函數(shù)概念教學的哲學思考

【摘 要】 函數(shù)概念是哲學上發(fā)生真理性認識的一個現(xiàn)實的實例，它的教學設計的一種有效程序可以刻畫為：首先，通過“教材分析”離析出知識所內(nèi)含的“核心思想”；其次，選擇相關材料啟發(fā)學生再次萌生“核心思想”進而形成“規(guī)范性表達”；再次，從發(fā)生數(shù)學概念認識的上述兩個環(huán)節(jié)中獲得“啟發(fā)性成分”；如此，最大限度地發(fā)揮數(shù)學知識的教育價值.其中，離析“核心思想”需要教師的整體精神活力的支持，是教師的綜合素養(yǎng)的集中體現(xiàn).

【關鍵詞】 高中函數(shù)概念；核心思想；規(guī)范性表達；啟發(fā)性成分

數(shù)學教學所要傳授的知識相對固定（其最低限度已經(jīng)清楚地寫入課程標準）.但是，通過何種方式來傳授這種已經(jīng)設定了的知識，卻隨著教師的教學設計的取向不同，預設的教學目標不同，持有的教學觀念不同，獲得的教學經(jīng)驗不同，理解特定數(shù)學知識性質(zhì)不同，揣摩發(fā)生特定知識的學生認知方式不同，估計發(fā)生知識時學生現(xiàn)場心理活動意向不同，存在多種選擇余地.不同的教學設計對發(fā)揮數(shù)學知識的教育價值，促進學生素質(zhì)發(fā)展的結(jié)果大相徑庭、迥然有別.本文所討論的主要是筆者從自己的教學實踐中總結(jié)的一種可操作數(shù)學概念教學設計的程序，及其對這一程序舉例加以說明.

1 函數(shù)概念教學設計的一種可操作的程序

數(shù)學教學設計是一項結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性的整體工程，合理的數(shù)學教學設計的源頭（或立足之基）集中地體現(xiàn)于互相關聯(lián)的三個側(cè)面：理解要傳授的具體數(shù)學知識所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的組成序列（簡稱“教材分析”）；把握學生發(fā)生數(shù)學認識（針對“教材分析”獲得的知識環(huán)節(jié)及其聯(lián)接中介）的心理活動環(huán)節(jié)及其過渡性中介的組成序列（簡稱“學情分析”）；通過創(chuàng)造性工作找到貫通這兩方面環(huán)節(jié)序列之間的切合點（可以溝通的元素）、實現(xiàn)兩者之間的關聯(lián)（簡稱“關聯(lián)分析”）.如框架圖1所示[1].

筆者在這個基礎又發(fā)現(xiàn)了發(fā)揮數(shù)學（概念）知識教育價值的一種可操作的程序，那就是，首先，從“教材分析”中離析出數(shù)學（概念）知識的“核心思想”，在教學中，不是將它直接地“奉獻”給學生，而是想方設法地啟發(fā)學生從自己的數(shù)學現(xiàn)實中獨立地萌生這一“核心思想”；其次，找到承載這一核心思想的材料，設置情境，鼓勵學生將這一核心思想轉(zhuǎn)化為“規(guī)范性表達”，從個性化角度來說，再次生成全新的數(shù)學知識（作為社會化的角度而言，它已經(jīng)是陳舊的知識了）；再次，通過教師的啟導，學生從萌生“核心思想”到“規(guī)范性表達”的這一整套過程中獲得運用知識的“啟發(fā)性成分”.

在這個程序的三個環(huán)節(jié)中，最為基礎與關鍵的是從所要的傳授的知識，通過“教材分析”離析“核心思想”的這一環(huán)節(jié).因為，有了“核心思想”，加之以教師選擇合適的教學材料，經(jīng)由情景設計，循循誘導、步步啟發(fā)地引導學生，他們就一定會或早或遲總可以形成“規(guī)范性表達”的，但是，就教學設計來說，從“核心思想”到“規(guī)范性表達”是需要教師特別注意的，那就是要經(jīng)由這一過程應該將其中所隱含的“啟發(fā)性成分”發(fā)揮得淋漓盡致.為此，我們以高中函數(shù)概念教學設計為例加以說明.

