模型思想在解決問(wèn)題教學(xué)中的實(shí)踐與思考——“用括線(xiàn)和‘？’表示實(shí)際問(wèn)題”的教學(xué)片斷與評(píng)析

南京師范大學(xué)附屬中學(xué)仙林學(xué)校小學(xué)部（210023）歐　蘋(píng)

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模型思想在解決問(wèn)題教學(xué)中的實(shí)踐與思考——“用括線(xiàn)和‘？’表示實(shí)際問(wèn)題”的教學(xué)片斷與評(píng)析

南京師范大學(xué)附屬中學(xué)仙林學(xué)校小學(xué)部（210023）歐蘋(píng)

［摘要］《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中明確將模型思想確定為十大核心概念之一，并指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的模型思想。”通過(guò)教學(xué)“用括線(xiàn)和‘？’表示實(shí)際問(wèn)題”的實(shí)踐與思考，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用括線(xiàn)和“？”表示實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，了解實(shí)際問(wèn)題的構(gòu)成，不僅能運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)模型，而且能自覺(jué)地用模型思想去分析、解決問(wèn)題，提高低年段學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)教學(xué)模型思想解決問(wèn)題數(shù)學(xué)思想

教學(xué)環(huán)節(jié)一：借助符號(hào)化語(yǔ)言，分析條件與問(wèn)題

師（在復(fù)習(xí)導(dǎo)入環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)情境）：秋天是收獲的季節(jié)，大家看，果園的蘋(píng)果豐收啦！瞧，小兔子們摘來(lái)蘋(píng)果招待大家呢！

（師出示情境圖，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出四道算式，并讓學(xué)生根據(jù)加減法的意義進(jìn)行解釋?zhuān)?/p>

師：兩部分合起來(lái)要用加法，把總數(shù)分成兩部分要用減法。

板書(shū)如下：

（教學(xué)例題時(shí)，師動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)情境圖，先出示盤(pán)里的5個(gè)蘋(píng)果）

師：到底求什么呢？讓我們的“新朋友”——括線(xiàn)和“？”來(lái)幫助我們解決問(wèn)題吧！

師：從圖中你知道了什么？

生1：盤(pán)里有5個(gè)蘋(píng)果。［課件相應(yīng)出示：盤(pán)里有（5）個(gè)蘋(píng)果］

師（課件再出示盤(pán)外的3個(gè)蘋(píng)果）：還有什么？

生2：盤(pán)外有3個(gè)蘋(píng)果。［課件相應(yīng)出示：盤(pán)外有（3）個(gè)蘋(píng)果］

師：根據(jù)剛才的信息，你想知道什么？

生3：一共有幾個(gè)蘋(píng)果？

師：為了簡(jiǎn)單地表示問(wèn)題，可以用這個(gè)符號(hào)（相應(yīng)出示括線(xiàn)）來(lái)表示，括線(xiàn)對(duì)著哪里就表示那里的物體一共有的個(gè)數(shù)。

師：那么，這里的括線(xiàn)表示什么意思呢？

生4：表示盤(pán)里的5個(gè)蘋(píng)果和盤(pán)外的3個(gè)蘋(píng)果合起來(lái)，一共有的個(gè)數(shù)。

師：“一共有幾個(gè)蘋(píng)果”是一個(gè)問(wèn)題，可以用“？”來(lái)表示?，F(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們看著用括線(xiàn)和“？”表示的問(wèn)題情境圖，同桌說(shuō)一說(shuō)知道了什么，要求什么。（生自由說(shuō)）

師：?jiǎn)枴耙还灿袔讉€(gè)蘋(píng)果”，該怎么解決？生5：5＋3＝8。

師：對(duì)于這道算式，你有什么想說(shuō)的？生6：為什么5加3等于8？生7：因?yàn)?和3合起來(lái)是8。

生8：為什么要用加法來(lái)計(jì)算？

生9：要求的問(wèn)題是“一共有幾個(gè)蘋(píng)果”，就要把盤(pán)里的5個(gè)蘋(píng)果和盤(pán)外的3個(gè)蘋(píng)果合起來(lái)。

