數學備考有效“六策略”

莊志剛

【摘 要】 對高考備考策略的研究，是提高復習效益的重要保障.可以通過問題組的設置，加深對知識的理解；通過設置探究性的拓展與延伸活動，讓學生的思維始終處于一種被激活的狀態，提高思維的創新能力；構建解題模型或解題模式，有助于拓寬解題的思維途徑，特別有助于培養學生的發散思維能力；充分利用好典型錯解，通過學生查錯改錯這種“二次學習”對知識重新進行認識、理解和掌握；讓學生自己做好“模塊”小結，構建適合自主學習的知識網絡，使學生對知識機構能有整體把握的能力；做題要精，要關注運算與代數變換，把提高運算能力是備考的重要措施.

【關鍵詞】 問題組；知識網絡；運算能力

高考試題雖年年有變，但命題“注重通性通法，滲透思想，突出能力”的基本思路不變，因此在高考備考中，以知識為載體，讓學生在參與復習活動中，實現自我鞏固與理解；以思維能力的培養為目標，讓學生在思考中，實現自我能力的提升.而知識是能力提高的根基，要把夯實基礎與提高能力相結合，注重對知識的深度理解，是提高復習效益的重要策略，所以在備考中應加強對知識本身的研究，同時應注重對復習的有效策略研究.

策略一 通過“問題組”類比設置，加深對知識的理解

“質疑”是開啟創新之門的鑰匙，“問題”是數學的心臟.愛因斯坦說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.”在高三復習的課堂上，幫助學生或鼓勵學生有效設置問題組，如案例：復習《抽象函數的周期性》時可以通過師生小組合作、生生小組合作的方式設置如下多題一解的問題組（注：下列問題中的a，b均為不等于零的常數）：

案例中以抽象函數的周期性為載體，通過鼓勵學生設置“相似”問題組為驅動機制，加深學生對周期函數的表示方式多樣性的認識，從抽象函數表示方式的結構特征出發，學生會嘗試定義法、變量代換法、遞推法、特殊值法等進行合情推理，發現并掌握數學規律.學生不斷類比、探究、創新的過程，即是對周期函數本質認識的心路過程，同時學生對抽象函數概念的本質與圖像的特征有了進一步感悟，加深理解數形結合思想在數學中的價值.

策略二 探究性橫向拓展活動，提高思維的創新能力現代思維科學認為：問題是思維的起點，創新的基石.

案例 《直線與圓的位置關系》復習課部分環節：

通過對問題由淺入深的設置，讓學生的思維始終處于一種被激活的狀態，學生在分析問題、解決問題的過程中加深了對知識的理解與鞏固，在體驗中領悟直線與圓位置關系的本質.問題的情景雖然簡單，但內涵豐富，在層層遞進的問題組中，促進學生完成對知識以及相關思想方法的復習.通過問題的拓展與延伸，讓知識間的縱橫聯系在學生的實踐探究中得到升華，思維能力也隨之得到提升，體現了“數學的學習是通過相關的數學活動完成的”指導思想.

策略三 構建題型模式，拓寬解題的思維途徑

加強解題技能的訓練是保障復習效益提高的必要方法.在復習中幫助學生歸納總結解題方法、琢磨解題技巧，建立相對應的解題模型或解題模式，學生就可以掌握解決一類問題的方法，可以達到事半功倍的效果.數學課本里有很多的問題都是可以“題型模式化”的，比如：數列問題的解決關鍵是求通項公式，而它的設問方式也無外乎那么幾種（通過等差等比數列基本量的運算求得、通過函數思想求得、通過an與sn的關系式求得等等），只要你稍加梳理就會找到與之相對應的解法，此時可以通過具體問題建立“模型解題法”，讓學生掌握起來就容易多了；再比如理科的立體幾何解答題第二問很明顯的是讓你用向量解答，只不過是在圖形上變化而已，此時“識圖”就成為了解決的關鍵，恰當的建立空間坐標系是解決問題的“金鑰匙”，而找兩兩垂直關系就是解決問題的核心，因此把解決這種問題的思路告訴學生即可，當然也可以以問題為例建立“模式解題法”；再如利用導數解決不等式恒成立問題、數列求和等均可以通過這樣的方式來培養學生的解題技能，自然也就教會了學生思維的方法.波利亞曾經說過：“學習數學意味著解題”.這里的解題不是指解決一個問題的步驟，而是指解決一類問題的方法.

