引導自主學習促進能力提升

朱秋萍

摘 要：隨著課程改革的不斷深入，教師在教學過程中越來越重視學生的自主學習，全力培養學生的創新精神，重視提升學生的學習能力. 本文就“數系的擴充”教學與點評進行探究.

關鍵詞：數系的擴充；自主學習；能力提升

在課題為“數系的擴充”的公開課教學中，一位教師的課堂教學受到了聽課教師的一致好評，現將課堂教學過程敘述如下：

[?] 教學過程

教師：數系是在客觀實際的需要和數學內部發展的需要中不斷擴大的，今天我們一起來復習和研究數系的擴充.

問題1：在自然數集中方程x+4=0有解嗎？如何使方程有解？

學生：在自然數集中方程無解，為使方程有解，科學家們引進了負數，將數系由自然數擴充為整數.

教師：這就是數的第一次擴充.

教師板書：自然數

負整數→整數.

問題2：在整數集中方程3x-2=0有解嗎？如何使方程有解？

學生：在整數集中方程無解，為使方程有解，科學家們引進了分數，這樣將數系由整數擴充為有理數.

教師：這就是數的第二次擴充.

教師板書：整數

分數→有理數.

問題3：在有理數集中方程x2-2=0有解嗎？如何使方程有解？

學生：在有理數集中方程無解，為使方程有解，科學家們引進了實數，這樣將數系由有理數擴充為實數.

教師：這就是數的第三次擴充.

教師板書：有理數

無理數→實數.

問題4：在實數集中方程x2+1=0有解嗎？為什么？

學生：在實數集中無解，因為任何數的平方都是非負數.

教師：如何使方程有解？請同學們討論解答.

學生：類比以往數系的擴充，需引進一個新數.

教師：很好，引進的數，必需滿足什么條件？

學生：必須使方程x2+1=0有解.

教師：很好. 科學家引進一個數i，規定i2=-1（教師板書），這樣方程x2+1=0就有解了. 為什么用i呢？它是虛構出來的，是imaginary的縮寫，我們稱它為虛數單位. 新引進的數必需融入原有的數集，i可以與實數進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立.

問題5：寫出i與實數相加、相乘所得的一些不同數.

學生板書了如下一些數：2+3i，4i，6+i，-i.

問題6：以上這類數我們可以統一用哪種代數式來表示？

學生：可以用a+bi（a∈R，b∈R，且b≠0）的形式來表示.

教師：由于b≠0，所以這些數都是實數之外的數，我們把它稱為什么數？（教師稍作停頓后）稱為虛數，這樣，實數就被擴充了.

問題7：實數是否也能表示成a+bi的形式？請用實例給予說明.

學生：能，實例如下（學生上黑板板演），-5=-5+0i，0=0+0i，2=2+0i.

問題8：實數也能表示成a+bi的形式，這個時候a，b的取值范圍怎樣？

學生：a∈R，b=0.

教師：因為實數和虛數都可以表示成a+bi（a∈R，b∈R）的形式，我們把形如a+bi（a∈R，b∈R）的數稱為復數，記為z，這樣實數系就擴充到復數系.

教師板書：實數

虛數→復數.

問題9：下面我們來對復數進行研究.復數集包含哪兩個數集？

學生：實數集和虛數集.

問題10：一個復數a+bi（a∈R，b∈R）何時為實數？何時為虛數？

學生：當b=0時，復數z為實數；當b≠0時，復數z為虛數.

教師：我們給a和b取個什么名字好呢？（讓學生思考片刻后）a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部.

當a=0，b≠0時，這樣的一個特殊的復數取個什么名字好呢？

學生們你一言我一語.

教師：因為 b≠0，所以應是一個虛數，又因為a=0，所以稱z為純虛數.

教師請同學們自己列舉出虛數和純虛數，并要求說出其實部和虛部.

學生舉例后，教師繼續提問.

問題11：你能用韋恩圖表示復數集合、實數集合、虛數集合和純虛數集合之間的關系嗎？

學生思考后，板演如下

教師：請同學們完成以下各題.

例1 a=0是復數z=a+bi為純虛數的什么條件？

b≠0是復數z=a+bi為純虛數的什么條件？

例2 完成下列表格：

類別欄請填實數或虛數或純虛數.

例3 實數m取什么值時，復數z=m（m-1）+（m-1）i是：

（1） 實數？（2）虛數？（3）純虛數？

教師讓學生獨立解答了以上例題.

