例談解析幾何中的算法優化

謝舒

摘 要：解析幾何是中學數學教學的難點和核心知識，但是解析幾何中令人生畏的運算使得學生往往在應試中無法取得高分，難道解析幾何真的這么難嗎？讓我們從新的視角來看看如何進行解析幾何教學.

關鍵詞：解析幾何；數學；算法；優化；定義

解析幾何是中學數學教學的重點和難點，從大多數學生學習解析幾何的情況來看，本章節的知識明顯與其他章節差別顯著. 從解析幾何初學到高三復習、到最后參加高考應試，我們往往有這么一種感受，學生的解析幾何解答題能力并沒有大幅提升，其在初學時不會做的直線與圓錐曲線位置關系的熱點問題，在歷經一個學年的復習，依舊是原地踏步，沒有提升.從國內較大的數學BBS中，我們常常可以看到這樣的學生留言：橢圓大題直接放棄，反正做了這么多，從來也沒有做對過！圓錐曲線解答題還是算了，太繁了，這個分數還是不要了，省出時間把其他的題目做好吧！

作為教師，看到這樣的話語的確感到無奈. 解析幾何是用代數的方法研究幾何的學科，大量的問題首先需要從幾何的角度去分析、用坐標的方式去闡述，這是一條基本的思路. 從大量研究和文獻表明，解析幾何對于學生而言難學的原因不外乎下列幾點：

1. 學生遇到一個解析幾何問題，往往缺乏其幾何圖形的思考，為了追求應試的得分，越來越多的學生將解析幾何問題形成寧要百分之五十的套路分（諸如聯立、韋達定理等模式化的步驟），也不愿多思考更深層次考查的幾何背景.

2. 近年來圓錐曲線教學越來越功利化，這與高考應試難度愈來愈大有一定關系. 幾何本是一大套定義、定理緊密結合的學科，但是其抽象度不言而喻，為了順應應試，教學中往往沒有更多的時間讓學生去感受、理解這些定義、定理產生的過程，因此只能靠背、模式化，這樣的方式應對解析幾何教學實屬無奈，很多學生連橢圓、雙曲線、拋物線等為何稱之為圓錐曲線都不明了.

3. 一方面，算法的拙劣、運算的復雜，這對于學生而言是最能感受到的實際困難. 解析幾何問題動輒都是二元二次方程，其對運算的要求一下提高了很多，學生對于這方面的運算積累是比較少的. 另一方面，不僅僅是運算能解決的問題，即還要關注算法的優化，有些問題都有典型的幾何背景、定義運用，但是學生若不能找到合理的算法，往往在復雜的道路上越走越迷失，導致其學習解析幾何陷入無法提高的泥潭. 考慮到諸多因素的限制，本文從最后一方面，即算法優化的視角，例談如何優化解析幾何中的運算.

[?] 定義運用為本

定義是圓錐曲線最核心的知識，筆者發現很多學生對基本定義根本無法掌握和理解. 筆者就橢圓、雙曲線、拋物線為何稱之為圓錐曲線請學生回答，令筆者詫異的是全班五十余人沒有一個學生知道為何這么稱呼. 可見，解析幾何教學是如何的功利化.

分析：本題是某次測試時用的一道考查定義的問題，令筆者詫異的是，有些學生在解決這樣的定義型問題根本沒有基本頭緒，在距離公式等煩瑣的思路上浪費時間，教師引導學生優化問題的算法，恰是以雙曲線定義出發的，本題考查雙曲線的定義及性質：P是雙曲線C上一點，于是有

所以△PF1F2為直角三角形，易知最小角的正弦值為. 筆者以為，解析幾何小題在教學中要多多引導學生去思考橢圓、雙曲線、拋物線的定義，從定義去優化問題的解決，不失為小題解決的一大利器.

鞏固嘗試：1. 點P是雙曲線-=1（a>0，b>0） 上一點，F是右焦點，且△OPF是∠OFP=120°的等腰三角形（O為坐標原點），則雙曲線的離心率是__________.

2. 設雙曲線-=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2=__________.

[?] 設而不求為主

解析幾何難的一個原因是其運算難度，包括合理選擇優秀算法，并不是每個學生能夠掌握的. 教師在問題的指導教學中，要利用合理的引導，指導學生掌握合理優秀的算法才能優化解析幾何的運算.

