從一道物理問題及其變形到幾類積分概念的建立

李盈科，德娜·吐熱汗，葛　清（新疆農業大學　數理學院，新疆　烏魯木齊　830052）

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從一道物理問題及其變形到幾類積分概念的建立

李盈科，德娜·吐熱汗，葛清
（新疆農業大學數理學院，新疆烏魯木齊830052）

摘要：以一道物理問題及其變形為背景，通過這些問題的深入解決，逐步引入高等數學中幾類常用積分概念.隨著問題的橫向展開，把高等數學中常用積分概念巧妙地聯系在一起，使初學者認識到各類積分概念的共性，聯系，同時認識到各類積分概念的差異，從而準確把握、學習各類積分概念.

關鍵詞:物理問題；變形；幾類積分概念

各類積分概念的建立是高等數學中微積分部分教學中非常重要的奠基性工作.積分概念是人類偉大智慧的結晶，它集聚了科學的思維方法，是培養理性思維的重要載體，是學習其他自然科學和工程技術的重要基礎.以往教學中學生學了積分后，往往只會停留在機械地求積分運算層面，而在應用積分思如在大學生數學建模竟賽中）去處理一些實際問題時就會顯得遜色許多.究其原因，我們認為主要是學生沒有理解諸多積分概念的精髓，概念混淆，沒有有機地梳理、串在一起，從而沒有抓住其主旨思想.2014年暑假，我們有幸參加了西安交通大學與新疆大學在烏魯木齊舉辦的2014年全國高等學校非數學專業大學數學基礎課教師暑期研修班，聆聽了馬知恩教授，王綿森教授，李繼成教授等對大學數學中各個板塊的疑難問題的深刻講解，受益匪淺.同時在反思以往教法的基礎之上，通過對一道物理問題的不斷變形的解決，引出了高等數學中幾類積分概念，從而把它們串聯起來，發現效果較好（如在期末課程總結中）.

為了討論方便，我們總假設以下提到的各類密度、力、流量函數等為所討論區域上的連續函數，曲線、曲面為光滑的.下面以一道物理問題及其變形的解決來引入幾類常見積分概念，梳理如下：

1　直細金屬絲的質量——定積分

問題1有直金屬細絲的線密度為μ(x)，求位于區間[a,b]上金屬絲的質量m.

若質量分布均勻，即μ(x)=μ為一常量，易知金屬絲的質量為m=μ(b-a)；若質量非均勻分布，即μ(x)是一變量，我們期望借助于已知處理均勻量的方法，即在在微小局部把非均勻的量看作是均勻的（見圖1）.于是有

圖1　

①“分割”：在區間[a,b]中任意插入若干個分點a=x0

②“求近似”：在小區間[xi-1,xi]上將金屬絲質量金近似看作是均勻分布的，即將此小區間上金屬絲的線密度近似看作其中任一點ξi處的線密度μ(ξi), xi-1≤ξi≤xi.從而得到此小段金屬絲質量的近似值

△mi≈μ(ξi)△xx, i=1,2,…,n.

利用這種處理問題的思想方法可以處理諸如曲邊梯形面積、變速直線運動的路程等問題，它們在數量關系上共同的本質與特征概括為定積分的定義.

定義1[3]設函數f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中插入若干個分點

把[a,b]分成n個小區間[xi-1,xi]，其區間長度為△xi=xi-xi-1,(i=1,2,…,n)在每個小區間[xi-1,xi]上任取一點ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函數值f(ξi)與區間長度△xi的乘積f(ξi)△xi(i=1,2,…,n)并作和

其中f(x)叫作被積函數，f(x)dx叫作被積表達式，x叫作積分變量，a叫作積分下限，b叫作積分上限，[a,b]叫作積分區間.

有了定義1之后，自然地，金屬絲的質量

2　平面金屬薄片的質量——二重積分

問題2若直細金屬絲被鑄造成區域D上，面密度為μ(x,y)的平面金屬薄片，求此金屬薄片的質量m.

此問題的解決類似于問題1，也是“分割”、“求近似”、“求和”、“求極限”四步，只不過分割區間[a, b]換成了對區域D的分割，D分成了n個小閉區域△σi（這些小閉區域的面積也是△σi）（i=1,2,…,n）；第i個小塊的質量近似值為△mi≈μ(ξi,ηi)△σi，其中坌(ξi,ηi)∈△σi(i=1,2,…,n)，取d為所有閉區域△σi的直徑的最大值.此時

把這一形式的和式極限歸納出來，形成了平面區域上二重積分的概念：定義2[4].因此，此平金屬薄片的質量為

3　空間金屬體的質量——三重積分

問題3若直細金屬絲被鑄造成空間區域V上，體密度為μ(x,y,z)的金屬塊，求此金屬塊的質量m.

此問題的解決類似于問題1，不過轉到了對空間三維體V的作用，把這一形式的和式的極限歸納出來，在空間區域上形成了三重積分的概念：定義3[4].因此，此金屬快的質量為

4　彎曲細金屬絲的質量——對弧長的曲線積分（第一型曲線積分）

問題4若直細金屬絲被鑄造成平面弧形，線密度為μ(x,y)的金屬構件L，求此弧形構件的質量m.