例4 實數m取什么值時，復數z=m（m-1）+（m-1）i是6+2i？

學生獨立解答了此題.

問題12：兩個復數a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）的充要條件是什么？

學生：a=c，

b=d.

老師：用文字語言如何表述？

學生：兩個復數相等的充要條件：它們的實部和虛部分別相等.

教師：由此可知：復數是由一對有序實數唯一確定的.

例5 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求實數x，y的值.

學生上黑板輕松地解答了此題.

問題13：由此題的解答你學到了怎樣的數學思想方法？

學生：轉化思想，即復數問題轉化為實數問題來求解，即復數問題實數化.

問題14：通過本課的學習，你有何收獲？你能形成有關知識、方法的結構圖嗎？

學生獨立思考后，教師讓學生合作討論，最后共同完成結構圖：

知識：復數（a+bi，i2=-1）實數（b=0），

虛數（b≠0）純虛數（a=0，b=0），

非純虛數（a≠0，b≠0）

方法：復數問題的解決[轉化] [ ]實數問題解決.

[?] 點評

新課程改革十分重視學生能力的培養，而在新知的教學中，如何培養學生能力？本節課堂教學進行了有益的嘗試，教師通過引導學生自己發現新知識，生成新知識，主動運用新知識，從而讓學生成為知識的創造者、問題的解決者，學生的能力在活動中得到提升.

1. 引導學生主動提出新知識

新知識的產生源于生產生活實際，源于學科內部矛盾的發生和發展，通過揭示新知識產生的原因，引導學生主動提出問題，提出新知識，從而有利于培養學生的創新能力. 本課例中，教師讓學生思考問題：在實數集中方程x2+1=0有解嗎？如何使方程有解？引導學生通過類比以往數系擴展的經驗，自己提出需要引進新數，以便矛盾的解決. 這樣的教學，讓學生弄清了知識的來龍去脈，易于學生理解和接受新知識.

2. 引導學生主動建構新知識

讓學生自己建構知識，成為知識的發現者，有利于培養學生的創新精神，增加學生創新的信心；讓學生自己建構知識，還有利于學生牢固掌握知識，心理學研究表明，學生自己得出的知識印象深刻. 為了使學生自主建構知識，教師要遵循學生的認知規律，精心設計好教學的鋪墊，可以設計由具體到抽象，由特殊到一般，由一般到特殊等的問題情境，讓學生自然而然地得出新知識. 本課例中，教師通過具體實數與i相乘，得到特殊形式的數，從而讓學生抽象出新數的形式a+bi；教師又讓學生通過實例歸納得出實數也能表示成a+bi的形式，從而得出復數的概念，自然地將實數集擴展為復數集. 在對復數外延的研究中，教師通過將問題特殊化，讓學生自己將復數集分解成實數集、虛數集，虛數集又可分解成純虛數集和非純虛數集. 在對復數相等條件的研究中，教師通過讓學生解決特殊的具體問題，從而得出一般性的結論.

3. 引導學生主動運用新知識

有關新知識運用的例題是學生第一次接觸的問題，是聽教師講解，還是讓學生自主解答？一些教師的處理往往是以教師講解為主. 而有關新知識運用的例題，往往是為理解新知識、鞏固新知識服務的，其難度往往不大，讓學生自主解答是可能的；讓學生自主解答比起教師講解來更能加深學生對知識的印象. 例題的編擬，可由教師完成，也可由學生完成. 而讓學生編擬例題有助于學生深刻理解知識，因為只有把握了知識的關鍵本質，才能提出問題. 來自于學生的問題，其他學生更有解答的興趣，可調動學生解決問題的積極性. 本課例中，教師讓學生自己舉出虛數、純虛數的實例，并要求說出實部和虛部，有利于加深對新概念的理解，對例1～例5的解答，讓學生主動完成，提高了教學的效果.

4. 引導學生自主構建知識網

課堂教學的小結要做到突出教學重點，以使學生掌握本課的知識要點和思想方法. 常見的課堂教學小結往往是這樣進行的，教師提問：學了本節課你有哪些收獲？學習了哪些知識？收獲了哪些思想方法？然后讓學生回答，教師羅列要點.這樣的小結，知識往往顯得很零散，不利于學生記憶掌握.而在本課例中，教師讓學生構建知識和方法的結構圖，有利于學生理清知識間的聯系，提高運用知識解決問題的能力.