2 基于此程序的函數(shù)概念教學設計

教科書上提供的函數(shù)概念的表述：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f∶A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function），記作

y=f（x），x∈A.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫函數(shù)的值域（range）[2].我們就此概念研究教學設計的程序.

（一）哲學思考：離析核心思想

從教科書上所提供的字斟句酌的函數(shù)概念定義表述中，我們發(fā)現(xiàn)這個定義的組成元素為兩個集合A與B，其中集合A中的元素是函數(shù)的“定義域”，但是，一般情況下，集合B中的所有元素并非是其“值域”，值域可能只是集合B中元素的一部分（特殊情況下，也可能是其全部），它的最為核心的元素就是“對應”.“對應”是“綱”，集合A與集合B及其生成的“定義域”與“值域”是“目”.那么，關于函數(shù)定義的教學設計我們應該緊緊抓住“對應”這個元素，處理好了它，就可以綱舉目張，達到啟發(fā)學生徹底地理解它的目的.

這個定義的字斟句酌的“規(guī)范性表達”，給剛剛進入高中的學生的學習造成了很大困難，因此，我們在分析這個概念結(jié)構(gòu)時，必須要理出一種秩序，在這種“規(guī)范性表達”中，何謂它的“核心思想”？通過這個“核心思想”如何將這些材料織就成這種嚴密的數(shù)學結(jié)構(gòu)——“規(guī)范性表達”？進而從函數(shù)概念的“核心思想”到“規(guī)范性表達”的現(xiàn)實實踐過程而產(chǎn)生的“啟發(fā)性成分”？這是“教材分析”與“學情分析”首先要解決的問題，并以此為基礎，教師通過悉心考慮，找到教學設計的可執(zhí)行的現(xiàn)實途徑.

建立兩個領域相關元素“對應”關系方式的工作原理是，把兩個領域的相關元素通過建立“對應”關聯(lián)起來，對于研究它的人來說，它們當中的一個領域中的元素形成的知識（關系與結(jié)構(gòu)）是比較地清楚明白的，而到目前為止，另一個領域中的元素的關系與結(jié)構(gòu)我們知之甚少，或一無所知，通過兩者建立成的“對應”，就可以將未知領域中的元素的關系與結(jié)構(gòu)，憑借已經(jīng)獲得的已知領域中元素的關系與結(jié)構(gòu)（知識）加以衡量、估計與推測.如此，利用“對應”的手段建立一種可靠的體系發(fā)生真理性認識的方法[3].這正是高中階段利用函數(shù)的抽象性的教學資源，盡可能地形成學生的深層次的體驗，在高中數(shù)學教學伊始，教師對此必須深入思考與皆盡可能地進行教學研究的問題.

通過如此分析，我們可以看到，函數(shù)概念的“對應”的思想，具有哲學上的發(fā)生真理性認識的認識論意蘊， 是哲學上發(fā)生真理性認識的一個現(xiàn)實的實例，體現(xiàn)了使用數(shù)學的方法探究、發(fā)現(xiàn)真理性認識的精神.它構(gòu)成了函數(shù)概念的“核心思想”，教學設計的過程就是設法將這種“對應”的“核心思想”，透過選擇材料與基于材料進行問題情境的設置，通過建構(gòu)的活動過程，啟發(fā)學生從現(xiàn)實的學習過程中體驗如此思想.

（二）教學設計：啟發(fā)建構(gòu)“核心思想”形成“規(guī)范性表達”獲得“啟發(fā)性成分”

筆者必須要花費點筆墨來敘述自己關于函數(shù)概念教學設計的真實經(jīng)歷：筆者從函數(shù)概念的定義中離析出了它的“核心思想”——發(fā)生真理性認識的一種方法，如果我們只是泛泛地用語言形式向?qū)W生解釋使學生理解這種思想，也是一種教學途徑，那更多地是哲學課的講授教學形式所采納的.數(shù)學知識及其運用是這種思想的具體體現(xiàn)，應該讓學生現(xiàn)實地體驗它，最好的方式就是創(chuàng)設問題情境，使學生從具體的問題情境中構(gòu)建出函數(shù)定義中的關鍵要素“對應”的“核心思想”.

