發現式學習在高中數學教學中的應用

張宏鵬

摘 要：發現式學習法是布魯納倡導的，其目的在于用科學家的培養模式來組織教學，學生在課堂上不是接受知識，而是成為知識的發現者和創造者，這樣的教學理念與新課程相符合，與當今社會對創造性人才的需要相符合.

關鍵詞：發現式學習；數學教學；創造

高中數學“發現式”教學的本質是什么？是數學知識和數學問題的“再發現”，雖然說發現和解決的都是數學知識體系中的老問題，但對學生而言，這些知識和問題都是“新”的，需要學生投入大量的思維活動；雖然“再發現”與嚴格意義上的創造有較大的差別，但是筆者認為只有學生的“再發現”積累到一定程度，才能促進創造性思維發生質變，最終達到發明、創造的水平和高度. 本文首先談一談發現式高中數學學習的流程，接著結合具體的實例就環節設置進行分析.

[?] 發現式高中數學學習的流程

有序的課堂才能催生出高效，發現式高中數學學習在課堂組織上有如下幾個流程.

[?] 發現式高中數學學習的環節設置

1. 創設問題情境

“問題”是學習和思考的起點. 每節課都有特定的教學目標，我們應該緊繞教學目標采用多元化的方式進行問題情境的創設，如從現實生活中取材整合教學資源，或者利用教具、媒體創設形象化的問題情境，或是布置一定的活動任務引導學生課前預習提出問題，基于學生生成的問題，選擇改造有價值的問題作為課堂的生長點.

2. 組織學生活動

問題情境的創設旨在啟發誘導學生的思維，調控學生思維走向，幫助其形成整體思路，在問題的引導下，學生實施對比、聯想、觀察、歸納等具體活動，通過具體的活動抽象、概括出有價值的、可轉換的、操作的、具體的假設，為接下來的引導探究發現環節打下基礎.

例如，“橢圓的定義及標準方程”教學，設置了生活化的情境引導學生活動，促進問題的生成，完成導入.

情境1：借助于PPT展示“嫦娥一號”衛星運行的橢圓形地球同步運行軌道；

情境2：將一只水杯傾斜投影出水的邊界的形狀.

借助于情境1和情境2，學生觀察后發現“橢圓”，那么，生活中還有哪些橢圓的例子呢.

情境3：用PPT展示手機按鍵，橢圓形果盤、圖章等日常生活中常見的橢圓.

借助于情境3，學生發現生活中“橢圓”無處不在.

3. 引導探究發現

以生為本的課堂學習過程應該是教師設置問題引導學生探究發現的過程.在發現式學習模式下，引導探究發現的環節，學生或獨立思考，或小組合作，或組間交流討論，教師充當好學生探究過程的促進者和引導者，促進每個學生在探究過程中有所發現，有所進步.

例如，“橢圓的定義及標準方程”教學中對于“橢圓的定義”，筆者引導學生完成如下探究發現活動.

教師演示：筆者借助于一根粗線繩、一個白色泡沫板、兩個圖釘，給學生演示畫橢圓.

設計意圖：通過教師的演示激發學生動手實踐的興趣，體驗親自畫橢圓的過程，再借助于問題，引導學生發現.

問題1：同學們在畫圖的過程中同時注意觀察橢圓上的點具有什么樣的特點？將自己的發現表達出來.

問題2：你能描述出滿足什么條件的點的軌跡是橢圓嗎？

設計意圖：問題1、問題2引導學生得到并不完整的“橢圓的定義”.

問題3：嘗試著將繩子縮短一點，看一看能夠得到什么圖形？如果繼續再短一點呢？會有什么發現？

設計意圖：引導學生在實踐中發現橢圓越來越扁.

問題4：當繩子短到什么情況下，你就無法畫出橢圓？

設計意圖：引導學生在實踐中發現當繩子的長度等于兩個圖釘點間的距離的時候.

問題5：這時你看一看能夠得到什么圖形？

設計意圖：引導學生在實踐中發現以圖釘所在點為端點的線段.

問題6：假設繩長比兩圖釘間的距離小，則點的軌跡會是什么樣的？

設計意圖：此時軌跡不存在.

