用數學建模 以逆向求因

杜月嬌

探析萬象，數學之理不可或缺。數學家能夠以一系列數學符號為依托，幾近全面地把浩瀚繁雜的世間面貌“濃縮”在一個個多維模型里。

“80后”青年導師、浙江大學數學系研究員徐翔對數學的熱愛概因如此。無論是以往對數學物理反問題的基礎理論研究，還是目前對納米材料體系的光、電以及機械能之間的轉移轉化研究，他始終聚焦于逆向求因，用邏輯推演，撥開團團迷霧，形成條理清晰的數學之理。

多年來，他憑借持之以恒的科研態度、強烈的合作精神、開朗樂觀的處事哲學，用數學這一“工具”對某些“既成”規律一遍遍反向推演，以驗真偽；對諸多工業應用問題加以分析，建立一個個更準確、真實的“縮微”模型；不斷拓寬與其他交叉學科的融合之域，把數學這一“萬象根本”落到實處，為探討多種規律與科學提供理論支撐，同時腳踏實地把所學之識應用于社會發展的浪潮中。

走上科研的“高塔”

興趣是最好的導師。徐翔對數學的分外熱愛，讓他一步步的攀登著科研的高峰。

高考后，他進入東南大學數學系信息與計算科學專業。四年大學培養了他用數學思維“抽絲剝繭”的能力，即使在信息大爆炸的當前社會中，也能條分縷析地把復雜變簡單，化世間繁蕪為精確的數學模型。同時，信息知識與計算機課程的學習，無疑讓他建立了更發散的科研思維，幫助他走上更寬闊科研之路。

2005年本科畢業后，為尋求更高層次的學術造詣，他入讀復旦大學計算數學專業攻讀博士學位，開始踏上了數學反問題研究的真正旅程。讀博期間，一邊跟隨導師做科研，一邊訪問幾所日本帝國大學，多年扎實的數學理論根基在與一些實踐項目的對接過程中爆發了。他，如魚得水。

不過，對專業的熱愛，讓他在浙江大學讀了一年博士后之后，于2011年毅然辭職遠赴美國密歇根州立大學繼續進行博士后研究。

在美麗的紅衫河畔，徐翔在數學物理反問題的研究領域更上一層樓。他也開始由基礎數學研究走向實際應用領域。

在這位青年導師的心里，他在慢慢靠近科研這座“高塔”。

深耕反問題研究

正問題解釋的是時空域中順時針的物理變化過程，由因導果；而反問題恰恰相反，它探討的是由果至因。在規律與科學的既定區域，可以由因而果、由過去預測未來；但在模糊地帶，憑借現有結果現象來反向推演其中的邏輯理論，則會因諸多不適定問題的存在而變得相當復雜。

但徐翔卻認為，“這是一件非常有趣的事情”。通過數學模型的反演，可以“恢復歷史的本來面目”。這也許是他癡心于數學推理的原因。“符號、邏輯即能由表及里”，撥開現象看本質，這就是獨屬于數學的神奇力量。

憑借科學研究上的天分、交流溝通上的擅長，他讀博期間就開始對日本東京大學、北海道大學、香港浸會大學等進行學術訪問，參與國際合作項目。

他訪問日本東京大學，與東大山本昌宏教授合作，對一般分數階擴散方程的反源問題進行系統研究，首次獲得了一類特殊情形下的分數階擴散方程的Carleman估計。在驚喜的同時，他又乘勝追擊，以此估計為基礎，對Cauchy問題、系數反演等經典反問題又進行了一遍遍推演，最終得到了條件穩定性估計。他把實驗結果形成論文，于國際著名期刊《Inverse Problems》發表后，引起業內廣泛關注，并于同年被編委選作亮點論文收錄。

他在訪問北海道大學期間，全程參與北海道大學與新日鐵公司的燒結項目。在項目初始，設立假說，通過鋼鐵的冶煉數量，如何確定所用材料及材料數量？這涉及到物理反問題。他運用逆向推理手段，針對鋼鐵冶煉過程中的鐵礦石、碳粉及石灰石的早期預處理過程進行了數學建模，模擬了現場的實際運作，規避了潛在的早期威脅，極大地縮短了實驗過程，從而創造了巨大的經濟效益。

訪問香港浸會大學期間，他在擬譜方法問題上與湯濤教授合作，首次利用該方法對Volterra型積分方程的高精度算法進行推演，導出嚴密的收斂性分析。并在此基礎上提出，對一般初值問題可采用擬譜方法處理來提高精度。相關論文一經發表，即吸引了學術界的廣泛關注，短時間內就被引用65次。

除進行多次國際校間訪問交流外，由于在反問題上的顯著成績，也讓徐翔成為國際會議力邀的對象。2010年，被特邀在香港城市大學召開的國際反問題會議上進行一小時報告；2013年，在第五屆國際反問題理論與計算分析研討會上獲得曙光青年學術獎；2014年，在美國德州農工大學召開的國際分數階方程會議上被特邀做一小時報告；擔任中國計算數學會理事，同時兼任多個國際著名雜志特約審稿人……

現代科學與技術的快速發展，成為驗證科學假說的有力武器。由果索因，由已知解確定方程中的未知量，乃是反問題的基本路徑。近20年來，我國反問題研究的腳步日益加快，這一研究手段尤其被廣泛應用于礦產探測領域、航空航天領域、納米材料等應用領域，作用地位已不容小覷。

