函數(shù)中的常見錯(cuò)誤解析（下）

湖北 皮冬林

函數(shù)中的常見錯(cuò)誤解析（下）

湖北 皮冬林

一、基本初等函數(shù)

【易錯(cuò)點(diǎn)1】忽視對(duì)含參數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)的討論

【例1】若不等式（a2－4）x2＋2（a－2）x＋1＞0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A．a(chǎn)＞2 B．a(chǎn)≥2

C．a(chǎn)＜－2D．a(chǎn)≤－2

【解析】當(dāng)a2－4＝0時(shí)，a＝2或a＝－2，經(jīng)檢驗(yàn)a＝2滿足條件；

當(dāng)a2－4≠0時(shí)，若不等式（a2－4）x2＋2（a－2）x＋1＞ 0對(duì)一切x∈R恒成立，則a＞2．綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥2，故正確答案為B．

【評(píng)注】在解答含參數(shù)的二次型函數(shù)時(shí)，若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則一定要注意二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)是否滿足題意．本題中若忽視了對(duì)a2－4＝0的討論，則很容易錯(cuò)選為A答案．

【變式】已知函數(shù)f（x）＝（k2－1）x2＋2x－3在區(qū)間（－∞，2］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．

【易錯(cuò)點(diǎn)2】忽視冪函數(shù)的系數(shù)為“1”

【例2】（2013·安徽模擬）冪函數(shù)y＝（m2－m＋1）· xm2－2m－3在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．

【解析】由冪函數(shù)y＝（m2－m＋1）xm2－2m－3在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞減，得

故滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍為｛0，1｝．

【評(píng)注】本題中若沒有注意到m2－m＋1＝1，容易錯(cuò)誤地由m2－2 m－3＜0得到－1＜m＜3的錯(cuò)誤結(jié)論．

【變式】已知冪函數(shù)f（x）＝（m2－5 m＋7）xm2－6在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．

【答案】實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＝3．

【易錯(cuò)點(diǎn)3】混淆函數(shù)中的“有解”與“恒成立”問題

【例3】（2015·江西調(diào)研）已知函數(shù)g（x）＝ax2－2ax＋1＋b（a＞0）在區(qū)間［2，3］上有最大值4和最小值1．設(shè)，若不等式f（2x）－k·2x≥0在x∈［－1，1］上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

故滿足條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍為（－∞，1］．

【評(píng)注】在函數(shù)中常見到含有參數(shù)的“有解”與“恒成立”問題，在審題中一定要注意理解題意．若k≤f（x）有解，則k≤［f（x）］max；若k≤f（x）恒成立，則k≤［f（x）］min；若k≥f（x）有解，則k≥［f（x）］min；若k≥f（x）恒成立，則k≥［f（x）］max．

【變式】（2014·西安五校模擬）定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x＋2）＝2f（x），當(dāng)x∈［0，2）時(shí)，f（x）＝若當(dāng)x∈［－4，－2）時(shí)，函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（ ）

A．2≤t≤3B．1≤t≤3

C．1≤t≤4D．2≤t≤4

【易錯(cuò)點(diǎn)4】對(duì)數(shù)式的變形過程不等價(jià)

【例4】關(guān)于x的方程log2x2－2（｜x｜－1）2＝0根的個(gè)數(shù)為________．

【解析】由log2x2－2（｜x｜－1）2＝0可得log2｜x｜＝（｜x｜－1）2，令f（x）＝log2｜x｜，g（x）＝（｜x｜－1）2，易知這兩個(gè)函數(shù)均為偶函數(shù)，故只求x＞0時(shí)根的個(gè)數(shù)即可．當(dāng)x＞0時(shí)，如圖所示，由數(shù)形結(jié)合知，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)有2個(gè)，即此時(shí)方程log2x2－2（｜x｜－1）2＝0有兩根；同理，當(dāng)x＜0時(shí)，也有兩根．綜上，滿足條件的根的個(gè)數(shù)為4．

