“通性通法”是解題教學之大道

沈金興　孫沖

【摘 要】 中學一線教師的解題教學往往注重在講解與技巧方法上，缺少數學原理的挖掘與學生的反思，因而顯得教學效率不高.針對此類現象，本文以圓錐曲線中的一道高考題為例，在課堂教學中突出“通性通法”的講評，使學生舉一反三，探究出了更多結論，從而得出了解析幾何中的若干教學啟示，同時也印證了“通性通法”才是解題教學之正道.

【關鍵詞】 通性通法；解題教學

1 問題的提出

作為在一線工作的教師，解題教學的課是上得最多的.因為在數學課堂中，除了起始課涉及的是概念、定理、公式、性質等需要探究合作來論證或推導外，其余如鞏固課、復習課涉及的都是解題.那么在解題教學課中，究竟是題目講得越多越好呢？還是方法、技巧講得越多越好？抑或是題型總結得越多越好，還是解題步驟歸納得越詳細越好呢？下面先來看看中學數學教師在解題教學方面的現狀.

2 解題教學現狀

根據筆者所聽到的各級各類公開課或教師間的交流，盤點一下當前解題教學中的一些現狀.

現狀一：重講解不重原理.大多數中學教師在給學生講解題目時，往往只告訴學生怎么分析、怎么解題，至于為什么要這樣去分析，為何從這個角度去突破卻不講，也就是常說的“知其然，不知其所以然”.缺少如何解這道題的數學原理，于是學生只能停留在就題論題，稍加變化就不會的境地.

現狀二：重訂正不重反思.當教師講解完題目后，一般會讓學生訂正，甚至還會檢查.于是學生會按標準答案訂正好，至于自己當時為何做錯？錯誤原因究竟是什么卻不會去反思了.所以教師只重視學生的訂正卻不重視學生解題后的反思，導致過一段時間后學生忘記了正確做法就會犯同樣的錯誤.

現狀三：重技巧不重通法.教師在講題目時，常常向學生介紹很多種方法，尤其是一些很巧妙的方法，既簡便又快捷，殊不知這些方法雖好，但卻不能通用，以后碰到此類稍加改變的題目還是不會.這樣就顯得解題教學的效率不高，相反如果能介紹一種通用方法，則解一題就通一類，效率就會明顯提高.

由上面這些解題教學中的現狀可知，許多一線教師并不明白解題的目的，認為只要把題做對就行了，純粹是為做題而做題.其實讓學生做題是為了鞏固概念，要讓學生通過解題慢慢養成從基本概念和基本數學原理出發去思考問題，而教師講題是教給學生該如何思考才能分析突破去解決問題，從而拓展學生的思維能力，即教給學生“思維之道”.這就要求教師不僅要講邏輯，更要講“道理”，并要讓學生反思自己的錯誤根源.當然有些教師可能混淆了特殊技巧與數學思想方法的差異，以為這些技巧就是好的解題方法，而忽略了學生應該要掌握的通性通法，或者認為通性通法太笨拙，不值一提，從而把學生引向“題型+技巧”的歪道上，使學生不明白解題的根本，也沒有學會數學中最基本的思考方法，于是學生遇到新的題型就會束手無策.要改變這種現狀，就需要教師在講題時首先要介紹思維上最經濟、解題思路也可以“程序化”的“通性通法”，要多向學生強調和滲透才是正道.

3 通性通法的課堂實踐

3.1 通性通法的含義

人教社的章建躍博士說：“通性”就是概念所反映的數學基本性質；“通法”就是概念所蘊含的思想方法[1].由此筆者認為，所謂通性通法就是應用數學概念、定理、法則、公式等所體現出來的基本的數學通用性質去解決問題的通用思想方法，即“通用性質與通用方法”.當然，這些方法可解決的不僅僅是一類題，而是凡涉及相關知識的題目都可應用此方法.下面就以解析幾何中的圓錐曲線為例來說明.

3.2 圓錐曲線中的通性通法

在各省的高考題中，涉及解析幾何大題的都是直線與圓錐曲線關系的題型.因此在講解此類題目時，一定要強調其通用的常規性質與方法.其“通性”便是“方程思想”，就是把直線與圓錐曲線方程組成方程組，然后根據方程組的解和交點關系等性質來解題；其“通法”便是“五步法”：一設二聯三消四判五用.即第一步設點、設直線；第二步聯立方程組；第三步消元后得一元二次方程；第四步用“Δ”這個判別式；第五步寫出韋達定理并應用.此通性通法的特點很鮮明，步驟簡單明了具有程序化，思維量不大淺顯易懂，雖計算量較大，但大巧如拙，很符合考察解析幾何之意圖，在平時也可訓練學生的計算能力.下面就以具體的2015年浙江省高考題數學（理）第19題為例來呈現課堂實踐.

3.3 課堂實踐

筆者的授課對象是高二學生，所授課類型是選修2-1的《圓錐曲線》這一章結束后的復習鞏固課，而此時2015年的高考已落下帷幕，于是決定采用剛新鮮出爐的浙江省第19題高考題為例來講解“直線與圓錐曲線關系”的題型.

4 結論與啟示

在高中的數學課堂教學中，解題教學占有相當大的比例，尤其是到了高三的復習階段.通過課堂實踐表明，題目既不是講得越多就越好，也不是技巧講得越巧妙越好，而是要讓學生能通過一道題目理解一大類題目，能“舉一反三”，這樣才能達到高效的解題教學，而介紹“通性通法”的解法便是最佳途徑.筆者就是在課堂上多強調了“通性通法”，故在解決這道高考題時學生基本上能一帆風順，并且還能拓展，深入挖掘出一般化的結論.

正如章建躍博士所說的：“解題教學中，要使學生逐步養成從基本概念、基本原理及其聯系性出發思考和解決問題的習慣，這是發展學生思維能力的正道”，并指出：“不注重大巧如拙的通性通法，…，久而久之，使學生忘了解題的根本，沒有學會最基本的數學思考方法，因而在高考的“競技場”上敗下陣來.”[1]所以，工作在第一線的數學教師，一定要在解題教學中走在注重通性通法的大道上.

參考文獻

[1] 章建躍.注重通性通法才是好數學教學（編后漫筆）[J].中小學數學，2011，11.