生（齊）：盤(pán)里有5個(gè)蘋(píng)果，盤(pán)外有3個(gè)蘋(píng)果，一共有8個(gè)蘋(píng)果。

師（小結(jié)）：這里，我們知道了一部分和另一部分，求總數(shù)（順勢(shì)指著括線(xiàn)下面的“？”）所以用加法，這里的括線(xiàn)可以理解成“合起來(lái)”（師相應(yīng)輔助合起來(lái)的動(dòng)作）的意思。

……

評(píng)析：

在學(xué)生已有一圖四式表示問(wèn)題的基礎(chǔ)上，教師以問(wèn)題為引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷有序思考、逐步抽象的過(guò)程，尋找解決問(wèn)題的思路。在此過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷從已知到新知的探索過(guò)程，從問(wèn)題情境中逐步抽取出數(shù)學(xué)問(wèn)題。這里，教師運(yùn)用多種方式引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題：（1）動(dòng)態(tài)課件引導(dǎo)；（2）符號(hào)化語(yǔ)言引導(dǎo)，即用括線(xiàn)和“？”整理有效條件與問(wèn)題，了解一個(gè)完整的問(wèn)題需要由問(wèn)題和相關(guān)聯(lián)的條件組成，培養(yǎng)學(xué)生整理?xiàng)l件和問(wèn)題的意識(shí)；（3）文字語(yǔ)言引導(dǎo)，即采取圖文結(jié)合的方式呈現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題，借助文字引導(dǎo)學(xué)生有序、完整地表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，初步探索解決問(wèn)題的思路，為用模型思想解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。

教學(xué)環(huán)節(jié)二：根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，理解解題思路

師（在“試一試”環(huán)節(jié)）：小朋友們真棒！為了獎(jiǎng)勵(lì)大家，小兔子又提來(lái)了一籃蘋(píng)果。

師（課件先出示一共有的蘋(píng)果圖）：從圖中，你知道了什么？

生1：一共有8個(gè)蘋(píng)果。［課件相應(yīng)出示：一共有（8）個(gè)蘋(píng)果］

師（出示括線(xiàn)）：一共有8個(gè)蘋(píng)果可以用括線(xiàn)表示。（輔以合起來(lái)的動(dòng)作）

（課件動(dòng)態(tài)演示從8個(gè)蘋(píng)果里移出1個(gè)蘋(píng)果，并用“？”表示籃子里剩下的蘋(píng)果）

師：現(xiàn)在又有什么變化呢？

生2：一共有8個(gè)蘋(píng)果，籃子外有1個(gè)，要我們求籃子里有幾個(gè)蘋(píng)果。

［課件相應(yīng)出示：籃子外有（1）個(gè)蘋(píng)果，籃子里有（）個(gè)蘋(píng)果。］（要求學(xué)生根據(jù)情境圖，同桌說(shuō)說(shuō)條件和問(wèn)題）

師：要求籃子里的蘋(píng)果數(shù)，該怎么辦？把你的想法寫(xiě)在數(shù)學(xué)書(shū)第60頁(yè)的“試一試”上。（指名生2上臺(tái)板演，列出算式為8－1＝7）

生2：你們明白我的意思嗎？

生3：因?yàn)橐还灿?個(gè)蘋(píng)果，這里的8個(gè)蘋(píng)果是總數(shù)，拿出1個(gè)蘋(píng)果，要我們求籃子里有幾個(gè)蘋(píng)果，所以用8－1＝7。

師：為什么8減1等于7呢？

生（齊）：8可以分成1和7。

師（小結(jié)）：這里，我們知道了總數(shù)和一部分，求另一部分（順勢(shì)指著括線(xiàn)上面的“？”），所以用減法。這里的括線(xiàn)可以理解為分成了兩個(gè)部分（師相應(yīng)的輔助手勢(shì)，幫助學(xué)生理解）。

……

評(píng)析：

本教學(xué)環(huán)節(jié)既是解釋與應(yīng)用的過(guò)程，也是深化與鞏固的過(guò)程。與教學(xué)環(huán)節(jié)一求總數(shù)相比，本教學(xué)環(huán)節(jié)出示的實(shí)際問(wèn)題是已知總數(shù)和一部分，求另一部分。學(xué)生已具備一定的解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)，于是教師放手讓學(xué)生自主探索解決問(wèn)題的方法，使學(xué)生既經(jīng)歷從具體情境到數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)渡，又經(jīng)歷了從自主探索到解釋與驗(yàn)證的過(guò)程。在相互質(zhì)疑中，學(xué)生大膽地解釋解決問(wèn)題的過(guò)程，并在教師的引導(dǎo)下，根據(jù)減法的意義理解括線(xiàn)和“？”在特定情境中所表示的實(shí)際意義，同時(shí)從中抽象出數(shù)量關(guān)系，為后面建構(gòu)數(shù)學(xué)模型做好準(zhǔn)備。