筆者在這種觀念的指導下，經(jīng)過很長時間思考，這一觀念似乎在筆者的大腦中設置成了一個強烈的磁場，任何與如此問題相關的可能有價值材料的鐵屑飛過，都難以逃脫它的捕獲.最先想到的是釣魚的原理：有釣魚經(jīng)驗的人都知道，釣魚主要是推測與判斷魚咬鉤，但是，魚是否咬鉤在水下，我們不能直接地看到，那么，如何做出推測呢？這就需要將本來看不見的魚咬鉤的動作轉(zhuǎn)化為可以觀察到的標識物，就是通過浮在水面上可以看得見的浮標的運動來推測水下魚咬鉤的動作.這兩者的建立的關聯(lián)（或“對應”）是運用已知的結(jié)論去估計未知的結(jié)果發(fā)生的可能性，這就需要建立一種“對應”來達到目的.

但是，筆者以為，如果就運用這種現(xiàn)象性的材料作為提示學生理解函數(shù)的“核心思想”的話，那也就意味著是將這種“對應”要素產(chǎn)生過程直接交給了學生，這與直接地向?qū)W生解釋說明其實沒有多大區(qū)別.因為，一方面，在這樣的情況下，學生并不是利用自己的整體精神活力建構(gòu)了這一“核心思想”，而只是通過生活現(xiàn)象的啟發(fā)，直接地接受了這種“核心思想”；另一方面，沒有啟發(fā)學生體驗數(shù)學學科的價值.因此，如此設計的效果也不會太理想，它依然是一種解釋性而不是鼓勵學生萌生知識“核心思想”的手段促進學生發(fā)生數(shù)學認識的.

如此，它構(gòu)成了一個鮮活的問題，筆者等待著觸發(fā)靈感解決它的機會.果然，有一次，坐在大巴車上，車進加油站加油，當我看到油罐桶臥在那里的時候，筆者突然想到了解決這一問題的教學設計的現(xiàn)實材料了，回家后，立即作了這樣的設計：

師：新北區(qū)（常州國際學校坐落在這個區(qū)）的“月星”加油站需要知道油罐桶中的存油量（就是圖2中的陰影部分的體積V），如果經(jīng)理請你給他一種比較精確的答案，你打算通過怎樣的手段來獲得這一數(shù)據(jù)？

師：經(jīng)理會不會讓工人將油罐桶里的油料倒下來，然后再運用標準容器來一次又一次地測量從而獲得它的體積呢？

生1：肯定不會這樣做.

師：老師也是如此想的，這樣做就極大地增加了成本，幾個工人可能一天也不能完成這件事.那怎么辦？

生2：我想通過數(shù)學計算來避免具有許多工作量的事務性的測量活動.

師：一個很好的想法！那么，要進行計算就需要獲得一些數(shù)據(jù)，我們可以假定這個油罐桶是一個柱體，它的豎截面是一個圓，這個圓的半徑為r，柱體的長為d.還需要那種數(shù)據(jù)才會有利于求出陰影部分的體積？

生3：我們只要知道豎截面的那個陰影弓形的面積就行了，而要知道陰影弓形的面積，我們只要知道這個弓形的高就行了，這個弓形的高是比較好測量的.

師：生3同學的意思是，我們只要測量出豎截面的陰影弓形的高h，就可以得到這個油罐桶中的油量體積V了.

師：生3的想法是一種非常好的想法.就是將不容易測量而得到的油料體積V轉(zhuǎn)化為非常易于測量的弓形高h（如圖3），從而，利用弓形高來推知儲油罐里的油料的體積V.事實上，就是建立了一種“對應”關系：有一個弓形高h就會產(chǎn)生一個油料的體積V.

