二維空間中具間接信號產出趨化模型解的整體存在性

劉冬梅

(東華大學 信息科學與技術學院， 上海 201620)

二維空間中具間接信號產出趨化模型解的整體存在性

劉冬梅

(東華大學 信息科學與技術學院， 上海 201620)

考慮一個山松甲殼蟲的擴散和聚集趨化模型，該模型由兩個反應-擴散方程和一個常微分方程構成.證明了對任意的充分光滑的初始值該模型整體解的存在性，從而排除了解在有限時間爆破的可能性，討論了該模型在初始細胞質量適當小的假設下整體解的有界性.

趨化性； 間接信號產出； 整體存在性； 有界性

趨化性是指由信號濃度的空間變化而引起的細胞的偏向運動.著名的趨化數學模型(以下簡稱KS模型)是由Keller-Segel提出[1].設細胞的密度為u=u(x，t)，而相應的信號濃度為w=w(x，t)，則上述提及KS模型如下：

在KS模型的基礎上，本文研究的是在文獻[8]中提出的關于山松甲殼蟲聚集模式的模型.近年來，由于氣候變暖，主要生活在加拿大的山松甲殼蟲快速繁殖，并給森林造成了巨大的危害.它們把卵產在松樹上，直到第二年夏天時，幼蟲變為成蟲離開樹洞，然后繼續攻擊下一批松樹，再準備產卵.需要強調的是：做窩的甲殼蟲通過釋放一種化學物質來吸引飛行的甲殼蟲[8].而本文關心的是這種甲殼蟲的擴散和聚集行為.

設飛行的甲殼蟲的密度為u=u(x，t)，做窩的甲殼蟲的密度為v=v(x，t)，相應的信號濃度為w=w(x，t)，則關于甲殼蟲的模型[8]如下：

(1)

其中：Ω?Rn是一個光滑有界區域；參數δ>0.模型(1)中，第一個方程描述飛行的甲殼蟲密度隨時間的變化情況，等式右邊第一項表示飛行的甲殼蟲的隨機擴散，第二項表示飛行的甲殼蟲趨向于化學物質濃度增加的方向移動；第二個方程描述做窩的甲殼蟲密度隨時間變化情況，δ表示相應的死亡率；第三個方程表明化學信號由做窩的甲殼蟲產出，并隨時間衰減.

模型(1)給出了一個間接信號產出過程，即這種化學物質并不是由飛行的甲殼蟲直接產出，而是由飛行甲殼蟲轉變而來的做窩的甲殼蟲產出的.從數學的角度來說，模型(1)和KS模型的一個本質區別在于：由直接信號產出的KS模型，在二維空間中，當初始細胞的質量大于某個特定值時，模型的解會在有限時間爆破；而間接信號產出的模型(1)是不可能在有限時間爆破的.更精確地說：

而當t→+∞時，解是否會爆破這一問題，目前尚不清楚，有待進一步深入研究.

如前面所述，KS模型存在臨界質量現象.另外一個有趣的問題是模型(1)是否也存在類似的臨界質量現象？本文將探討這一問題.

為了陳述結論，首先回顧Gagliardo-Nirenberg不等式：設Ω?R2是一個光滑有界區域，則對任意的u(x)∈W1， 2(Ω)，存在CG N=CG N(Ω)>0，使得

成立.

下面陳述有關模型(1)的一個小初值整體解有界的結果.

定理2 假設n=2且設

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C

成立.

1 解的整體存在性：定理1的證明

利用合適的不動點方法可以證明關于模型(1)的解的局部存在唯一性結論.

進一步，如果Tmax<∞，則當t→Tmax時，有

‖u(·，t)‖L∞(Ω)→∞.

證明：該證明過程類似于文獻[9]，故在此不重復其細節.

由引理1.1知，要證明模型(1)的解在Ω×(0， ∞)上存在，需要建立u(·，t)在L∞(Ω)空間中的估計，即要證明：對任何T∈(0，Tmax)，存在某個常數C(T)，使得

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C(T)， ?t∈(0， T)

(2)

成立.

以下的質量估計是建立估計式(2)的起點.

引理1.2 模型(1)的古典解(u，v，w)具有如下性質：

‖u(·， t)‖L1(Ω)=‖u0‖L1(Ω)， t∈(0， Tmax)，

(3)

‖v(·， t)‖L1(Ω)≤

(4)

‖v0‖L1(Ω)+‖w0‖L1(Ω)， t∈(0， Tmax).

(5)

證明：模型(1)中第一個方程在Ω上求積分，并利用分部積分和模型(1)中零流邊界條件得

由此推得

(6)

即式(3)成立.

模型(1)的第二個方程的兩邊在Ω上求積分得

據此并利用式(6)得

(7)

即式(4)成立.

