列車準點節能運行的控制工況最優切換研究

王青元,馮曉云

(西南交通大學 電氣工程學院， 四川 成都　610031)

列車準點節能運行的最優控制問題為典型的兩點邊值問題(BVP)，其求解方法主要分為“直接法”和 “間接法”兩類。其中，“直接法”有動態規劃法[1]、智能搜索算法[2]等，這些方法的特點在于無需對最優控制問題進行一階最優性分析，可避開繁瑣的計算，但這些算法都或多或少存在一些缺陷，如維數災難問題，全局最優解的收斂性。“間接法”以極值原理為基礎，一般在分析列車準點節能運行最優控制必要條件的基礎上，通過計算伴隨變量值以及搜索滿足最優切換的最優工況切換點，最終求得列車區間運行的最優工況序列[3-7]，這類方法的特點是解的最優性可以得到保證，目前，大量的工程簡化算法[8-9]都是基于“間接法”的理論分析進行設計和實現的。

文獻[7]研究了考慮再生制動能量利用時的列車節能最優控制問題，總結出包括部分電制動工況和最大電制動工況在內的7種控制工況的應用條件，給出了列車最優控制工況序列的算法框架，但對算法中的工況最優切換未作明確分析。本文在文獻[7]的基礎上，通過引入控制工況的最優切換集、最優切換方向，探討1種分析列車控制工況之間最優切換規則與切換時機的通用方法。

1　列車準點節能最優控制

1.1　必要條件

對于考慮再生制動能量利用的列車準點節能最優控制問題，可構造哈密頓函數H[7]為

(σ-αηdηt)μdFd(v)-σμmFm(v)-

σ(F0(v)+Fs(x)))

(1)

其中，

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：v，x和t分別為列車運行的速度、位置和時間；Ft(v)，Fd(v)，Fm(v)，F0(v)，Fs(x)分別為作用在列車單位質量上的最大牽引力、最大電制動力、最大空氣制動力、基本運行阻力和線路附加阻力[10]；μt為列車牽引工況下的控制系數，0≤μt≤1；μd和μm分別為列車電制動工況和空氣制動工況下的控制系數，0≤μd≤1，0≤μm≤1；vlim(x)為線路的限制速度；ηt和ηd分別為列車牽引工況和電制動工況下整車機電效率的等效值，0<ηt<1，0<ηd<1；α為電制動能量利用率，0≤α≤1；λ1，λ2和σ為伴隨變量；M為互補松弛因子，用于解決限速引起的積分不等式約束[11]。

根據龐特里亞金極大值原理，由式(1)可知σ由7個取值范圍構成，其對應的最優控制工況[7]分為兩類，一類是奇異控制工況(簡稱奇異工況)，包括部分牽引(Partial Power, PP)、部分電制動(Partial Electric Braking, PEB)和部分綜合制動(Partial Integrated Braking, PIB)，另一類是非奇異控制工況(簡稱非奇異工況)，包括最大牽引(Full Power, FP)、惰行(Coasting, C)、最大電制動(Full Electric Braking, FEB)和最大綜合制動(Full Integrated Braking, FIB)。

由式(4)和式(5)可知，當v(x)

由式(2)有，λ1為一與區間運行時間相關的待定常數，不同的λ1下求解得到的區間運行時間不同，即通過調整λ1的取值，可以在滿足時刻表規定的區間運行時間T約束的條件下，尋找到列車節能運行的最優解。

(7)

(8)

其中，

1.2　非奇異工況下伴隨變量的計算

由文獻[7]的表1可知，伴隨變量σ在3種奇異工況下為定值，在4種非奇異工況下的變化趨勢取決于自身的當前值、當前車速、部分牽引最優保持車速和線路斷面，結合式(1)，式(3)和式(6)可推導出分別對應FP，C，FEB和FIB工況下伴隨變量的微分方程式如下。

(9)

(10)

(11)

(12)

其中，

Fb(v)=Fd(v)+Fm(v)

2　最優控制工況之間的最優切換

在進行局部最優連接前，需要進行坡道分區的劃分，并對相同類型的坡道進行合并，形成一系列首尾相連的恒速區與非恒速區。5種類型的坡道[7]分別為大上坡道GSU、大下坡道GSD、緩和上坡道GMU、緩和下坡道GMD和再生節能坡道GRE。

對于任意qi，分別定義最優切換方向sd的3種可能情況為：正向切換sp，自切換so，反向切換sn。具體描述為

(13)