師：這種分析中其實隱含了一種一般性的解決問題的思想，其骨架是，在數(shù)學中，當我們面臨一個難于測量得到結(jié)果的問題（本例中的體積V），常常將其轉(zhuǎn)化為一個易于測量得到結(jié)果的問題（本例中的弓形高的線段長度h），它的條件是，這兩個量之間具有一種換算的關系（特別指出的是，這里對于每一個確定的長度h都可以確定唯一的體積V，這就是為什么選擇油罐桶置于其上的平面為測量弓形高的起點，而不是水平的中軸面為測量起點）.

師：我們將這種思想一般化，就是在兩個數(shù)集中，一個數(shù)集（一般是實數(shù)集，我們對它的相關性質(zhì)已經(jīng)透徹理解了）中的元素形成的關系與性質(zhì)我們非常容易地取得，而另一個數(shù)集中的元素的關系與性質(zhì)我們難以取得，如果將這兩個數(shù)集之間形成一種“對應”關系，那么，我們就可以用容易取得數(shù)集中元素的關系性質(zhì)去推測與估計不容易取得數(shù)集中元素的關系性質(zhì).這就是我們今天所要研究的函數(shù)概念的核心思想的要旨所在（余下，通過這種設計，引導學生將其“核心思想”轉(zhuǎn)化為函數(shù)定義的“規(guī)范性表達”，這里略而不記了.下面的設問，是檢驗學生獲得了的“啟發(fā)性成分”的情況）.

師：現(xiàn)在，你對在初中已經(jīng)的學習過了的反比例函數(shù)y=kx（k≠0）有什么新的認識？

生4：根據(jù)我對剛才所定義的函數(shù)概念的理解，這里就是運用已知的函數(shù)y=x，即實數(shù)自身來推測y=kx（k≠0）的相關性質(zhì)，如定義域、值域及其相關圖像所產(chǎn)生的性質(zhì)等.

師：是的，就是這樣的.后面還要學習函數(shù)的許多其他性質(zhì)，也基本上都是去利用函數(shù)y=x來加以推測的，我們到時候再加以學習.

如此教學設計，突出了啟發(fā)學生萌生函數(shù)概念所內(nèi)含的“核心思想”，通過問題情境的創(chuàng)設，鼓勵學生自己建構(gòu)出了函數(shù)概念中的“對應”的要素，藉此，促使學生體會到函數(shù)概念具有哲學認識論中的方法論意義，體驗開拓方法、發(fā)現(xiàn)客觀規(guī)律時，主體精神活力的能動性作用.這種突出萌生“數(shù)學思想”的教學設計是偏于知識，或突出能力的教學設計意旨所無可比擬的.

3 結(jié)語

由此我們看到，在教學設計時，教師“教材分析”這一環(huán)節(jié)重要性，王策三先生說，“知識好比一個百寶箱，里面藏了大量的珍寶；不僅內(nèi)含有關于客觀事物的特性與規(guī)律，而且內(nèi)含有人類主觀能力、思想、情感、價值觀等精神力量、品質(zhì)與態(tài)度.因為知識是人類歷史實踐、認識活動的結(jié)果凝結(jié)在里面的，因而知識更內(nèi)含有知識原始獲得的實踐認識活動方式和過程”[4].王先生接著說明，要將知識中的這些育人價值挖掘出來，就要將知識打開，即把知識原創(chuàng)者的實踐認識活動方式和過程，加以還原、展開、重演、再現(xiàn)，使學生與人類總體“相遇”；然后，依據(jù)“學情分析”的結(jié)果（其實是揣摩學生發(fā)生知識認識時的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介的建構(gòu)），將獲得的這一過程進行改造、專門設計、簡化、典型化，如縮短過程、平易難度、精簡多余等.如此，以保證學生可以比較順利地再創(chuàng)造出前人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的知識，并且從中獲得最大的教益.

本文所論述的數(shù)學教學設計的“三項分析”是王先生這一論述的突出體現(xiàn)，其中，通過“教材分析”，離析出其中內(nèi)含的“核心思想”對經(jīng)由教學設計發(fā)揮知識的教育價值具有舉足輕重的作用.其實，如此進行教學設計的環(huán)節(jié)也是非常簡單的，就是“離析‘核心思想”；到“選擇相關材料啟發(fā)學生再次萌生‘核心思想進而形成‘規(guī)范性表達；再到“從這發(fā)生認識過程中獲得‘啟發(fā)性成分”.從筆者自己設計這一教學活動過程中，離析“核心思想”需要教師的整體精神活力的支持，這對數(shù)學教師提出了很高的要求，是教師的綜合教學素養(yǎng)的集中體現(xiàn).

