近年全國(guó)高考新標(biāo)準(zhǔn)下數(shù)學(xué)試卷對(duì)比分析

彭鋒　鄧元潔

2016年高考除了北京、上海、天津、江蘇、浙江自主命題外，其他省份都將使用全國(guó)卷.作為高中一線教師，今后的高中數(shù)學(xué)該如何教，高三該如何備考，都將是面臨全國(guó)高考省份的教師和學(xué)生的當(dāng)務(wù)之急.筆者認(rèn)為，熟悉近幾年全國(guó)高考新課標(biāo)卷的特點(diǎn)，了解近幾年全國(guó)高考新課標(biāo)卷的異同，就顯得非常必要了.筆者以2013、2014、2015年數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)全國(guó)卷（理）（下簡(jiǎn)稱全國(guó)卷）為例，從試卷的考點(diǎn)、考點(diǎn)對(duì)應(yīng)分值分布等進(jìn)行對(duì)比分析，并得出全國(guó)卷的特點(diǎn)，以期對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)有指導(dǎo)意義.1 六套全國(guó)卷考點(diǎn)對(duì)比分析

從2010年開(kāi)始數(shù)學(xué)高考出現(xiàn)新課標(biāo)全國(guó)卷，至今已有九套試卷.其中2013、2014、2015年全國(guó)卷共命制兩套，以供不同課程改革地區(qū)使用.

1.1 考點(diǎn)分析

為了更清楚地顯示高考命題知識(shí)點(diǎn)分析，表1將2013—2015年全國(guó)卷（理）考點(diǎn)分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì).

從表1，不難看出試卷幾乎涵蓋了高中數(shù)學(xué)的所有基礎(chǔ)知識(shí)，如函數(shù)及其性質(zhì)、數(shù)列的有關(guān)概念、性質(zhì)和求和、三角函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)、向量、概率、統(tǒng)計(jì)、排列組合、二項(xiàng)式定理、線性規(guī)劃、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等.

另外，從試題的重難點(diǎn)分布來(lái)看，試題中對(duì)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)或主干知識(shí)，如三角函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)與概率、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等進(jìn)行了重點(diǎn)考查.

課程標(biāo)準(zhǔn)新增的教學(xué)內(nèi)容在數(shù)學(xué)高考中都占有很大的比例，重難點(diǎn)突出，難易程度適當(dāng)，導(dǎo)向作用較好，并從不同程度體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.例如三視圖、函數(shù)的零點(diǎn)、程序框圖等新增內(nèi)容幾乎年年都考；統(tǒng)計(jì)中的散點(diǎn)圖、直方圖、莖葉圖和回歸直線方程，全稱量詞與特稱量詞，合情推理與演繹推理、條件概率、函數(shù)模型等新增內(nèi)容均有出現(xiàn)；對(duì)于定積分、幾何概型、冪函數(shù)和統(tǒng)計(jì)案例與檢驗(yàn)方法雖然近三年未考查，但這必定是今后重點(diǎn)考查的對(duì)象，應(yīng)高度重視.可以看出高考命題不但體現(xiàn)了“高考支持課程改革”的命題思路，而且也照顧到試卷涵蓋的各部分內(nèi)容的平衡.

1.2 考點(diǎn)對(duì)比分析

為了更清晰地顯示高考題知識(shí)點(diǎn)變化，制作了2013年與2015年全國(guó)Ⅱ卷（理）考點(diǎn)變化趨勢(shì)表，見(jiàn)表2.

從表2可以看出必做部分與選做部分的考點(diǎn)基本沒(méi)有變化，仍圍繞考試說(shuō)明，且各考點(diǎn)的難度沒(méi)有太大的起伏，知識(shí)點(diǎn)在兩套試卷中呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)、題型分布均呈現(xiàn)穩(wěn)定的態(tài)勢(shì).雖然有的知識(shí)點(diǎn)難度加大，但沒(méi)有偏題、難題、怪題、更沒(méi)有超出考試說(shuō)明要求的題.2 六套全國(guó)卷的考點(diǎn)分值分布分析

不難看出全國(guó)卷共有三種題型：選擇題，共12道，每題5分；填空題共4道，每題5分；解答題共8道，其中17—21五題為必做題，每題12分，22、23、24三題只需選做其中之一，每題10分.也就是說(shuō)試卷題量為22題.

全國(guó)卷最低分值為5分，最高分為12分，差距不是很大.不像其他學(xué)科最低分1分，最高分60分.數(shù)學(xué)高考題中沒(méi)有小分，可見(jiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科中的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都十分重要.

為了更直觀的分析各考點(diǎn)對(duì)應(yīng)分值分布，特制表3.

