小議高三復習教學中引導學生生成問題

杭美燕

摘 要：高三的課堂教學，雖然學生已經(jīng)具有較全面的基礎(chǔ)知識，但學生與教師之間、學生與學生之間的認知水平、感悟和理解問題的角度等不同，在課堂中會有很多問題生成. 教師要騰出更多的思考空間給學生自己，鼓勵學生在課堂中生成問題. 體會“變式型”問題生成，嘗試“填空型”問題生成，探究“開放型”問題生成，讓學生成為課堂主體，從而提高學生的學習興趣、能力和思維，同時教師更容易地發(fā)現(xiàn)學生存在的問題，并加以解決，達到課堂“教”“學”雙贏.

關(guān)鍵詞：問題；生成；主動性；主體；復習教學

高三復習教學中往往是教師設(shè)計了很多問題、準備了各種類型的習題，讓學生在課堂上思考和訓練，以達到復習鞏固知識點、提高解題能力、深化數(shù)學思想等目標. 對高三的學生而言，高中數(shù)學新知識已經(jīng)學完，進入長時間的復習階段. 如果長時間被動地進行習題訓練，就很難提高學生的學習興趣，進而提升學生的學習能力和思維品質(zhì). 數(shù)學的學習重在學習者的主動思考和自身感悟，因此在課堂教學過程中可以把更多的思考機會讓給學生，讓學生自己生成問題、解決問題. 而教師只是課堂活動的引導者和組織者，學生才是課堂真正的主體.

[?] “變式型”問題生成

“一題多變”是很多教師在復習課中采用的一種教學方式，這種方式的好處是既能讓學生在對比中掌握知識和技能，也能節(jié)省時間提高課堂效率. 但其實這項工作不一定要教師來完成，也可以放手讓學生進行問題生成，這樣既避免學生只是跟著教師的變式疲于拼命地做題，也能更好地調(diào)動學生的學習積極性和主動性.為了讓學生能夠適應(yīng)自己設(shè)問的課堂模式，可以從簡單的變式開始，或是改變幾個字詞，或是轉(zhuǎn)為等價的問題，這些都是比較容易操作的方法.

1. 對比型變式

案例1 已知不等式x2-ln（1+x2）≤m2-2bm-3對任意x∈[-1，1]及任意b∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

案例背景：不等式的恒成立問題與存在型問題專題復習.

學生分析：令f（x）=x2-ln（1+x2）（x∈[-1，1]），g（b）=m2-2bm-3（b∈[-1，1]），

原命題?f（x）max≤g（b）min. 分別求兩個函數(shù)的最值即可求出實數(shù)m的取值范圍. 除了使用“任意”字樣形成的恒成立問題，還有使用“存在”字樣的存在性問題也能進行類似的研究.

學生生成問題：①已知不等式x2-ln（1+x2）≤m2-2bm-3對任意x∈[-1，1]，存在b∈[-1，1]成立，求實數(shù)m的取值范圍；②已知不等式x2-ln（1+x2）≤m2-2bm-3對任意b∈[-1，1]，存在x∈[-1，1]成立，求實數(shù)m的取值范圍；③已知不等式x2-ln（1+x2）≤m2-2bm-3，若存在x∈[-1，1]，存在b∈[-1，1]成立，求實數(shù)m的取值范圍.

學生對問題的分析：含參不等式的恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為最值問題，含參不等式的存在性問題也可以轉(zhuǎn)化為最值問題. 通過轉(zhuǎn)化可以先求出一個函數(shù)的最值，將問題逐步簡化，最終簡化為單一的恒成立或存在性問題.

評價：通過以上生成問題的方式和過程，可以使學生了解到不等式的恒成立和存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題，從而體會到問題的描述雖有不同，但都可以用類似的方式來解決，使得學生能夠觸類旁通.真正掌握這一類問題的本質(zhì).

2. 等價型變式

案例2 若函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

案例背景：函數(shù)零點與方程的根復習課.

學生分析：根據(jù)函數(shù)零點的定義可知：函數(shù)f（x）的零點是方程f（x）=0的解，也是函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點. 所以可以將問題等價轉(zhuǎn)化為以上兩種類型，其中“函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點”也可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的問題.

學生生成問題：①若方程ax-x-a=0（a>0且a≠1）有兩個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍；②函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）的圖象與x軸有兩個交點，求實數(shù)a的取值范圍；③若函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）的圖象與函數(shù)y=x+a（a>0且a≠1）的圖象有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍.

學生對問題的分析：原命題和問題①②雖然等價，但是都不能很方便地求出需要的結(jié)果，可以將命題進一步進行等價轉(zhuǎn)化，形成問題③，通過數(shù)形結(jié)合的方式就可以快速地得出本題的答案.