新形勢下，需開拓創新。徐翔把自己在反問題上的認識貢獻于領域發展的同時，也確立了新的研究方向。

用數學思維解構納米材料

雖埋頭于實驗室科研，但徐翔卻常常關注社會前沿。如何把已知理論應用于實踐，把已知科研成果惠澤于社會？他把眼光瞄準了國內外風頭正盛的納米材料領域。

納米作為一個長度單位，可以丈量微觀世界。一納米是1米的十億分之一，與一根頭發絲相較時，大約是其八萬分之一。納米雖微小，但納米材料的各項特質，讓人們見識到納米的神奇“威力”。近年來，納米技術的迅猛發展，讓人們日益清楚地認識到納米材料的多項特性及在社會發展中的重要功用，因此被奉于航空航天、生物醫藥、能源及環境等諸多領域的“座上賓”。

在徐翔看來，納米“身形”過于嬌小，現存技術手段很難直接被測量出其物理性質及力學性質，借助電子顯微鏡等系列精密儀器做分析時，仍會存在不確定性的誤差，因此在納米材料的制備、材料的可操作性上就無法達到預期的效果。

那么，用數學思想如何攻克納米材料難題呢？

憑借多年數學反問題研究經驗，徐翔深切地認識到把納米材料與數學反問題理論兩者相結合，建立合適模型，進行數值反向求解，能夠更加準確地分析出納米材料的力學特性。

確定新的研究方向后，徐翔把研究重點一分為二，一是復合納米體系中光能量的轉移與轉化計算；二為納米材料機械性質的數學定量分析。把數學理論、物理知識均囊括其中。

在納米體系中機械能與電能的轉移與轉化方面，徐翔以宏觀彈性力學方程與微觀波爾茲曼的耦合下的電場變化為焦點，用數學理論對壓電電流的產生等某些物理現象進行了數學刻畫。

在納米材料機械性質的定量分析中，徐翔帶領團隊在楊氏模量粗略估計、應力—應變關系及共振頻率法等現存研究方法的基礎之上，提出了在納米材料的非均一性中，基于此類模型測量之下的準確性尚有爭議，“這為新研究方法的實施提供了空間”。

2014年，徐翔把這一想法訴諸筆端，申請主持國家自然科學基金項目——“納米材料性質定量分析中的反問題”，并得到批準。于是，他開始把數學反問題的研究思想“鑲嵌”于納米材料，走上新的一段科研征程。

那么，哪種數學理論更合適呢？

他首先想到了數學上的偏微分方程。“可以把它當作一個偏微分方程系統中的參數識別問題來看”。

沿襲以往的研究成果，徐翔帶領團隊成員決定開拓創新，將課題進行拆分，細分成靜態與動態兩種研究方法。其中，在靜態法研究中，他提出了正問題的邊值問題，將數學中的經典反問題與隨機過程相結合，為求發展一套具有隨機源項的偏微分方程來去除測量中產生的系統誤差，并利用反問題中的正則化技巧求解，對工程中的測量數據進行精準分析，在理論上獲得一定置信度下的收斂性，使納米材料剛度、強度等的物理特質的測量更加準確。

在動態法研究中，徐翔采用共振頻率來測量確定納米材料的力學性質，即數學上的反譜問題定理。他認為，在反演過程中，若無法保證問題的唯一性，就要發散考慮多組邊界條件下的共振頻率。

在納米材料特性的相關反演實驗中，徐翔帶領團隊還針對納米材料中最新提出的壓電電子學和壓電光子學進行了深入研究，所提出的反問題理論方法與數值模擬技術，宛若讓現階段納米材料制備與測量的研究沖破瓶頸，進入到一個更加開闊的發展階段。

持之以恒 腳踏實地

古語云：鍥而舍之，朽木不折；鍥而不舍，金石可鏤。對真正做科研的人來講，選擇科研，即是選擇了無窮盡的探索。

多年來，徐翔始終懷揣著對科研的敬畏與熱情，敏銳地觀察社會動態，把手中的科研工具與社會發展結合起來，為一些科研難題尋找突破口。無論是數學反問題的縱向挖掘，還是與其它學科的橫向交叉研究，他利用堅實的理論知識、勇于創新的挑戰精神，一步一個腳印地克服困難，實現預期目標。

審視以往，直面未來。自2013年入選青年“千人計劃”被引進浙江大學以來，徐翔對科研、對教學都有著一番設想。

在科研上，他以多年實踐經驗為基礎，借助學校光電中心完整的微納制備加工和測量設備，在國家“千人計劃”包剛教授領導的反問題研究團隊的支持下，繼續把數學反問題研究進行深入挖掘，解決納米材料中多物理、多尺度量子電動力學問題的建模和計算，期冀在納米材料特性的探索上更進一步。另外，與社會需求接軌，著眼于科研成果的量化，對納米新材料的研制以及生物醫學早期診斷提供理論支持。

在教學上，踏實認真教授課程的同時，徐翔還為學生積極創造國際交流的機會，拓展學生視野，也讓他們跳脫出傳統實驗室，真正了解社會前沿，培養更加敏銳的科研洞察力。在他看來，建立一支技能高超、做事認真、眼界開闊的高效合作團隊，也是未來規劃的重點。