下面以解三角形問題為例，進行簡單說明.解三角形問題是在三角形中考查正余弦定理與三角恒等變形的綜合應用問題，高考必考問題，是考查學生推理與運算能力的重要載體，恒等變形進行的化簡與求值問題仍是高考命題的重點，三角公式的靈活掌握是解題的關鍵，下面就具體來探究命題的設置問題及解決的策略.

教學中教師應抓住重點題型，重視通性通法的教學和訓練、同時兼顧變法為輔.倡導舉一反三、一題多解和多題一解.特別是多題一解，縱觀歷年高考題，很多題目都是大致固定的命題方式，解題的方法思路大致相同，高考中的閱卷要求也基本相同.強調通性通法的重要，并不意味著完全否定其他的特殊方法， 其他的方法也是處理問題的一個重要方面，在整個數學科的發展過程中，有助于培養學生創新意識和發散思維能力.

策略四 利用典型錯解，激發學生的探究興趣

認知心理學家皮亞杰說過：“學習是一個不斷犯錯誤的過程，同時又是一個不斷通過反復思考招致錯誤的緣由并逐漸消除錯誤的過程.”學生學習中出現的錯誤常常為教師提供寶貴的教學資料，如果我們從這個角度看待學生的錯誤，就會發現“錯誤”是師生交流信息的一個“窗口”.學習的過程是在不斷修正錯誤的過程中變得越來越活躍與成熟，提供以錯誤為源泉的學習反應刺激，可以使學生從錯誤中審視、體驗和反思，挖掘蘊藏在錯誤背后的內涵，化錯誤為學習的資源，會使教學出現意想不到的精彩.高三復習的目標之一就是查漏補弱，其中一項重要的任務就是查找學習上的“錯點”，找出出錯的根源，對癥下藥，糾正錯誤，通過查錯、改錯這種“二次學習”對知識重新進行認識、理解和掌握.

案例：下面的解題過程是否正確？若不正確，請改正.（設計目的：通過類比的方式加深對問題的理解與掌握）

讓學生有充分的時間作深入的思考、討論與交流，思維碰撞，去認識數學知識的真諦，悟出錯因，當學生找不出錯因時，教師可以進行適當引導，學生大悟時正是認識升華生成之時.教師要善于捕捉典型有意義的錯誤或蘊涵創新思維的錯誤，并加以提煉作為教學資源，可以有效地激發學生的探究興趣，學生的創造性將會得到有效的激發和良好的發展.也可以通過教會學生做好自己的“試卷分析”來進行這項工作，先將試卷中出現的錯誤進行分類，可如下分類：①就是分明會做，反而做錯了的題；②“審題之錯”是由于審題出現失誤，看錯數字等造成的； “運算之錯”是由于運算出現差錯造成的；③“抄寫之錯”是在草稿紙上做對了，往試卷上一抄就寫錯了、漏掉了；④“表達之錯”是自己答案正確但與題目要求的表達不一致，如角的單位混用等；⑤記憶的不準確，理解的不夠透徹，應用得不夠自如；⑥回答不嚴密、不完整等.

此時必須弄清錯誤的原因，然后找出解決問題的辦法，如“審題之錯”，是否出在急于求成？可采取“一慢一快”戰術，即審題要慢、答題要快.“表達之錯”，注意表達的規范性，平時作業就嚴格按照規范書寫表達，學習高考評分標準寫出必要的步驟，并嚴格按著題目要求規范回答問題.弄懂似非，“似是而非”是自己記憶不牢、理解不深、思路不清、運用不活的內容，這表明你的數學基礎不牢固，一定要突出重點，夯實基礎.