評價：學生生成的問題將函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)的圖象三者直接的關(guān)系明朗化，由于這三類問題可以相互等價轉(zhuǎn)化，因此也提供了相應(yīng)的解題方法. 學生通過對方法的回憶整理，設(shè)計相關(guān)的問題，使得原本單一的一個題目的解決拓展到一類問題的解決上，能夠很好地達到復習整理的目的. 比起教師的傳授，自己嘗試命題，印象更加深刻.

[?] “填空型”問題生成

教師在將題目呈現(xiàn)給學生的時候可以去掉一些條件或去掉所求目標，雖然這樣的題目看上去不完整，但卻可以給學生提供想象的空間. 去搜索可能的條件或所求目標，不同的學生可能給出不同的答案，將這些不同的想法整理到一起，就能涉及一類問題的知識點或是方法技能，教師稍加整理就能形成一節(jié)完整的復習課.

1. 條件補充式

案例3 直線l：y=2x+b與拋物線C：y2=4x相交于A、B兩點，__________，求直線l的方程.

案例背景：高三第一輪解析幾何復習——直線與拋物線的位置關(guān)系.

學生分析：拋物線C：y2=4x為定曲線，直線l：y=2x+b的斜率恒定，但縱截距不定，如果需要確定直線，可以再確定直線上的一個點. 直線在移動的過程中變化的還有弦AB的長度.

學生生成問題：①l經(jīng)過拋物線C的焦點；②弦AB的中點橫坐標為4；③

AB

=8；④OA⊥OB（其中O為坐標原點）；⑤點A到準線的距離為5.

學生對問題的分析：如果要確定直線上的一個點，那么可以直接給定坐標，如問題①；也可以如問題②的給法，只給中點橫坐標，那么可以根據(jù)中點弦的解法求出b的值；或是如問題⑤用定義可以確定直線上一個點的坐標；問題③④給出了一個等量關(guān)系，可以結(jié)合方程，利用韋達定理解決.

評價：以上學生生成問題涉及焦點弦問題、弦的中點問題、弦長公式、兩直線垂直的轉(zhuǎn)化、韋達定理的應(yīng)用、拋物線的定義及分類討論思想等. 學生給定的數(shù)據(jù)也許在解題的過程中不一定能夠像教師事先準備好的習題那樣求出“漂亮”的數(shù)據(jù)結(jié)果，但是思考問題產(chǎn)生的根源，嘗試解決問題的方法的過程是非常值得肯定的.

2. 目標補充式

案例4 （1）已知函數(shù)f（x）=x3-3x+4x，求__________.

案例背景：導數(shù)應(yīng)用復習課.

學生分析：導數(shù)的應(yīng)用主要是求函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，上面這個函數(shù)是個不含參的三次函數(shù)，可以構(gòu)造一些簡單的考查導數(shù)基本應(yīng)用的三個問題.

學生生成問題：①f（x）的單調(diào)區(qū)間；②f（x）的極值；③f（x）在[0，3]上的最值；（2）已知函數(shù)f（x）=x3-ax+4x，_______.

學生分析：如果函數(shù)中含參，那么單調(diào)區(qū)間、極值、最值都是不確定的，如果要求就需要分類討論. 或者是加上一些條件，比如說告知單調(diào)性，或者是減小區(qū)間的范圍都可以構(gòu)成求參數(shù)a的取值范圍的問題.

學生生成問題：①討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；②討論f（x）的極值；③求f（x）在[0，3]上的最值；④若f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；⑤若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；⑥若f（x）有三個單調(diào)區(qū)間，求a的取值范圍；⑦若f（x）>0在x∈[-1，1]上恒成立，求a的取值范圍.

學生對問題的分析：問題①②③是直接利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值. 而以往遇到的更多的問題是求參數(shù)的取值范圍，所以可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值加以一定的條件限制來設(shè)計問題.

評價：學生設(shè)計的問題基本上能夠涵蓋導數(shù)應(yīng)用的常見的幾種類型，通過對題目的討論和方法的分析基本上能夠達到對函數(shù)應(yīng)用復習的目的. 而且學生設(shè)計的問題層出不窮，在此過程中充分調(diào)動了學生的積極性，提高了學生學習數(shù)學的興趣，使得高三的復習課堂不再單調(diào).

引導學生生成問題的高三數(shù)學復習課，對于學生，雖然學生生成的問題有時比較粗糙或不便于運算，但能夠讓學生在主動投入課堂教學的過程中，提升學生自身主動思維的能力和學習的自覺性、主動性；對于教師，能夠通過學生生成問題的過程，了解學生思維的出發(fā)點和思考過程中出現(xiàn)的問題，從而有效地解決教學中的難點和重點，本質(zhì)上提高課堂的效率；對于課堂，能夠活躍課堂氣氛，使高三復習課堂更加生動，達到“教”“學”雙贏.