從表3可以看出：（1）均值小于5分的命題內(nèi)容，基本上都是通過(guò)選擇或填空題的形式出現(xiàn)，且為抽考內(nèi)容，如集合、常用邏輯用語(yǔ)；（2）均值等于5分的命題內(nèi)容年年都考，且題型基本以選擇或填空題的形式出現(xiàn)；（3）均值介于5分到10分之間的命題內(nèi)容，基本上也是通過(guò)選擇或填空題的形式考查，但2013年全國(guó)卷Ⅱ圓的考查是以解答題的形式出現(xiàn)的，且有的知識(shí)點(diǎn)可能出現(xiàn)不只一個(gè)選擇或填空題，如函數(shù)會(huì)考查其奇偶性，另一道題考查函數(shù)圖像；（4）均值大于等于10分的命題內(nèi)容在這六套題幾乎都以解答題的形式考查，但三角函數(shù)與數(shù)列的解答題可能會(huì)隔年交叉考查；（5）除選做題外，集合、函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量、線性規(guī)劃、立體幾何、圓錐曲線、概率與統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)是每年都會(huì)考的.其中立體幾何、圓錐曲線和導(dǎo)數(shù)命題分值是最高的三項(xiàng)，在考查的18個(gè)考點(diǎn)中是最高的，其次是三角函數(shù)、數(shù)列、概率與統(tǒng)計(jì).

3 全國(guó)卷的特點(diǎn)

通過(guò)對(duì)2013—2015年全國(guó)卷（理）的研究，在試卷總結(jié)和分析的基礎(chǔ)上，得出數(shù)學(xué)高考全國(guó)卷呈現(xiàn)出以下特點(diǎn)：

3.1 重視對(duì)主干知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解

基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是學(xué)生能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)，是分析、判斷、解答問(wèn)題的依據(jù)，離開(kāi)了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的積累，就無(wú)法提高學(xué)生能力.因此，高考在重視能力考查的同時(shí)，也非常注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力的考查.

例如2015年全國(guó)Ⅱ卷（理）第21題是一道壓軸題，第（Ⅰ）問(wèn)考查的是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這屬于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法層次的考查，體現(xiàn)了試題入口寬、面向全體學(xué)生的特點(diǎn).第（Ⅱ）問(wèn)，需要把討論不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，但此處構(gòu)造函數(shù)的過(guò)程比較復(fù)雜，這屬于學(xué)生基本能力和基本思考過(guò)程的考查.這雖然對(duì)考生的轉(zhuǎn)化能力、推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和分析解決問(wèn)題能力的要求較高，但沒(méi)有超出課程標(biāo)準(zhǔn)與考試說(shuō)明的要求.試題對(duì)于改變學(xué)生“死記硬背”做題的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)注重夯實(shí)基礎(chǔ)、倡導(dǎo)理性思維、強(qiáng)化探究能力具有積極的引導(dǎo)作用.

3.2 關(guān)注知識(shí)交匯點(diǎn)

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、向量、立體幾何、解析幾何等，這些綜合性比較強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)，往往成為高考的熱點(diǎn)，必須重視.

例如，2013年數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷理第6題將數(shù)列求和融入到程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)中，要求學(xué)生在理解框圖的同時(shí)，能結(jié)合框圖準(zhǔn)確計(jì)算；2013年全國(guó)Ⅰ卷理第12題將三角形的相關(guān)知識(shí)融入數(shù)列中，要求考生既掌握三角形知識(shí)，還要清楚數(shù)列的性質(zhì)；2015年全國(guó)Ⅰ卷理第19題將函數(shù)模型融入到線性回歸方程中，要求學(xué)生既要掌握函數(shù)模型，還要清楚統(tǒng)計(jì)知識(shí)中的散點(diǎn)圖及回歸直線方程.又如這六套試題的立體幾何解答題都融入了向量知識(shí)，壓軸題都把導(dǎo)數(shù)應(yīng)用融入到函數(shù)和不等式中.

3.3 關(guān)注新增知識(shí)

全稱量詞與存在量詞、程序框圖、函數(shù)模型及其應(yīng)用、定積分、三視圖、幾何概型、條件概率、統(tǒng)計(jì)案例與檢驗(yàn)方法、推理與證明、柯西不等式、極坐標(biāo)與參數(shù)方程等，這些新增內(nèi)容正成為高考熱點(diǎn)，必須重視.

對(duì)新增內(nèi)容的考查，主要是對(duì)基本概念、基本公式、基本運(yùn)算的考查，這有利于教師更新觀念，推進(jìn)新課改.例如2015年全國(guó)Ⅱ卷理第18題利用統(tǒng)計(jì)中的莖葉圖考查學(xué)生收集、分析、整理數(shù)據(jù)的能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)；2014年全國(guó)Ⅰ卷理14題考查了合情推理，該題不僅貼近學(xué)生生活，而且還考查學(xué)生的邏輯推理能力；2013年全國(guó)Ⅱ卷理第7題，利用空間坐標(biāo)考查三視圖，不僅考查了描點(diǎn)能力，也考查了學(xué)生的空間想象能力；六套試卷都利用程序框圖簡(jiǎn)約地表示解決問(wèn)題的算法過(guò)程等.這些知識(shí)的考查難度適中，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，符合中學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，導(dǎo)向正確.隨著新課程改革的進(jìn)一步深入，新增內(nèi)容也將逐步變?yōu)閭鹘y(tǒng)內(nèi)容，難度也必將逐步加大.

