本科教學中學生數學知識的建構

侯英

（貴州財經大學 數學與統計學院，貴州貴陽550025）

本科教學中學生數學知識的建構

侯英

（貴州財經大學 數學與統計學院，貴州貴陽550025）

學生數學知識的建構是提高本科數學教學質量的關鍵，關系到學生對知識的掌握和運用。文章根據數學學科的特點，從知識的遷移和運用、多角度探討公式定理、自主探索與合作交流及優化認知結構四個方面分析如何建構數學知識。

數學知識；知識的建構；遷移；自主探索：合作交流

建構主義認為，新知識的學習是以已有知識經驗為基礎的一個主動意義的建構過程。［1］是學習者通過自身原有的知識經驗與外界環境進行交互活動的獲取新知識的過程。本科數學知識的建構是基于學生已有知識及生活經驗，通過模仿、對比、反思等方式，在數學活動中將新知識內化為其自身的知識。

數學是最具探索性的學科之一，如何提高學生學習數學的能力，掌握數學的思維方法是很多教師一直思考的問題。在傳統教學中，教師往往按照大綱的要求講解新知識，通過課堂上的例題介紹基本的解題方法，學生模仿所學的內容記憶和練習。這種方法產生的結果是：學生把應用非常靈活的數學知識學成了只會死記硬背照抄照搬的內容，遇到沒見過的問題不知如何分析解決，變得束手無策。

為了改變教學中不利于學生思維發展的教學模式，現在越來越多的學校在探索新的教學方式，想方設法提高學生學習數學的能力。具體就是教師“向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索與合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”［2］如何讓學生理解、掌握數學知識和技能，是研究學生數學知識建構的關鍵。文章就教學改革中所進行的思考和探索對學生數學知識的建構談幾點想法。

一、通過對知識的遷移和運用構建新知識

遷移就是學生把在一個情境中學到的知識運用到新的情境中的能力。本科數學的內容往往以原有數學知識為基礎，知識點之間聯系密切，如何利用原有知識促進新知識的學習，是教師在課程設計時應考慮的問題。首先，教師要了解學生的數學基礎，根據實際情況確定課程引入所選實例的難易程度，要保證學生熟悉所涉及的知識點，以此引出新的內容才能做到水到渠成。如，線性代數中關于矩陣的初等變換的內容，可以讓學生先回憶行列式的性質及計算方法，學生對此比較了解，然后再介紹矩陣初等變換的三種形式，借助于知識之間的共性將已學方法遷移到后續課程中，形成矩陣初等變換的計算方法。其次，在對知識的運用中建構新知識。比如在學習正態分布這節內容時，教材中給出引理：若N（0，1）。那么這個結論有什么用途，我們可以通過下面的練習加以說明。

練習：某地抽樣調查結果表明，考生的外語成績分布近似于正態分布N（72，σ2），96分以上的占考生總數的2.3％，求考生的外語成績在60-84分之間的概率。

分析：由題意得P｛X＞96｝=2.3％，即P｛X≤96｝=0.977。這時就需要用引理將X先化為標準正態分布，再進一步通過查表求值。

學生在做題的過程中會發現，這個引理實際上是解有關正態分布問題時常用的方法，思路就是將一般的正態分布問題化為標準正態分布去解決。教學中，只有將所學的公式、定理等用于實際問題，學生才能真正抓住數學對象的本質屬性，形成個人知識。

二、發揮學生的想象力，多角度探討公式定理

對數學知識的掌握不僅需要記公式定理，更要深刻理解定義、定理、公式的含義，抓住其內在本質。教學中，教師要提倡在理解的前提下記憶，鼓勵學生用自己的語言說明定義和定理的含義，真正把所學概念構建成自身的知識。比如記可逆矩陣的定理，可以讓學生自己寫一個可逆矩陣，并說明為什么是可逆矩陣。這樣比背矩陣可逆的充要條件是其行列式不等于零效果好。由于數學公式的運用靈活性非常大，而學生習慣于照著教材中的形式來記憶，因此教師在設計教學內容時，可以引導學生從不同角度將所學公式進行一些變形。如由矩陣A的逆矩陣的公式就可以得到，在此基礎上求：“已知A為三階矩陣，|A|=2，求|（3A）-1-2A*|的值是多少？”這樣的題目就不會感到太難。而對于象微分公式d（ex）= exdx，如果讓學生從左到右和由右到左兩個方向記，不僅使學生會求微分，還能使他們容易理解后面學習不定積分這章的湊微分法求有關積分的一些問題。所以如果學生對定理、公式運用得靈活，就能很大程度上提高學生學習數學的能力。教學中要逐步培養學生深入研究定理、公式含義的習慣，教師可以適當拓展教材上的內容，豐富知識點；也可通過習題讓學生進一步理解定理的條件和結論所表達的意思。如概率中的獨立同分布中心極限定理，學生對此定理的內容理解起來感覺困難，如果給出問題：某種電器元件的壽命服從均值為100h的指數分布，現隨機地取16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命總和大于1920h的概率。［3］首先，讓學生分析題目中的條件是否滿足定理的要求。這16只元件的壽命Xi（i=1，2，…，16）是相互獨立的，且都服從指數分布，屬于獨立同分布。由均值為100h，可得E（xi）=100，D（xi）= 10000。其次，分析：如果滿足定理條件應該用什么方法去解決。由定理的結論）為其極限分布，即轉化為正態分布來處理。這樣的教學設計會幫助學生真正理解定理所給的結論和蘊含的解決問題的方法，促進新知識的建構。