關于數(shù)學教學設計理念更深的理解，我們可以首先引用威廉·卡爾文的建議，“智力就是你不知怎么辦時動用的東西.但是，富有智慧則有更多的涵義，這是一種創(chuàng)造性能力，憑借這種能力你會瞬即想出新主意，各種答案在你的大腦中接踵而至，一些比另一些更好”[5].因此，通過知識的教學發(fā)展學生的智力，進而增加學生的智慧，最好的方式是教師需要設計出一種學生“不知道怎么辦”的問題場景，使學生直面問題所在，從而迫使他們動用自己的智力，從中萌生新思想，想出新辦法，生成新觀念.而不是把解決具體問題的方法呈現(xiàn)給學生，甚至也不能提示學生解決問題的具體方法，必須迫使學生針對具體問題萌生思想，再從這種思想中生成駕馭具體問題的數(shù)學方法.

我們知道，數(shù)學知識最終是數(shù)學思想的物化形式，但是，在將其轉(zhuǎn)化為育人的資源時，它們是不能如同物質(zhì)性的材料一樣地互相傳遞的.數(shù)學知識的學習過程，絕不是如同使用微機‘下載文件的方式進行的，不能直接將他人已經(jīng)形成的知識吸收進入學習者的智囊.數(shù)學知識是一種承載思想的載體，是人與人數(shù)學思想交流的一種中介物.于是，數(shù)學知識作為教育資源時，必須要將隱藏在數(shù)學知識中的數(shù)學思想重新發(fā)掘出來，在數(shù)學知識所設定的場域中，學習者與前人（他人）進行思想交流，在前人（他人）思想的啟示中，受教育者重新萌生出數(shù)學思想、并再造出數(shù)學方法，從而再一次形成具體的數(shù)學知識[6].

這就是說，數(shù)學教學設計的合適途徑應該是，利用數(shù)學知識的載體，直面學生發(fā)生數(shù)學知識的心理環(huán)節(jié)，在學生已經(jīng)習得的知識與經(jīng)驗中，找到奠基發(fā)生新知識所缺乏的數(shù)學思想，設法幫助學生從這種思想中產(chǎn)生出數(shù)學方法.這就需要學生面臨真正的問題，也就是體現(xiàn)威廉·卡爾文所強調(diào)的“不知怎么辦”的關節(jié)點，它正是教師利用數(shù)學知識促進學生萌生數(shù)學思想的至關重要的環(huán)節(jié).學生發(fā)生了數(shù)學思想之后，就會迫使他們在驗證自己的思想的過程中產(chǎn)生新方法，形成（對學生而言的）新知識，從而擴展智力，增加智慧，形成數(shù)學能力.由此可知，萌生數(shù)學思想的教學設計才是數(shù)學教學的最高境界.

參考文獻

[1] 張昆，曹一鳴.完善數(shù)學教師教學行為的實現(xiàn)途徑[J].數(shù)學教育學報，2015，24（1）：34.

[2] 劉紹學主編.高中數(shù)學課本·必修①[M].北京：人民教育出版社，2007：16.

[3] [英]卡爾·波普爾.客觀知識——一個進化論的研究[M].上海：上海譯文出版社，1987：35.

[4] 王策三.認真對待“輕視知識”的教育思潮——再評由“應試教育”想素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌提法的討論[J].北京大學教育評論，2004（7）；2（3）：16.

[5] [美]威廉·卡爾文.大腦如何思維：智力演化的今昔[M].楊雄里，梁培基譯，上海，上海科學技術(shù)出版社，1996∶1.

[6] 張昆.數(shù)學解題教學設計的創(chuàng)新實踐研究——基于“美學”的視點[J]. 數(shù)學教育學報，2015，24（5）：43.