重視直觀教學，培養學生的數學思維

朱小霞

[摘 要]數學學習是從感性認識開始的：操作，激發學生的思維；實驗，促進學生的思維；觀察，發散學生的思維。

[關鍵詞]直觀 操作 實驗 觀察 思維 發散 促進 激發

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）05-022

數學學習是從感性認識開始的，所以在數學課堂中，教師應加強直觀演示的教學，引導學生對學習素材進行多層面、多角度、多維度的觀察、比較、選擇與歸納。下面，以“圓柱與圓錐”單元教學為例，談談如何通過直觀教學，培養學生的數學思維。

一、操作，激發學生的思維

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”課堂教學中，教師可通過動手操作，激活學生的思維，引導他們深入探究，真正理解所學知識。

師：圓柱的體積計算公式是什么？

生1：圓柱的體積=底面積×高。

師：我們是怎樣推導圓柱的體積計算公式的？

生2：我們把圓柱轉化成等底等高的長方體，通過長方體的體積計算公式推導出圓柱的體積計算公式。

師：今天，我們探究圓錐的體積計算方法。猜一猜，圓錐的體積可以怎樣求？它與哪些條件有關？

生3：只要把圓柱上面的一個圓縮成點就變成了圓錐，說明圓錐的體積和圓柱是有聯系的。

生4：可以把圓錐轉化成已經學過的立體圖形——圓柱，由于圓柱體積=底面積×高，那么圓錐的體積計算可能與它的底面積和高有關系。

……

我國數學家徐利治曾說過：“直觀就是借助于經驗觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識。”教學“圓柱的體積”時，把圓柱的體積轉化成已學過的長方體體積，這樣能有效喚醒學生的學習潛能，使學生去觀察、反思、梳理，為后續推導圓錐的體積計算埋下伏筆。由圓柱體積的推導過程，學生能想到圓錐的體積是不是能轉化成已學過的立體圖形進行計算，這樣就會產生一種學習新知識的需求。學生由于生活經驗和認知水平的局限，更易于接受直觀的事物。因此，直觀演示更利于學生進行觀察、比較、分析和想象，并在此基礎上展開更加豐富多彩的直觀推理，進而洞察相關聯物體之間的聯系與區別，獲得必要的結論。

二、實驗，促進學生的思維

學生的感悟因經歷而豐富，視野因思維更拓展。因此，課堂教學中，教師應以實驗為媒介，促進學生的數學學習與數學活動有機融合。

師（出示許多大小不等的圓柱和圓錐形容器）：你打算將圓柱與圓錐如何轉化？如果讓你在這么多的圓柱與圓錐中選擇兩個來探究，你打算選擇什么樣的圓柱和圓錐？說說你選擇的理由。

生1：剛才把圓柱的一個底面縮成點就變成了圓錐，其中圓錐與圓柱的底面積相等，高也相等，所以應選擇底面積相等、高相等的圓柱和圓錐進行探究。

師：為了便于我們研究圓錐體積，每個組都準備了一個圓柱和一個圓錐，比一比，它們有什么相同的地方？（生操作演示，如下圖）

師：你發現了什么？底面積相等，高也相等，用數學語言來說就叫等底等高。既然圓錐與圓柱等底等高，能不能直接用圓柱的體積計算公式求出圓錐的體積呢？

生2：不行，把圓錐放入圓柱形容器中，發現圓錐比圓柱的體積小。

師：這位同學真了不起。請你再猜一猜，圓錐與它等底等高的圓柱體積有什么樣的關系呢？

生3：圓錐體積可能是它等底等高圓柱體積的1/2。

師：還有其他的猜想嗎？

生4：圓錐體積可能是它等底等高圓柱體積的1/3。

師：有什么好辦法驗證自己的猜想是正確的呢？先在小組里交流，再做實驗驗證你的猜想。（生動手操作）

師：誰來匯報一下？

生5：我選擇等底等高的圓錐和圓柱，發現把圓錐裝滿水倒入圓柱里，倒滿了三次，說明圓錐體積是它等底等高圓柱體積的1/3。

師：其他組實驗的情況也和他們一樣嗎？

生：一樣。

師（出示兩組大小不同的圓柱和圓錐，如下圖）：這兩組圓柱和圓錐，圓錐的體積還是圓柱體積的1/3嗎？為什么？

生6：這里的圓錐體積不是圓柱體積的1/3，因為它們不是等底等高。

師：這說明了什么？

生7：不是任何一個圓錐的體積都是圓柱體積的1/3。

師：什么樣的圓錐與圓柱體積才有1/3的關系呢？

生8：等底等高的圓錐和圓柱。

……

數學抽象地反映了客觀世界。在數學學習過程中，學生由于受知識經驗和思維水平的限制，經常會遇到一些很難用語言解釋清楚的數學問題，這時候直觀圖形或者直觀模型就能夠給學生提供形象的思考和表達的機會，幫助學生把頭腦里的數學事實外顯化。學生通過操作、實驗去驗證自己的想法是否正確，不知不覺中，學生的認識變得更豐富了，理解變得更深刻了，思維變得更靈活了，體驗變得更強烈了。這樣教學，順應了學生的思維發展，使他們真正掌握了解決問題的策略。

三、觀察，發散學生的思維

系統的發散訓練，能適當降低思維的難度，給學生的自主學習搭建一個“腳手架”，有利于學生內化數學思想方法，提升思維能力。

例1 如右圖，正方形OABC的面積是10平方厘米，O是圓心，求圓的面積。

由圖可知，正方形的面積就是r 2，圓的面積就是πr 2=3.14×10=31.4（平方厘米）。

例2 如右圖，正方形ABCD的面積是40平方厘米，求圓的面積。

由于有了例1的鋪墊，學生能把例2轉化為例1——畫兩條與正方形鄰邊互相垂直的直徑（如右圖），這樣就把大正方形平均分成了四個小正方形，可以先求出每個小正方形的面積，也就是求出r 2的值，再用r 2的值求出圓的面積，所以圓的面積πr 2=3.14×（40÷4）=31.4（平方厘米）。

例3 如右圖，求大正方形、圓、小正方形的面積比。

由圖可知，先求出大正方形與小正方形的面積比是多少，再求大正方形、圓、小正方形的面積比。有了上面的坡度練習和推理，學生很快能得出結論：大正方形、圓、小正方形的面積比為4∶π∶2。

通過系統的層層訓練，學生的思維經歷了知識發生、發展的過程，并通過反思、梳理，形成思維鏈。

從兒童思維的特點看，小學生的思維以形象思維為主，實物、圖像、圖形既是他們溝通生活世界和數學世界的最好橋梁，又是逐步深入認識數學、理解數學、運用數學的載體。因此，人們在認識和理解數學概念的過程中往往使用視覺形象來表征數學問題，從而更加直觀、清晰地了解知識的本質和關鍵，最后達到理解和接受抽象的數學內容與方法的目的。

（責編 藍 天）