類似地，有

解之并根據式(7)得

從而式(5)得證.

證明：模型(1)中第一個方程兩邊同時乘以lnu后再在Ω上積分，并利用分部積分、零流邊界條件及Young不等式得

(8)

其中：ε>0為任意常數.

接下來，模型(1)中第二個方程兩邊同時乘以2v后在Ω上積分，并利用Young不等式得

(9)

再由模型(1)中第三個方程兩邊同時乘以(-Δw)后在Ω上積分得

由此并利用Young不等式得

從而

(10)

綜合式(8)～(10)得

(11)

利用Gagliardo-Nirenberg不等式進一步估計式(11)中右邊第二個積分

(12)

舍棄不等式左邊后3個非負項得

(13)

則式(13)變為

y′(t)≤c1y(t)+c2，

即

從而引理1.3得證.

為了建立u的Lp估計，需先引入下列關于熱方程的正則性引理[9].

引理1.4 假設n=2并設z0∈W1， ∞(Ω)， f∈L2(Ω)，z滿足方程

則對任意的1

‖z‖W1， q(Ω)≤C(q)‖f‖L2(Ω)， t>0.

(14)

證明：根據模型(1)中第三個方程知，式(14)是引理1.3和1.4的直接推論.

(15)

成立.

證明：根據模型(1)中的第一個方程直接計算，并利用Cauchy不等式得

(16)

進一步，由式(14)得：存在某個常數c1(p，T)，使得

(17)

再利用Gagliardo-Nirenberg不等式及式(3)估計式(17)中右邊的積分

因此

從而由Young不等式得

(18)

綜合式(16)～(18)得

因此

引理1.6得證.

定理1的證明：根據模型(1)中的第一個方程，利用估計式(14)和(15)及標準的Moser迭代[10]可以得到

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C(T)， t∈(0， T).

(19)

據此并利用引理1.1及其中的延拓準則知：

Tmax=+∞，

從而定理1得證.

2 解的有界性：定理2的證明

由解的整體存在性的證明過程可以看出，要證明模型(1)的解在Ω×(0， ∞)上有界，關鍵要建立u的Lp(Ω)(關于t的)一致先驗估計.下面的基本引理在后面將會用到.

引理2.1 存在常數C>0，使得

(20)

成立.

證明：利用洛必達法則得

因此，存在某個常數A>1，使得s>A時成立

從而由Young不等式得

(21)

又因為

所以，存在c1>0， 滿足

(22)

綜合式(21)和(22)得

下面建立v的L2一致先驗估計.

引理2.2 令n=2. 假設

(23)

(24)

則存在某個常數C>0，使得模型(1)的解滿足

(25)

證明：由式(8)得

(26)

再由式(9)得

(27)

最后由式(10)得

(28)

綜合式(26)～(28)得

由假設式(23)知：2δ-3≥0，因此

t>0，

滿足

t>0.

再根據引理2.1知

(29)

由式(12)得

(30)

將式(30)代入式(29)得

t>0，

z′(t)+z(t)≤c2.

解之得

z(t) ≤z(0)e-t+c2(1-e-t)≤

z(0)+c2∶=c3，t>0.

因此

引理2.2證畢.

根據引理2.2和1.4可以直接得到下面的推論.

(31)

成立.

接下來，建立u的Lp(Ω)一致先驗估計.

(32)

成立.

證明：由式(16)得

(33)

進一步，利用Young不等式及式(31)得：存在某個常數c1(p)滿足

(34)

由式(18)得

(35)

綜合式(33)～(35)得

(36)

根據Young不等式得：存在常數c5(p)>0，使得

成立，由此并利用式(35)得

(37)

其中：η>0為任意常數.將式(37)代入式(36)的右邊得

解之得

因此引理2.4得證.

定理2的證明：根據模型(1)中的第一個方程，利用估計式(31)和(32)及標準的Moser迭代[10]可以得到：存在常數C>0，滿足

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C， t>0.

由此定理2得證.

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Global Existence in the Two-Dimensional Chemotaxis Model with Indirect Signal Production

LIUDong-mei

(College of Information Science and Technology， Donghua University， Shanghai 201620， China)

A chemotaxis model describing the diffusion and aggregation of the Mountain Pine Beetle is considered. The model consists of two reaction-diffusion equations and an ordinary differential equation. It is shown that the model admits global solution for arbitrarily sufficiently smooth initial data， which excludes the possibility of finite-time blow-up. The boundedness of solutions is asserted whenever the initial cell mass is appropriately small.

chemotaxis； indirect signal production； global existence； boundedness

1671-0444(2016)01-0137-08

2014-12-01

劉冬梅(1987—)，女，安徽宿州人，博士研究生，研究方向為偏微分方程及應用.E-mail： liudongmei121@sina.cn

O 175.26

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