. 但是如果我們轉(zhuǎn)化一下思維，將題中所給的數(shù)聯(lián)系到圖象就會很容易解決了. 那么這道題的實際意思就會變成求出函數(shù)y=lgx和函數(shù)y=sinx的圖象交點個數(shù). 這樣一來這道題自然簡單多了，學(xué)生只要準確畫出圖象就可以得出正確答案了，如圖2所示. 根據(jù)圖象，我們可以清楚地看到交點有三個，即答案為3. 因此，我們在面對非常規(guī)題型時，要跳出原始的思維定式，用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題.

當然，指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的典型例題有很多，筆者所提供的例子只是其中最簡單的數(shù)形結(jié)合的例子，在這里筆者主要說的是：方法的運用、思想的形成、定式的轉(zhuǎn)換，打破以往只知道求解數(shù)字這種方法. 解答過程的多樣化、方法的獨特不但使學(xué)習(xí)更加有趣，而且學(xué)生記憶會更加深刻.

本文主要討論數(shù)形轉(zhuǎn)化中作圖在指數(shù)、對數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用，對此我們應(yīng)該注意將培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、正確便捷的解題思路作為自己的責(zé)任，使學(xué)生形成慣性思維，當自己的學(xué)生面對函數(shù)問題能夠直接想到畫圖這種方法，把握好函數(shù)中的數(shù)與圖形中的點的準確關(guān)系，將畫圖這一方法時刻存在心中.我們還要注意典型的、重點的題型訓(xùn)練，這一方面的培養(yǎng)與記憶也是相當重要的，它奠定了學(xué)生今后學(xué)習(xí)以及所面對的綜合題的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)教學(xué)這一話題持續(xù)了很長的時間，每個時代都會有不同的定義、不同的內(nèi)涵、不同的演化，作為新時代的高中數(shù)學(xué)教師我們應(yīng)該與時俱進，跟著時代發(fā)展的浪潮，為自己的學(xué)生提供自己力所能及的便利、優(yōu)良學(xué)習(xí)方法，引導(dǎo)他們養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣. 數(shù)學(xué)教師也要不斷充實自己，不斷學(xué)習(xí)，努力成為一個負責(zé)任的、有自己獨到見解的新時代教師.