3.4 關(guān)注創(chuàng)新性，亮點(diǎn)題目

三年六套試題都涌現(xiàn)出一些創(chuàng)新性、亮點(diǎn)的題目：如2015年全國(guó)Ⅱ卷理第8題的程序框圖源于《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，2015年全國(guó)Ⅰ卷理第6題體積計(jì)算以《九章算術(shù)》中的問(wèn)題為背景，這些以數(shù)學(xué)史料為背景的題也慢慢滲透到數(shù)學(xué)高考題中；2015年全國(guó)Ⅱ卷理第19題立體幾何問(wèn)題與前幾年相比有所創(chuàng)新，第一問(wèn)要求畫(huà)圖，并沒(méi)有像以往那樣求證平行或垂直，可見(jiàn)這部分對(duì)動(dòng)手能力與空間想象能力的要求有所提高；2014年全國(guó)Ⅰ卷理第14題，沒(méi)有公式，沒(méi)有原理，沒(méi)有運(yùn)算，只考查推理能力.

4 對(duì)高考備考建議

4.1 數(shù)學(xué)教學(xué)要緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)習(xí)要認(rèn)真學(xué)習(xí)考試說(shuō)明

高考數(shù)學(xué)旨在考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法，考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力.我們要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的變化調(diào)整和改變教學(xué)理念，根據(jù)考試說(shuō)明準(zhǔn)確把握復(fù)習(xí)的要點(diǎn).近年來(lái)高考數(shù)學(xué)試題更突出能力立意，加大了思維量，合理、恰當(dāng)?shù)貜?qiáng)化運(yùn)算能力要求，降低試題的入口難度，突出對(duì)歸納和探索能力的考查等.

4.2 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)平時(shí)要合理控制難度

針對(duì)近幾年高考命題特點(diǎn)，我們?cè)跀?shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，要合理控制難度.近三年全國(guó)卷選擇題基礎(chǔ)題較少，中檔題較多，難題易于入手，遵循“易有新意，難有道理”的原則，復(fù)習(xí)時(shí)以近三年新課標(biāo)全國(guó)的試題難度為參考，避開(kāi)過(guò)偏、過(guò)難的問(wèn)題，把重心放在切合學(xué)生實(shí)際情況的，花時(shí)間、花精力能夠得分的基礎(chǔ)題和中檔題上.

4.3 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要把握主干知識(shí)和核心內(nèi)容，落實(shí)重要考點(diǎn)

一套試題涉及知識(shí)有限，但又需把數(shù)學(xué)最主干最核心的知識(shí)考查出來(lái)，故應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握高中最有價(jià)值的核心內(nèi)容，以核心知識(shí)為平臺(tái)，訓(xùn)練學(xué)生具備高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).同一核心知識(shí)反復(fù)在考，但題目又不可能重復(fù)，只好去變化，去通過(guò)不同層面、角度考查.因此在復(fù)習(xí)時(shí)，善于總結(jié)每個(gè)核心考點(diǎn)在往年高考試題中的不同考法，把知識(shí)蘊(yùn)含在題中不同方向不同角度訓(xùn)練學(xué)生考查學(xué)生.4.4 做好專題復(fù)習(xí)和訓(xùn)練，尋找學(xué)生答題弱點(diǎn)，反復(fù)強(qiáng)化矯正

三年六套題目給我們一個(gè)啟示，題型相對(duì)固定，考查知識(shí)也相對(duì)固定，在這樣一個(gè)穩(wěn)定的前提下，尋找學(xué)生在該題型中的答題弱點(diǎn)是取勝之道.在復(fù)習(xí)幾大題型時(shí)應(yīng)作為專題來(lái)復(fù)習(xí)，作為專題反復(fù)訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)做過(guò)的練習(xí)卷去整理屬于自己內(nèi)在的錯(cuò)誤.同時(shí)根據(jù)高考真題，老師也要善于總結(jié)幾大題型到底如何考，學(xué)生弱點(diǎn)在哪里.

總之，我們要認(rèn)真研究高考試題，把握命題方向，指導(dǎo)復(fù)習(xí)備考，更應(yīng)該轉(zhuǎn)變教育觀念，改進(jìn)教學(xué)方法，重視學(xué)生能力和素質(zhì)的培養(yǎng)，以適應(yīng)改革和發(fā)展的需求.

作者簡(jiǎn)介 彭鋒，湖北利川人，中學(xué)一級(jí)教師.2011年畢業(yè)于華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，現(xiàn)任教于重慶市兩江中學(xué)校，同時(shí)擔(dān)任高一備課組長(zhǎng).近年來(lái)在專業(yè)期刊上發(fā)表論文7篇.