例2 過x軸上一動點A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP，AQ，P，Q為切點，設切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2.

（1）求證：k1k2=-4；

（2）試問：直線PQ是否經過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.

（1）解法1：設過A（a，0）與拋物線y=x2+1的相切的直線的斜率是k，則該切線的方程為：y=k（x-a）. 由y=k（x-a），

y=x2+1得x2-kx+（ka+1）=0，所以Δ=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0，則k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，故k1k2=-4；

解法2：如上得：x2-kx+（ka+1）=0，所以Δ=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0，于是有

k=，即k1=2a+，k2=2a-，故k1k2=-4.

（2）解法1：設P（x1，y1），Q（x2，y2），故切線AP的方程是：=x1x+1，切線AQ的方程是：=x2x+1，又由于A點在AP、AQ上，則=x1a+1，=x2a+1，所以y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）.

解法2：因為kPQ==x1+x2，所以直線PQ：y-x-1=（x1+x2）（x-x1），

由（1）易得PQ：y=（x1+x2）x-x1x2+1=2ax+2，所以直線PQ經過定點（0，2）.

說明：本題在算法選擇上分別就各小題給出了兩種解法，但是從優化算法合理性的角度來說，第（1）小題法1是最為合理的使用方式，法2是很多學生選擇的方式，但是這種缺乏設而不求思想的解法自然是不合理的算法，教師要引導學生摒棄. 但是對于第（2）小題的解決有著極為合理的選擇，是一種通用的算法，也值得教師向學生滲透.

[?] 特殊性質為輔

解析幾何有很多特殊使用的結論和性質，這些性質對于問題的解決有著極為方便、快捷的作用. 對于優秀學生，掌握一些特殊的性質和結論是熟練解決圓錐曲線難題的重要方式.

例3 如圖1，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上的一點A1的正上方有一個光源A，AA1與球相切，AA1=6，球在桌面上的投影是一個橢圓，則這個橢圓的離心率等于__________.

解：如圖2，過A，O兩點的截面截球交底面于DE，AA1，AD與球切于C，C′，DE與A1A2交于F點，易知內切球半徑為2，作截面AA1A2，觀測圖3，

在△ACO中，tanθ=tan∠CAO==，則：tan2θ===tan∠A1AA2，可得：A1A2=8，AF==3. 如圖4，△ACO≌△AC′O，△AC′O∽△AFD，得：=?DF=，以橢圓中心為原點，A1A2為x軸，B2B1為y軸建立直角坐標系，如圖5所示，易知：F

-1，-

，代入橢圓方程+=1，得c=2，故橢圓離心率e=.

性質1：平面α截圓錐得該曲線離心率e=.

證明：MF1與MN均為球切線，故MF1=MN，M到定直線l的距離為MQ，由圓錐曲線第二定義可知：e====為定值.

說明：即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離之比為定值，該定值與平面α與圓錐底面的二面角θ、圓錐母線與底面的線面角大小有關.

（1）當θ=0時，e=0，平面α截得曲線為圓；（2）當θ=φ時，e=1，平面α截得曲線為拋物線；

（3）當0<θ<φ時，01，平面α截得曲線為雙曲線.

性質2：當0<θ<φ時，平面α與兩球的切點F2、F1即為所截得橢圓的焦點.

證明：由性質1證明過程可知MF1=MN，同理：MF2=MP，故MF1+MF2=MN+MP=NP為定值，由橢圓第一定義可知F2、F1為兩焦點.

運用性質1，我們可以優化解答圖1中問題. 如圖6，將A看成圓錐頂點，橢圓面A1B2A2B1看成圓錐截面，過切點C、D作與底面平行的截面α，截得的曲線為圓，易知此時圓錐母線AC與圓錐底面所成角即為∠ACM=φ，截面α與橢圓面A1B2A2B1所成二面角為∠MCO=θ，由性質1，該橢圓離心率e=，Rt△ACM中，AC=4，CO=2，可得：AM=，MO=，因此e===.

總之，解析幾何中復雜問題的算法選擇需要運算經驗的積累的，本文筆者以自身對于解析幾何問題的認知做出了定義方式為本、設而不求為主、特殊性質為輔的算法優化方式，進而優化解析幾何中的運算.