將上述幾個問題的發現結果進行總結，學生在實踐的過程中步步深入，最終得到橢圓完整的定義.

4. 構建數學理論

構建數學理論是在前面發現基礎上的抽象與概括，當然這個過程中也需要我們教師通過問題的引領構建數學理論.

例如，推導橢圓的標準方程是本節課的重點，如何引導學生發現并構建數學理論呢？筆者進行了如下的嘗試.

問題1：求曲線的方程的一般步驟是什么？

設計意圖：幫助學生聯系已有認知，得出建系→設點→列式→化簡→證明.

問題2：怎樣建立直角坐標系才能使運算和方程更簡便？

設計意圖：通過問題2的引領，學生以學習小組為單位進行探究、互動、交流，最后對學生的探究成果進行展示，一般學生能夠探究得到如下幾種成果（見表1）：

設計意圖：學生通過自己畫圖操作能更深地理解建系的原則，效果比由教師直接告訴他們如何建系好很多.學生同時也理解了焦點在x軸上和焦點在y軸上的標準方程的區別.

同時新的問題生成：上述結論能不能表示成比較整齊對稱、簡潔的方程形式呢？

發現1：學生討論后認為（a2-c2）x2+a2y2=a2b2較為簡潔.

這個時候學生要想再有新的發現需要教師的引導：如果我們令b2=a2-c2，那么，我們能夠得到什么方程呢？

發現2：學生自主探究，可以得到焦點在x軸上的橢圓的標準方程：+=1（a>b>0）；根據對稱性發現焦點在y軸上的橢圓的標準方程：+=1（a>b>0）.

5. 嘗試數學應用

數學應用是我們教師選擇具體的例題引導學生在解決例題的過程中完成知識的內化和方法的沉淀. “橢圓的定義及標準方程”新授課在學生完成上述發現后，筆者設計了如下幾個例題.

例1 判斷下列橢圓的焦點在x軸上還是y軸上，并寫出焦點坐標.

例2 已知橢圓兩個焦點的坐標分別為（-4，0），（4，0），橢圓上一點P到兩焦點的距離的和等于10，求這個橢圓的標準方程.

例3 已知橢圓兩個焦點的坐標分別為（0，-2），（0，2），且橢圓經過點

-，

，求這個橢圓的標準方程.

例4 已知B，C 是兩個定點，BC=6，△ABC的周長等于16，求頂點A的軌跡方程.

設計意圖：通過上述4個例題的設計，引導學生運用橢圓的定義和標準方程進行問題的解決，提高應用數學知識和分析數學問題的能力.

6. 總結回顧反思

筆者在用發現式學習組織高中數學課堂時，最后總會對自己的教學進行回顧和反思. 反思自己在問題情境設置的難易程度是否合適，教學資源的選取是否具有趣味性、實踐性和可操作性. 能否有效激活學生的情感，學生在課堂探究過程中是否有探究的強烈欲望.具體到本節課，筆者反思和回顧如下：

（1）本節課在引導學生學習橢圓的定義時，設計了讓學生切身體驗橢圓的形成過程的活動. 通過把繩子的長度縮短，學生畫出了的不同的圖形，讓學生自己發現開始給出的定義的不完整，在作圖的過程中不斷地把定義補充完整，實質上這就是發現法. 這樣發現的結果會使學生形成深刻的記憶.

（2）在推導橢圓方程的過程中，文科生的思維缺點和解決問題能力上的欠缺便會暴露出來. 文科學生學習的依賴性較強，滿足于按部就班的訓練. 一旦讓他們自己選擇建系方法，并求出含有兩個參數的曲線方程，會讓他們中的一部分學生覺得很困難，這時教師要及時給予適當的指導，否則會加重他們的焦慮.

（3）采用發現教學法在時間上耗費較大. 本節課在規定的40分鐘課堂教學時間并沒有進行完預先設計的全部教學內容. 在今后的教學中若采用發現教學法，要注意內容與實踐的調整，可以進行部分發現或者講授法與發現法相結合以提高課堂效率.