為方便分析，以下將依據最優切換點qi的車速vi與限速vlim之間的關系分別討論控制工況最優切換點的最優切換規則和切換時機。

2.1　車速低于限速時

4種非奇異工況下，無限速約束時伴隨變量σ是連續變化的，因而，最優切換點qi∈Q1，且sd(qi)≠so，即當車速低于線路限速時，控制工況之間的最優切換在伴隨變量的取值范圍上連續，最優切換方向包括正向切換和反向切換。

由前述分析已知，PIB工況只可能發生在線路限速處，且只發生在過低限速和制動停車過程中，在無限速約束情況下不出現在最優控制工況序列中；因而在無限速約束情況下只存在FEB向FIB的反向切換，而不存在FIB向FEB正向切換的可能性。不同工況下車速低于限速時的最優切換規則如圖1所示，圓圈內字母表示控制工況，帶箭頭的線代表最優切換規則，箭頭方向代表切換方向，數字為最優切換規則的序號。

圖1　車速低于限速時的最優切換

圖2　車速低于限速時部分最優切換示意圖

2.2　車速觸及限速時

表3　無限速約束下非奇異工況之間的最優切換

車速曲線的斜率為0時對應PP，PEB和PIB等3種奇異工況，斜率不為0時對應FP， C， FEB和FIB等4種非奇異工況，其中，列車的安全運行要求FIB工況在任何車速和線路條件下都可以制動減速直至停車，因而FIB工況下的車速曲線斜率為負，只存在于圖3(b)對應的2種情況。

2.2.1奇異工況之間切換

圖3　切換前后車速曲線斜率與限速信息的組合情況

2.2.2非奇異工況與奇異工況之間切換

(1)非奇異工況向奇異工況之間切換。該類切換發生在限速負跳變或同一限速內，對應的正向切換包括FIB→PIB，FIB→PEB，FIB→PP，FEB→PEB，FEB→PP，C→PP；反向切換包括FEB→PIB，C→PEB，FP→PP。圖4(a)中d點處FIB→PEB工況和圖4(b)中g點處C→PEB工況分別為2種非奇異工況向奇異工況的最優切換。

(2)奇異工況向非奇異工況切換。該類切換發生在限速正跳變或同一限速內，對應的正向切換包括PIB→FEB，PIB→C，PIB→FP，PEB→C，PEB→FP，PP→FP；反向切換包括PIB→FIB，PEB→FEB，PP→C。如圖4(b)中h點處PEB→FP工況的最優切換。

12種正向切換在伴隨變量的取值范圍內已保證其跳變的非負性，切換后的伴隨變量值不固定，切換位置固定，其中，車速曲線斜率切換前為負、切換后為0的最優切換位置為限速負跳變點。車速曲線斜率切換前為0、切換后為正的最優切換位置為限速正跳變點，車速曲線斜率切換前為正、切換后為0 ，以及車速曲線斜率切換前為0、切換后為負的最優切換位置為變坡點。6種反向切換應保證伴隨變量的連續性，伴隨變量值固定，切換點不固定，需由伴隨變量確定。

2.2.3非奇異工況之間切換

該類切換除不同工況之間切換外，還存在自切換，由于跳變的非負性約束，所有不同工況之間的切換都是正向切換，包括：FIB→FEB，FIB→C，FIB→FP，FEB→C，FEB→FP，C→FP，以及3種自切換分別為FEB→FEB，C→C，FP→FP。其中，FIB無自切換，并且該工況向其他工況之間的切換只發生在限速負跳變處。9種非奇異工況之間的最優切換位置固定，同一限速內為變坡點，否則為限速跳變點。2種非奇異工況之間最優切換如圖5(a)中的b點和圖5(b)中的e點所示。

圖4　觸及限速時非奇異工況與奇異工況之間的最優切換

圖5　觸及限速時非奇異工況之間的最優切換

3　工況序列求解過程

文獻[3—4]已給出了由部分牽引恒速區之間的局部最優連接延伸至全局最優連接的證明，限于篇幅，對于部分牽引恒速區與再生節能恒速區、再生節能恒速區之間的局部最優連接及其延伸至全局最優連接的證明本文不再論述，即本文直接論述一系列恒速區之間局部最優連接的求解。

定義兩恒速區之間的最優切換點連接Qs=(q1,q2, …,qM)，M為兩恒速區之間的最優切換點數，由列車在區間運行最優切換點序列的定義有Qs?Q*，在數值求解時，需要確定每個最優切換點qi的所有信息，為便于分析和描述，下文將用最優切換點處的最優切換規則代替最優切換點的詳細信息，對于最優切換位置xi的固定性與否會在描述中給出。