教學(xué)環(huán)節(jié)三：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)反思，提升數(shù)學(xué)思想

師：例題和“試一試”有什么相同點(diǎn)？（生答略）

師：相同點(diǎn)是都有括線(xiàn)和“？”，這里的括線(xiàn)和“？”是來(lái)幫助我們一起解決問(wèn)題的。（揭示本課所學(xué)的主題）那它們有什么不同點(diǎn)？

生（齊）：?jiǎn)柼?hào)的位置不同。

師：?jiǎn)柼?hào)的位置不同，要求的問(wèn)題也就不同。當(dāng)我們知道一部分和另一部分，要求總數(shù)（將原板書(shū)總數(shù)改成“？”）就是把兩部分合起來(lái)（隨即用括線(xiàn)把一部分和另一部分連接起來(lái)），所以用加法。

形成以下板書(shū)：

師：當(dāng)我們知道了總數(shù)和一部分，要求另一部分，就要把總數(shù)分成一部分和另一部分（隨即用括線(xiàn)把一部分和另一部分連接起來(lái)），所以用減法。

形成以下板書(shū)：

評(píng)析：

本環(huán)節(jié)，教師著重引導(dǎo)學(xué)生自主感悟數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過(guò)程，使學(xué)生通過(guò)對(duì)比用括線(xiàn)和“？”表示實(shí)際問(wèn)題的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生在觀(guān)察數(shù)學(xué)模型中，感悟知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系；在相同點(diǎn)的思考中，感受括線(xiàn)和“？”在解決問(wèn)題中的共同特征；在不同點(diǎn)的觀(guān)察中，深入、具體地感悟括線(xiàn)和“？”在具體問(wèn)題中表示的實(shí)際意義，即括線(xiàn)可以表示合起來(lái)，也可以表示分成兩個(gè)部分，而“？”則指明了問(wèn)題是求總數(shù)還是求部分。在總結(jié)和講解中，教師借助數(shù)學(xué)符號(hào)將關(guān)鍵詞以結(jié)構(gòu)化的形式抽象出來(lái)，為解決問(wèn)題提供思路，并引導(dǎo)學(xué)生建立模型，使學(xué)生積累了解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

總評(píng)：

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，采用‘問(wèn)題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展’的模式展開(kāi)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用的過(guò)程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義……”教學(xué)“用括線(xiàn)和‘？’表示實(shí)際問(wèn)題”一課時(shí)，教師在分析教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，尋找知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生以建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方式，掌握實(shí)際問(wèn)題的框架，理解解決問(wèn)題的思路，提高了學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力。

教材分析：第一，內(nèi)容編排。“用括線(xiàn)和‘？’表示實(shí)際問(wèn)題”隸屬“10以?xún)?nèi)的加法和減法”這一單元的內(nèi)容，在編排上把運(yùn)算意義、計(jì)算方法和應(yīng)用運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題的內(nèi)容有機(jī)結(jié)合起來(lái)，發(fā)揮了知識(shí)之間相互依存、相互促進(jìn)的作用。第二，內(nèi)容呈現(xiàn)。根據(jù)低年段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，本課采用圖文結(jié)合的方式呈現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題。

學(xué)情分析：低年段學(xué)生的學(xué)習(xí)能力較弱，本課是學(xué)生第一次接觸用圖示的方式表示實(shí)際問(wèn)題，表面看似簡(jiǎn)單，但在思考方式上學(xué)生往往存在思維定式，即低年段教學(xué)的實(shí)際問(wèn)題較為簡(jiǎn)單，往往能直接看出答案。由于學(xué)生未形成完整的解題思考模式，導(dǎo)致解決問(wèn)題時(shí)往往在不分析條件和問(wèn)題的情況下，將問(wèn)題當(dāng)作已知條件來(lái)思考。

