試題探究圓錐曲線問題的分類討論

何燕

摘 要：圓錐曲線中的定值問題，一直是高考的熱點問題，在各大市的調研考試也是常客. 描述高考試卷和相關調研試卷，不難發現要求的定值有時是直線斜率，有時是線段的長度，有時跟向量結合，有時又是某個具體的代數表達式. 但將其歸納分類不外乎幾何量為定值、向量數量積為定值、代數表達式為定值等幾類問題.

關鍵詞：圓錐曲線；定值問題；分類討論

定值問題作為圓錐曲線中的一個重點和難點題型，往往出現在圓錐曲線題目的第二問或者第三問. 其實突破這個難點的解題思想就是很簡單的一句話：利用函數思想，將待求問題直線方程、向量數量積、比例關系表示成變量的表達式，這個表達式通過化簡變形后，得到一個與變量無關的值，即定值.

在實際的處理定值問題時，學生們遇到的定值問題往往又可以分類成代數表達式為定值、向量數量積為定值、幾何量為定值等不同的類型，這或許是掣肘學生們在實際操作中攻克這一難題的重要因素. 因此，有必要對圓錐曲線中定值問題的具體類型做一個明晰的說明.

[?] 代數表達式為定值

在代數表達式為定值這一類型的問題中，常常會涉及線段長度或者直線斜率，典型的代數表達往往有兩線段長度的和或差；兩線段長度的積或商；兩線段長度的平方和或倒數的平方和以及斜率乘積為定值等等. 如下以宿遷市2015高三第一調研考試為例.

例1 如圖1，在直角坐標系中，已知橢圓C：+=1，設R（x0，y0）是橢圓上的任意一點，從原點O向圓R：（x-x0）2+（y-y0）2=8作兩條切線，分別交橢圓于P，Q. （1）若直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；（2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：2k1k2+1=0；（3）試問OP2+OQ2是否為定值？若是求出定值，若不是說明理由.

解析：此題是一道典型的代數表達式為定值的問題，而且同時涉及斜率和線段長度的代數表達式，文章以第三小問為例試闡述這類問題的解決方法. 要求OP2+OQ2為定值即它的值與某個變量無關，那么首要的問題就是確定這一變量，將上述表達式用這一變量表示出來. 通常可借助于點的坐標，再證明表達式的值與所設坐標無關. 通過問題二可以發現無論OP和OQ如何運用，其斜率之積總為-，因此可以從k1或k2入手，找出所設橫縱坐標之間的關系.

反思：將OP2+OQ2轉換成點的問題后，以點在橢圓上，點的坐標滿足橢圓方程為橋梁，構造出目標表達式中的部分內容，以整體的方式求出y+y和x+x的值，這是典型的設而不求的方法. 本題亦可以采用交軌法，以OP或OQ的斜率為中間變量，將點P和點Q的坐標用斜率表示出來，再將待求表達式亦用斜率表示，最后化簡成與斜率無關的的值.

[?] 向量數量積為定值

在向量數量積為定值的這一類問題中，顯然點是解決問題的橋梁，因為要將解析幾何中將向量數學積表示出來往往運用的是坐標表達式，而不是定義表達式，故而這類問題亦可轉化成點的問題來解決. 如下以蘇錫常鎮宿五市2015屆高三第一次調研試卷為例，探究如何通過點來突破向量數量積為定值.

例2 如圖2，在平面直角坐標系中已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，且經過點

1，

，過橢圓的左頂點A作直線l⊥x軸，點M為直線上的動點（點M與點A不重合），點B為橢圓右頂點，直線BM交橢圓C于點P.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求證：AP⊥OM；

（3）試問·是否為定值，若是求出定值.

解析：（1）易得橢圓方程：+=1，（2）略.

由于A點坐標為（-2，0），因此可設直線AP的斜率為k，利用交軌法將P點坐標求出來，再以AP⊥OM為橋梁將M點坐標也用k來表示，由此兩點坐標，即可寫出·關于直線AP斜率k的表達式.

反思：這是典型的交軌法解題，這種方法處理起來思路比較清晰，目標比較明確，但有其計算復雜的缺陷；當然也可直接設P點坐標，利用垂直關系將M點坐標也用P點坐標來表示，再化簡，但這種設而不求的方式雖省去了紛繁復雜的計算，但卻因涉及太多的未知數，而將學生置于思維混亂的狀態.

[?] 幾何量為定值

對幾何量為定值這一類問題，常常會關注到的幾何量包含斜率、線段長度或點到直線的距離等一些內容.下面將以蘇錫常鎮四市2014屆高三第二次調研考試中點到直線距離是定值為例進行簡單的說明.

例3 在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓+y2=1的左、右焦點分別為F′，F，圓F的方程為：（x-）2+y2=5.

（1）設M為圓F上一點，滿足 ·=1，求點M坐標；

（2）若P為橢圓上任意一點，以P為圓心，OP為半徑的圓P與圓F的公共弦為QT，證明：點F到直線QT的距離FH為定值.

解析：（1）略.

（2）要求點到線的距離為定值，首先需要將點到直線的距離表示出來，從題設出發，不難發現點已知，因此問題的關鍵在于將直線方程表示出來. 顯然動直線QT是兩圓公共弦所在直線，故而，交軌法可求出動弦所在直線方程.

設P點坐標為（x0，y0），則動圓P的半徑為r=，則動圓P的標準方程可表示為（x-x0）2+（y-y0）2=r2，記為①式；定圓F的方程為（x-）2+y2=5，記為②式，將①式與②式作差，可得動弦所在直線方程為：（x0-）x+y0y-1=0.

又點P在橢圓上，所以y=1-，因此點F到直線QT的距離FH===2.

反觀上述幾類定值問題的解題過程，可以發現無論是幾何量，還是向量數量積，抑或是代數表達式，它們一定是與某些點有關，故而點可以作為解決這幾類定值問題的橋梁. 所以，在處理定值問題，通常的處理手段是將待研究的問題轉化成研究曲線上點的問題. 在解決點的問題時常用設而不求法或交軌法. 因此，在處理定值問題時呈現出了兩種不同的方法樣態：其一，設點但不求出坐標具體值，而是利用點在曲線上，則點的坐標滿足曲線方程這一特性加以處理；抑或者可以利用交軌法，將有關的點看成是兩條曲線的交點，聯立成方程組，將各坐標求解出來處理. 而兩種方法從思維的難易角度上講，交軌法往往是更為常規的手段，因為在設點坐標求解時由于引入了過多的參數，易造成學生思維的混亂；而利用交軌法求解時則是以韋達定理為橋梁，以直線的斜率為中間變量表示各點的坐標或坐標之間的關系，這種處理方式由于參數的單一性，可以使思維運轉起來條理性更清晰.