3.1　無限速約束時的局部最優連接

當車速在恒速區之間的最優連接中始終低于線路限速時，該最優連接可視為無限速約束，最優切換時機由最優控制的必要條件與伴隨變量的微分方程共同確定，因而最優切換點的位置不固定。

(1)兩恒速區之間無大坡道的最優連接。相同屬性的2個直接相連的恒速區在恒速區預處理階段即已合并[7]，因此只存在屬性不同的2個恒速區之間相連的情況，如部分牽引恒速區GMU與再生節能恒速區GRE直接相連，兩者之間由惰行工況連接。當GMU后邊接GRE，即GMU-GRE時，最優連接為(PP→C,C→PEB)；當GRE后邊接GMU，即GRE-GMU時，最優連接為(PEB→C,C→PP)。

(3)兩恒速區之間存在多個坡道的最優連接。多個坡道的存在意味著可能出現非奇異工況之間的切換，切換時機與切換方向可由表3獲得。

3.2　車速觸及限速時的局部最優連接

(1)當車速觸及限速時，最優切換為前述分析的30種切換之一，應充分利用正向切換和自切換的最優切換點固定的特性，進行恒速區之間的最優連接，以省卻伴隨變量的計算和驗證，如圖5(b)中的e點，車速觸及限速所引起的點恒速區發生在限速正跳變，在前一恒速區與點恒速區之間應由點恒速區進行車速曲線的反向計算，點恒速區與后一恒速區之間應由點恒速區進行車速曲線的正向計算，這2個局部最優連接都不需計算伴隨變量。

(2)局部最優連接過程中車速低于限速但達到伴隨變量切換條件時，最后1個恒速區前的各個坡道分區內的最優切換點遵循非奇異工況之間的最優切換，不需要考慮使用奇異工況的可能性。

(3)可充分利用點恒速區[8]在最優車速曲線上的“分界”作用，即一旦遇到車速觸及限速而導致局部最優連接不存在時，可對點恒速區與其左右相鄰的恒速區分別進行正向和反向連接，有利于明確工況序列的求解過程和并行化計算。

4　最優切換算例

圖6　列車節能最優控制速度曲線及其對應的伴隨變量曲線(α=0.9)

圖7　最優切換局部放大圖

由于牽引計算模型使用的是均質棒模型[9]，最優切換點以及車速曲線相對于坡道都略顯“滯后”，這與實際系統更為貼近。圖7(a)中，車速觸及線路限速，存在4個觸及限速的正切換，伴隨變量發生正跳變，如C→PP的最優切換規則有2次發生在同一限速內，切換點固定，為GRE末端，其正切換性質使得該點具有分界作用，如e點處的最優切換，可使工況序列求解過程分成2個獨立的部分分別求解，一部分是從e點反向求解，另一部分則從e點所在分區正向求解，并且該切換與12.1 km處的c點進行反向局部最優連接時，無需計算伴隨變量，只需計算車速曲線的交點；c點和f點的PP→FP的工況切換由于是正向切換，故切換位置固定，并且無需計算伴隨變量。圖7(b)中，車速低于線路限速，相鄰恒速區之間除奇異工況與非奇異工況的切換(h點和k點)外，由于連續起伏大坡道的存在，發生了2次非奇異工況之間的最優切換(i點和j點)，切換規則和切換條件與表3的分析一致。圖7(c)給出了車速低于限速且在再生節能坡道GRE上時PP→C(l點)和C→PEB(m點)的切換時機，這2個切換都為反向切換，最優切換點需借助伴隨變量的計算來確定，PEB→PP(n點)是奇異工況之間的正向切換，切換點發生在坡道端點，同樣無需計算伴隨變量。圖7(d)中，除有低于限速時的最優切換(q點，r點，s點和u點)外，還發生了同一限速內的C→C的自切換(t點)，切換點為GRE的末端，除了計算方面可以簡化外，其分界的作用同樣可以被利用。

5　結　論

(1)針對控制量連續、考慮再生制動能量利用的列車節能最優控制問題，充分利用伴隨變量在奇異工況和非奇異工況下的微分方程，在定義最優切換集和最優切換方向的基礎上，首次完整分析了43種最優切換及其發生時機，為間接法求解列車滿足準點約束的節能最優控制問題提供了參考，并且為進一步優化算法打下基礎。

(2)針對觸及限速時的正切換和自切換，應充分利用其切換位置固定以及伴隨變量正跳變性，減少不必要的伴隨變量計算。同時，點恒速區的“分界”作用，明確了最優連接算法的雙向操作性。

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