基于上述分析，筆者認(rèn)為教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型、感悟模型思想，以培養(yǎng)和提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

1．溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)模型的意義

有學(xué)者指出：“數(shù)學(xué)建模既可以對(duì)數(shù)學(xué)本身進(jìn)行建模，又可以對(duì)實(shí)際問(wèn)題的內(nèi)在關(guān)系來(lái)數(shù)學(xué)建模?！惫P者認(rèn)為，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模的過(guò)程，教師心中首先要有一個(gè)數(shù)學(xué)模型，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)模型表達(dá)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。根據(jù)知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)系來(lái)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，才能有效地幫助學(xué)生理解解決問(wèn)題的思路。如上述教學(xué)中，教師將實(shí)際問(wèn)題和數(shù)的分與合、運(yùn)算的意義相結(jié)合來(lái)講解數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)的意義，既為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型提供依據(jù)，又有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型的概念。例題中的括線(xiàn)表示合起來(lái)的意思，“試一試”中的括線(xiàn)表示分成兩個(gè)部分，追本溯源就是數(shù)的分與合要表達(dá)的意義，與應(yīng)用運(yùn)算符號(hào)“＋”和“－”表達(dá)的意義一致，可以溝通部分與部分、總數(shù)與部分之間的關(guān)系。

2．逐步抽象知識(shí)內(nèi)容，提供數(shù)學(xué)建模的素材

有學(xué)者指出：“數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)原型的一種理想化處理，是一個(gè)科學(xué)的抽象的過(guò)程，因而具有高度的抽象性和形式化特征?！币灿袑W(xué)者指出：“建模應(yīng)先考慮某些最主要的因素，讓其他因素都假定為最特殊的情形，然后對(duì)這些主要因素建模?！睘槭箶?shù)學(xué)模型能夠精確地表達(dá)出知識(shí)的內(nèi)在意義，上述教學(xué)中，教師將抽象貫穿課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，試圖抽象出建模的最主要因素。如例題和“試一試”教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題情境逐步抽象成已知條件和要求問(wèn)題；在解決問(wèn)題過(guò)程中，將學(xué)生表達(dá)的條件和問(wèn)題的關(guān)系抽象成算式，再根據(jù)運(yùn)算的意義，將數(shù)字的意義擴(kuò)大，抽象出一般的概念。又如，在例題學(xué)習(xí)中，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體情境，借助括線(xiàn)和“？”分析條件與問(wèn)題，列出算式5＋3并解釋算式，隨后抽象出5表示一部分，3表示另一部分。其中，“試一試”的學(xué)習(xí)也相同。這樣逐步抽象的過(guò)程，為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型提供了素材。

3．引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析，感悟結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)模型

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模的過(guò)程，發(fā)展模型思想。”根據(jù)低年段學(xué)生的思維以具體形象思維為主的特點(diǎn)，圖示的方式能夠簡(jiǎn)明扼要地表示出問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，利于學(xué)生形成知識(shí)表象。同時(shí)，采用圖示的方式建立數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型，為學(xué)生解決問(wèn)題提供了思路。如在教學(xué)環(huán)節(jié)三的設(shè)計(jì)上，教師注意引導(dǎo)學(xué)生將教學(xué)環(huán)節(jié)一和教學(xué)環(huán)節(jié)二進(jìn)行對(duì)比，總結(jié)出用括線(xiàn)和“？”表示實(shí)際問(wèn)題的形式特征，以及括線(xiàn)和“？”在不同問(wèn)題情境中的實(shí)際意義。同時(shí)，教師將學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)，運(yùn)用直觀(guān)的板書(shū)移動(dòng)的方式，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)模型，形象地表示出具體情境中解決問(wèn)題的思路，提高了學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！蔽阌怪靡桑Ｐ退枷雽?duì)學(xué)生的思維發(fā)展起著至關(guān)重要的作用，在低年段數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)多樣化的生活情境和提供豐富的學(xué)習(xí)素材，使學(xué)生在感受知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的過(guò)程中逐步建立結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)模型，在運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中感受問(wèn)題所表達(dá)的實(shí)際意義，從而激發(fā)學(xué)生自主建模的欲望，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

（責(zé)編藍(lán)天）

［中圖分類(lèi)號(hào)］G623.5

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A

［文章編號(hào)］1007-9068（2016）01-027