教師應鼓勵學生建立錯題本，錯題本是學生對自身錯誤的系統匯總.在錯題本上完善幾個功能，就象模塊一樣，讓“錯”變得非常清晰.比如：標注出“概念錯誤”、“思路錯誤”、“理解錯誤”、“審題馬虎”等錯誤原因，標注出“錯誤知識點”：數列、函數、解析等，標注出“同類錯誤”：第幾頁第幾題等等.另外，可以考慮運用出題法，針對自己常犯的錯誤，給自己出幾道題目，考察自己對概念掌握、條件運用和知識結合的理解程度.

策略五 做好“模塊”小結，構建知識網絡交匯點

這里所說的“模塊”是把整個高中數學的知識與方法根據近幾年高考出題模式的特點進行重新“洗牌”與整合，重點內容大致劃為函數與導數（包括不等式）、三角（包括解三角形）、平面向量與解析幾何、立體幾何、數列、概率與統計等.這里需要提醒的是，像不等式是解決數學問題的重要基礎，可以說無處不在，應用廣泛；再比如說平面向量在三角中的應用也很多，所以上面的劃分只是相對的，你也可以根據自己的思維方式進行重新劃分.

教師應幫助學生進行“模塊”小結.每個“模塊”小結的內容應包括以下部分：①知識網絡，這里應包括與其他知識的交叉或綜合（應以思維導圖、選擇填空基礎題目的形式進行梳理）；②基本思想與方法（應以典型例題及變式的形式將其表達出來）；③自我體會：自己做錯的典型問題應有記載，分析其原因及正確答案，應記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今后將其補上. 如函數部分，從函數單調性、對稱性（奇偶性）、周期性等基本性質出發，探討這些性質的內在聯系和運用，同時一定要注意函數性質與函數圖象之間的聯系，善于從函數圖象的角度解決數學問題，在此基礎上去研究高中階段常見的函數，比如一元二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等等，掌握這些函數的內在規律，善于運用函數的性質去解決實際問題，注重對函數思維方法的總結，函數體系的每一個部分，都有相應的典型題型和主要思維方法. 導數是解決函數相關問題的基礎，是一種工具，因此它與函數是密不可分的；數列、解析幾何、立體幾何中的求最值或變量取值范圍的問題也離不開函數的相關知識或方法；數形結合思想是解決數學問題的重要方法，它的主要來源也是函數知識.

策略六 精做題，提高運算能力

復習中加強運算能力的訓練，提高運算的速度和準確度.試題運算步驟長一點、或含有字母、或需要對參數進行討論時，考生往往就會出問題，這是廣大學生普遍丟分的一個重要因素.運算能力體現在兩個方面：其一數值運算（如在概率統計和立體幾何向量解法中）的準確性，這一點要學生克服計算器的依賴性，其二是代數式的化簡整理能力，這一點更體現學生的運算能力（如在解析幾何、函數導數運算中），這里面是有技巧可找的（如：整體處理），老師應做好指導.

要重視和加強選擇題的訓練和研究.不能僅僅滿足于答案正確，還要學會優化解題過程，追求解題質量，“少費時、多辦事”，以贏得足夠的時間思考解答高檔題.要不斷積累解選擇題的經驗，盡可能小題小做，除直接法外，還要靈活運用特殊值法、排除法、檢驗法、數形結合法、估計法來解題.解法的差異，速度的差異，體現了學生不同層次的思維水平.

數學運算能力的提高離不開做題，但當處理的題目達到一定量后，決定復習效果的關鍵因素就不再是題目的數量，而在于題目的質量和處理水平.解數學題要著重研究解題的思維過程，弄清基本數學知識和基本數學思想在解題中的意義和作用，研究運用不同的思維方法解決同一數學問題的多條途徑，在分析解決問題的過程中既構建知識的橫向聯系又養成多角度思考問題的習慣.