有趣的概率

鄭德馨

生活中各種各樣的現象可以分為兩類，確定性現象和非確定性現象，后者又稱為隨機現象.由于隨機現象的結果出現的隨機性，以及人們對這些隨機現象缺乏認真的思考，從而導致了很多有趣的事情發生.

杰克對隨機事件發生的概率比較熟悉，經常利用這點特長騙人.有一次，他對喜歡賭博的湯姆說，我們擲硬幣，我要正面.如果出現正面，你給我一個硬幣，如果出現反面，我給你二個硬幣.因為我輸的時候給你二個硬幣，所以如果第一次是反面應該再擲一次.湯姆感覺很公平，就同意了.結果可想而知，湯姆很快輸光了身上所有的錢.我們分析一下這其中的原因.整個過程有三個結果：結果一，第一次擲出了正面，本次游戲結束，湯姆給杰克一個硬幣；結果二，第一次擲出了反面，接著在第二次擲出了正面，本次游戲結束，湯姆給杰克一個硬幣；結果三，第一次擲出了反面，接著在第二次又擲出了反面，本次游戲結束，杰克給湯姆二個硬幣.湯姆不了解概率，認為這三個結果的出現是等可能性的，所以認為是公平的.但是，我們知道，在硬幣是均勻的這一假設下，每次投擲出現正面和反面的可能性是相同的，都是0.5，從而杰克每一局獲勝的可能性是0.5+0.52=0.75，而湯姆每一局獲勝的可能性是0.25，所以，公平的方法應該是，出現第三個結果時，杰克給湯姆三個硬幣.由此可以看出，杰克騙了湯姆.

另一個故事是狐貍和狼共同去農戶家里偷了一只公雞，兩個家伙為了如何分這只公雞爭吵不休.后來狐貍提出一個辦法，投擲一只骰子，如果出現一點，就把公雞給狼，否則就給狐貍.狼當然不同意，他知道這樣他得到公雞的可能性只有1[]6.狐貍說，你可以擲3次，只要出現一次一點，公雞就歸你.于是，狼就同意了，因為他認為3個1[]6的和是1[]2，這樣是公平的.這件事當然還是狐貍騙了狼.因為狼的計算方法是錯的.正確的方法應該是這樣的：假設骰子是均勻的，擲三次骰子是獨立的，則狐貍得到公雞的概率是連續三次都沒有出現一點，也就是（5[]6）3=125216，這個數是大于1[]2的.狐貍利用隨機事件表面上的公平性騙了狼，雖然他獲得公雞的概率不是1，但是這個方法使得事情向有利于自己的方向發展了.

玩紙牌的游戲非常流行，每時每刻全世界都有數以百萬計的人在玩.很多游戲是由四個人圍坐在桌旁玩的，洗好牌，每人拿到13張牌.最有趣的是，一年里有一次或兩次報紙上總會刊登這樣的消息：有一個人拿到了13張黑桃.四個人中有一個人拿到13張黑桃的機會到底有多大？都值得報紙作為新聞刊登了.這其實屬于典型的古典概率問題.假設每人得到每張牌的概率是相同的，那么四個人拿到牌的所有可能的結果共有C1352C1339C1326種，其中滿足某一個人恰好有13張黑桃的結果共有C1339C1326種，因此有一個人拿到13張黑桃的概率是1C1352=1635013559600.這當然是一個很小的數，但是，為什么每年都會有一次或兩次報紙上總會刊登這樣的消息呢？這就是“小概率事件”在試驗重復進行下去總會發生的原理.假設事件A發生的概率p很小，雖然概率事件A在一次試驗中發生的概率很小，但是試驗重復進行n次仍然沒有發生的概率（1-p）n的極限卻是0，因此，如果試驗重復進行下去，事件A發生的概率的極限是1.由于每時每刻全世界都有數以百萬計的人在玩紙牌，這就相當于試驗一直在重復進行，即使“有一個人拿到13張黑桃”的概率非常小，時間長了也總是會發生的.

買彩票的原理和上面紙牌游戲的原理是相同的.雖然對某一個人來說，中大獎的概率很小，但是買的人多了，“中大獎”這樣的小概率事件總是會發生的.因此，每年都會有幾個“幸運兒”買彩票中大獎.但是，對于我們個人來講，由于我們的財力有限，不可能買太多的彩票，因此，不能認為是“試驗在無限重復”，不應該把買彩票作為“致富”的途徑.

生活中有很多有趣的隨機現象可以用概率的知識來解釋.但是如果不能深刻理解概率的知識，就會像湯姆和狼那樣被騙.