三、在自主探索與合作交流中建構知識

本科學生已經具備了一定的學習能力，教師在課堂上要充分發揮學生的主體地位，對每個知識點以探索問題的方式引出所要學習的內容，自始至終引導學生自主探索，調動他們的積極性，盡量讓學生自己動腦去思考。即使他們的思路、方法不完全正確，也可使之從中吸取經驗。在自主探索過程中，不同的學生由于各自的數學基礎、思考問題的角度不同，所取得的效果也會存在差異。因此，學生之間進行合作交流是非常必要的。學生單獨無法解決的問題，通過合作交流，綜合不同的想法，對原有的思考進行補充，就可能得以解決。課堂上，教師根據情況讓學生互相研究討論，各抒己見，發現難點，盡量自己想辦法解決。對實在解決不了的問題，教師不要直接給出答案，應做適當的提示。數學的學習不能只靠課堂上老師的講解，想學好數學必須課后花時間去消化理解，這就需要通過解決一些具體問題來實現。教師可以適當布置一些有難度的練習題，讓學生課后查找資料，小組討論研究。由于每個學生解決問題的方法、途徑會有差別，讓他們互相交流，交換思想，研究討論，可以形成一個互相學習的氛圍。在這里，學生既可以看到自己的不足，也可以學到別人好的思想和方法，從而拓展思考問題的空間，提升自己學習數學的能力，這將有利于學生在今后的數學學習中養成良好的學習方式。

四、把握知識體系，優化學生的認知結構

本科數學的各門課都有其完整的知識體系。而學生原有的知識經驗往往是沒有經過加工的某個定理、公式等非整體的內容，這些知識不會自動形成一個完整的體系。學生在建構知識的過程中，不一定能意識到以前學習的知識點或某種方法和新的內容之間有什么聯系。如果教師在教學中只是按部就班地遵循教學進度講授，學生就會盲目地接受一個個知識點，結果是邊學邊忘，形成了零散的片段。因此，教師在講授每一門課之前應先說明這門課的知識結構，各章之間的聯系；在講每一章之前介紹它的主要內容，及在整個教材中處于什么地位；在學完一章的內容后再讓學生歸納總結所學的重點，自己獲得哪些解決數學問題的方法，能用在什么地方。當學生建構起對問題的深入表征時，就可以發現非常有技巧和領域專門性的快捷策略。［4］如在學習極限之前向學生介紹極限是后一章導數的基礎，導數和不定積分互為逆運算，不定積分的計算公式、方法又是定積分的基礎，而多元函數微積分都是在這些內容的基礎上進一步加深。教師可以根據學生的認知結構，引導學生學會自己歸納總結，形成相互聯系的、完整的知識體系，這樣在知識建構的過程中將有助于幫助他們回憶、復習、比較與新知識點相應的內容，更好地建構新的知識體系。

［1］周友士.基于建構主義的數學概念轉變學習［J］.數學教育學報，2004，3.

［2］中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準［S］.北京：北京師范大學出版社，2001.

［3］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計［M］.北京：高等教育出版社，1989，8.

［4］辛自強.建構學習中知識的動態變化：以數學為例［J］.教育科學，2004，8.

The construction of students'mathematics knowledge plays an important role to improve the quality of undergraduate mathematics teaching，which was connected with the use of knowledge.To construct students'mathematics knowledge，in this paper，the author gives some advice from four aspects:transfer and application of knowledge，discussion of formula and theorem，independent exploration and cooperation，optimization of cognitive structure.

mathematics knowledge；construction of knowledge；transfer；independent exploration；cooperation

G642

A

2096-000X（2016）22-0117-02

侯英，女，吉林公主嶺人，碩士，研究方向：課程與教學論。