【評(píng)注】本題在對(duì)log2x2－2（｜x｜－1）2＝0進(jìn)行變形時(shí)，容易得出log2x＝（｜x｜－1）2的錯(cuò)誤結(jié)論，這是在對(duì)含對(duì)數(shù)的式子進(jìn)行變形時(shí)不等價(jià)而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，在做題時(shí)要特別關(guān)注變形的等價(jià)性．

【變式】關(guān)于x的不等式logax2＞1（0＜a＜1）的解集為________．

二、函數(shù)的圖象

【易錯(cuò)點(diǎn)5】忽視函數(shù)變化速度的“相對(duì)性”

【評(píng)注】高考題中的函數(shù)圖象問題多用排除法，掌握各基本初等函數(shù)變化速度的“相對(duì)性”對(duì)正確解題很關(guān)鍵．若不能理解本題中當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y＝3x呈“爆炸性”增長(zhǎng)的趨勢(shì)，極易錯(cuò)誤選擇選項(xiàng)D．

【變式】函數(shù)f（x）＝x2－2x在x∈R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（ ）

A．0 B．1

C．2D．3

【答案】D

【易錯(cuò)點(diǎn)6】忽視指數(shù)函數(shù)圖象的“漸近線”

【例6】若關(guān)于x方程｜3x－1｜＝k有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）

A．0＜k＜1B．k＞0

C．k≥0D．k＞1

【解析】函數(shù)y＝｜3x－1｜的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個(gè)單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，如圖所示．當(dāng)0＜k＜1時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝｜3x－1｜的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程｜3x－1｜＝k有兩個(gè)解，故正確答案為選項(xiàng)A．

【評(píng)注】本題中“x軸是函數(shù)y＝3x圖象的漸近線”容易掌握，但對(duì)其部分圖象進(jìn)行翻折變換后直線y＝1是函數(shù)y＝｜3x－1｜圖象的一部分的漸近線很容易被忽略，故本題容易錯(cuò)誤選擇選項(xiàng)B．

【變式】若曲線｜y｜＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________．

【簡(jiǎn)解】曲線｜y｜＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，則b應(yīng)滿足的條件是b∈［－1，1］．

【易錯(cuò)點(diǎn)7】混淆“分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)”導(dǎo)致作錯(cuò)函數(shù)圖象

【簡(jiǎn)解】y＝f（x）－g（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f（x）＋f（2－x）＝b有四個(gè)不等實(shí)根，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想知，函數(shù)y＝f（x）＋f（2－x）與函數(shù)y＝b的圖象有四個(gè)不同交點(diǎn)．所以關(guān)鍵是要求出y＝f（x）＋f（2－x）的解析式并作出其圖象．將x與2－x分別以y＝f（x）的分類標(biāo)準(zhǔn)“2”進(jìn)行分類得故由數(shù)形結(jié)合思想知b 的取值范圍為，選正確答案為D選項(xiàng)．（注：本題的關(guān)鍵是如何正確找到分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，很容易錯(cuò)將分段函數(shù)y＝f（x）＋f（2－x）按數(shù)“2”分成兩段．）

三、函數(shù)的零點(diǎn)

【易錯(cuò)點(diǎn)8】錯(cuò)認(rèn)為函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)的充要條件是f（a）·f（b）＜0

【例8】設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（－1）·f（1）＜0，則方程f（x）＝0在區(qū)間［－1，1］內(nèi)（ ）

A．沒有實(shí)根

B．有唯一實(shí)根

C．有2個(gè)實(shí)根

D．不能確定有無實(shí)根

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間［－1，1］內(nèi)是否連續(xù)和單調(diào)都未知，所以不能確定方程f（x）＝0在區(qū)間［－1，1］內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，故正確答案為D選項(xiàng)．

【評(píng)注】圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在區(qū)間［a，b］內(nèi)有f（a）· f（b）＜0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；連續(xù)不斷的單調(diào)函數(shù)在區(qū)間［a，b］內(nèi)有f（a）·f（b）＜0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．本題中很容易忽視連續(xù)性與單調(diào)性的條件，從而錯(cuò)選B．

A．0 B．1

C．2 D．無數(shù)

（作者單位：湖北省宜昌市第七中學(xué)）