類似于問題1，對弧段L進行任意分割，L被分成了n個小弧段，設它們的弧長分別為△si(i=1,2, …,n)，第i個小弧段的質量△mi≈μ(ξi,ηi)△si，其中(ξi, ηi)是第i個弧段上任意一點.用d表示n個小弧段的最大長度，則此弧形構件的質量為

把這一形式的和式的極限歸納出來，在平面曲線上形成了對弧長的曲線積分的概念：定義4[4].因此，此弧形金屬構件的質量為

5　彎曲的金屬薄片的質量——對面積的曲面積分（第一型曲面積分）

問題5若直細金屬絲被鑄造成空間薄曲面片S，面密度為μ(x,y,z)，求此薄曲面片的質量m.

類似于問題1，直細鐵絲變成了曲面S，相應的線密度μ(x)改為面密度μ(x,y,z)，小段直線的長△xi改為小塊曲面的面積△Si，而第i小段直線上的點ξi改為第i小塊曲上的點(ξi,ηi,ζi)，那么，所求的薄曲面片的質量為

其中d表示n個小塊曲面的直徑的最大值.把這一形式的和式的極限歸納出來，在空間曲面上形成了對面積的曲面積分的概念：定義5[4].因此，此薄曲面片構件的質量為

6　變力沿曲線做功——對坐標的曲線積分（第二型曲線積分）

問題6質點受到變力F(x,y)沿平面光滑曲線弧L移動，求此力對質點所作的功W.

設質點在xoy面內受到變力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x, y)j的作用，沿光滑曲線弧L從點A移動到B.若問題為恒力F(x,y)=F沿直線L對質點作用，則作功為W=F|AB|.若為非恒力，則類似于問題1，分四步來處理：

①“分割”：在弧段L中任意插入若干個分點A=M0，M1，…,Mn=B，把L分成n個小弧段.

③“求和”：

其中d表示n個弧段的最大長度.可以看出，d越小，此近似值越高，從而有了④中的極限思想.把這一形式的和式的極限歸納出來，在平面曲線上形成了對坐標的曲線積分的概念：定義6[4].因此，變力F(x,y)沿平面全線L所做的功為

7　流向曲面一側的流量——對坐標的曲面積分（第二型曲面積分）

問題7穩定流體以變速度v(x,y,z)流向有向曲面∑指定側的流量Φ.流體質量Φ.

設穩定流動的不可壓縮流體以速度v(x,y,z)=P (x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在單位時間內流向曲面∑指定側.若各點以恒速為v的流體流經面積為A的平面，則流體流向此閉區域A的法向量v一側的流量Φ=Av·n.若為非恒速，則類似于問題1，分四步來處理：

①“分割”：把曲面∑分成n個小曲面塊△Si（△Si同時也代表其面積）.

②“求近似”：在第i個小曲面塊上流向∑指定側的流向的流量為

其中其中d表示n個小塊曲面的直徑的最大值.可以看出，d越小，此近似值越高，從而有了④中的極限思想.把這一形式的和式的極限歸納出來，在曲面上形成了對坐標的曲面積分的概念：定義7[4].因此以流速v流向曲面∑指定側的流量為

把一根細鐵絲鑄造成直的、曲的、平面的、曲面的不同鑄件，來求這個鑄件的質量，實際上是把連續函數定義在不同的區域上，形成了上述7類積分的概念.認清區域的特點是區分上述7類積分的本質.

8　小結

通過一道物理問題及其變形，逐步建立了高等數學中幾類常用的積分概念.只要確立了問題是定義在直線、平面、空間上的標量，就可以分別利用定積分、二重積分、三重積分的概念來進行解決；只要確立了問題是定義在曲線、曲面上的標量，就可以分別利用對弧長的曲線積分（第一型曲線積分）、對面積的曲面積分（第一型曲面積分）的概念來解決；只要確立了問題是定義在有向曲線、有向曲面上的矢量，就可以分別利用對坐標的曲線積分（第二型曲線積分）、對坐標的曲面積分（第二型曲面積分）的概念來進行解決.通過這中梳理，類比歸納總結，學生會對常用的定積分概念有一個清晰、準確的認識與理解.

參考文獻：

〔1〕華東師范大學數學系.數學分析（第四版上冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.

〔2〕華東師范大學數學系.數學分析（第四版下冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.

〔3〕同濟大學數學系.高等數學（第六版上冊）[M].北京：高等教育出版社，2011.

〔4〕同濟大學數學系.高等數學（第六版下冊）[M].北京：高等教育出版社，2011.

〔5〕馬知恩，王綿森.高等數學疑難問題選講[M].北京：高等教育出版社，2014.

〔6〕陳輝，胡耀華.定積分概念的另一種引入方式[J].高等數學研究，2012，15（6）：39-42.

〔7〕張建，定積分概念的教學思考與實踐[J].數學通報，2013，52（8）：21-25.

基金項目：新疆農業大學高等教學研究項目（2015JXGG07）

收稿日期：2915年10月19日

中圖分類號：O13；O172

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）01-0007-03